球坐标的旋转变换
贡献者： addis
做球坐标的旋转变换时，常使用 $z$-$y$-$z$ 欧拉角表示旋转，即先绕 $z$ 轴旋转 $\alpha$，再绕 $y$ 轴旋转 $\beta$，最后绕 $z$ 轴旋转 $\gamma$。其中绕 $z$ 轴旋转只需要给 $\phi$ 加上 $\alpha$ 或 $\gamma$ 即可。绕 $y$ 轴右手定则旋转 $\beta$，得
\begin{align}
\left\{\begin{aligned}
&\theta' = \arccos\left(-\sin\beta \sin\theta \cos\phi + \cos\beta \cos\theta\right) \\
&\phi' = \operatorname{Arctan} (\sin\theta \sin\phi, \cos\beta\sin\theta\cos\phi + \sin\beta\cos\theta)
\end{aligned}\right. ~.\end{align}
推导
旋转前后的直角坐标矢量分别为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} = \begin{pmatrix}\sin\theta\cos\phi\\ \sin\theta \sin\phi\\ \cos\theta\end{pmatrix} ~,
\qquad
\boldsymbol{\mathbf{r}} ' = \begin{pmatrix}\sin\theta'\cos\phi'\\ \sin\theta' \sin\phi'\\ \cos\theta'\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
绕 $y$ 轴旋转矩阵为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{R}} _y(\beta) = \begin{pmatrix}\cos\beta & 0 & \sin\beta\\ 0 & 1 & 0\\ -\sin\beta & 0 & \cos\beta\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} ' = \boldsymbol{\mathbf{R}} _y(\beta) \boldsymbol{\mathbf{r}} ~.
\end{equation}
对比各分量可得
式 1 。
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