正定矩阵
贡献者： addis
1正定矩阵（positive definite matrix）定义如下。
定义 1
正定矩阵是一个对称矩阵对称矩阵或厄米矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $，对任意非零列向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 满足 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} > 0$。
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} ^\dagger $ 表示 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的厄米共轭。类似地，也可以定义半正定矩阵（把 $ > $ 替换为 $\geqslant$），负定矩阵（把 $ > $ 替换为 $ < $），半负定矩阵。
当 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是对称矩阵时，它对应一个对称 2-线性函数，$q(v) = \boldsymbol{\mathbf{v}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 是对应的二次型。当 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 为厄米矩阵时，则对应一个对称的半双线性形式。
定理 1
一个矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是正定矩阵当且仅当其本征值都大于零。半正定矩阵和（半）负定矩阵的定义也类似。
证明：令 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的本征矢为 $\{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _i\}$（一组正交归一基底），对应本征值为 $\lambda_i$（实数），令非零矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \sum_i c_i \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _i$（$c_i$ 不全为零）。那么
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \sum_i \lambda_i \left\lvert c_i \right\rvert ^2
\end{equation}
可见若所有 $\lambda_i > 0$，结果必然是正的。若要求对任意不全为零的 $c_1,c_2,\dots$ 等式都大于零，那么也能反推出所有 $\lambda_i > 0$。
证明：对于非零 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $，$ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} \ne \boldsymbol{\mathbf{0}} $，说明 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} \ne \boldsymbol{\mathbf{0}} $，所以齐次方程组 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 唯一的解就是 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $，所以矩阵是满秩的，证毕。
例 1
求二维厄米矩阵
\begin{equation}
H = \begin{pmatrix}a & b\\ b^* & d\end{pmatrix}
\end{equation}
正定的充分必要条件。
用特征多项式直接求本征值
\begin{equation}
(\lambda - a)(\lambda - d) - \left\lvert b \right\rvert ^2 = 0
\end{equation}
$\lambda$ 必定有解，利用求根公式，两个解大于零的充要条件是
\begin{equation}
ad > \left\lvert b \right\rvert ^2, \qquad
a > 0
\end{equation}
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面。
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