正定矩阵

                     

贡献者: addis

预备知识 厄米矩阵的本征问题

  1正定矩阵(positive definite matrix)定义如下.

定义 1 

   正定矩阵是一个对称矩阵对称矩阵或厄米矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $,对任意非零列向量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 满足 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} > 0$.

   其中 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} ^\dagger $ 表示 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的厄米共轭.类似地,也可以定义半正定矩阵(把 $ > $ 替换为 $\geqslant$),负定矩阵(把 $ > $ 替换为 $ < $),半负定矩阵

   当 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是对称矩阵时,它对应一个对称 2-线性函数,$q(v) = \boldsymbol{\mathbf{v}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 是对应的二次型.当 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 为厄米矩阵时,则对应一个对称的半双线性形式

定理 1 

   一个矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 是正定矩阵当且仅当其本征值都大于零.半正定矩阵和(半)负定矩阵的定义也类似.

   证明:令 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 的本征矢为 $\{ \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _i\}$(一组正交归一基底),对应本征值为 $\lambda_i$(实数),令非零矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \sum_i c_i \hat{\boldsymbol{\mathbf{u}}} _i$($c_i$ 不全为零).那么

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \sum_i \lambda_i \left\lvert c_i \right\rvert ^2 \end{equation}
可见若所有 $\lambda_i > 0$,结果必然是正的.若要求对任意不全为零的 $c_1,c_2,\dots$ 等式都大于零,那么也能反推出所有 $\lambda_i > 0$.

定理 2 

   正定(负定)矩阵都是满秩的.

   证明:对于非零 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $,$ \boldsymbol{\mathbf{x}} ^\dagger \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} \ne \boldsymbol{\mathbf{0}} $,说明 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} \ne \boldsymbol{\mathbf{0}} $,所以齐次方程组 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $ 唯一的解就是 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $,所以矩阵是满秩的,证毕.

例 1 

   求二维厄米矩阵

\begin{equation} H = \begin{pmatrix}a & b\\ b^* & d\end{pmatrix} \end{equation}
正定的充分必要条件.

   用特征多项式直接求本征值

\begin{equation} (\lambda - a)(\lambda - d) - \left\lvert b \right\rvert ^2 = 0 \end{equation}
$\lambda$ 必定有解,利用求根公式,两个解大于零的充要条件是
\begin{equation} ad > \left\lvert b \right\rvert ^2, \qquad a > 0 \end{equation}


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面


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