贡献者: addis
1正定矩阵(positive definite matrix)定义如下。
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} ^\dagger $ 表示 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的厄米共轭。类似地,也可以定义半正定矩阵(把 $ > $ 替换为 $\geqslant$),负定矩阵(把 $ > $ 替换为 $ < $),半负定矩阵。
当 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是对称矩阵时,它对应一个对称 2-线性函数,$q(v) = \boldsymbol{\mathbf{v}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 是对应的二次型。当 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 为厄米矩阵时,则对应一个对称的半双线性形式。
证明:令 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的本征矢为 $\{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _i\}$(一组正交归一基底),对应本征值为 $\lambda_i$(实数),令非零矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \sum_i c_i \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _i$($c_i$ 不全为零)。那么
证明:对于非零 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $,$ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} \ne \boldsymbol{\mathbf{0}} $,说明 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} \ne \boldsymbol{\mathbf{0}} $,所以齐次方程组 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 唯一的解就是 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $,所以矩阵是满秩的,证毕。
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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