球坐标的旋转变换

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　球坐标与直角坐标的转换，三维旋转矩阵

　　做球坐标的旋转变换时，常使用 $z$ - $y$ - $z$ 欧拉角表示旋转，即先绕 $z$ 轴旋转 $α$ ，再绕 $y$ 轴旋转 $β$ ，最后绕 $z$ 轴旋转 $γ$ 。其中绕 $z$ 轴旋转只需要给 $ϕ$ 加上 $α$ 或 $γ$ 即可。绕 $y$ 轴右手定则旋转 $β$ ，得

\begin{array}{r} (1) & {\begin{aligned} θ^{'} = \arccos (- \sin β \sin θ \cos ϕ + \cos β \cos θ) \\ ϕ^{'} = Arctan (\sin θ \sin ϕ, \cos β \sin θ \cos ϕ + \sin β \cos θ) \end{aligned} . \end{array}

推导

　　旋转前后的直角坐标矢量分别为

\begin{matrix} (2) & r = (\begin{matrix} \sin θ \cos ϕ \\ \sin θ \sin ϕ \\ \cos θ \end{matrix}), r^{'} = (\begin{matrix} \sin θ^{'} \cos ϕ^{'} \\ \sin θ^{'} \sin ϕ^{'} \\ \cos θ^{'} \end{matrix}) . \end{matrix}

绕

y

轴旋转矩阵为

未完成：引用 “三维旋转矩阵” 中相关例题，例题未完成

\begin{matrix} (3) & R_{y} (β) = (\begin{matrix} \cos β & 0 & \sin β \\ 0 & 1 & 0 \\ - \sin β & 0 & \cos β \end{matrix}) . \end{matrix}

\begin{matrix} (4) & r^{'} = R_{y} (β) r . \end{matrix}

对比各分量可得式 1 。

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