球坐标的旋转变换

             

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预备知识 球坐标与直角坐标的转换,三维旋转矩阵

   做球坐标的旋转变换时,常使用 $z$-$y$-$z$ 欧拉角表示旋转,即先绕 $z$ 轴旋转 $\alpha$,再绕 $y$ 轴旋转 $\beta$,最后绕 $z$ 轴旋转 $\gamma$.其中绕 $z$ 轴旋转只需要给 $\phi$ 加上 $\alpha$ 或 $\gamma$ 即可.绕 $y$ 轴右手定则旋转 $\beta$,得

\begin{align} \left\{\begin{aligned} &\theta' = \arccos\left(-\sin\beta \sin\theta \cos\phi + \cos\beta \cos\theta\right) \\ &\phi' = \operatorname{Arctan} (\sin\theta \sin\phi, \cos\beta\sin\theta\cos\phi + \sin\beta\cos\theta) \end{aligned}\right. \end{align}

推导

   旋转前后的直角坐标矢量分别为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} = \begin{pmatrix}\sin\theta\cos\phi\\ \sin\theta \sin\phi\\ \cos\theta\end{pmatrix} \qquad \boldsymbol{\mathbf{r}} ' = \begin{pmatrix}\sin\theta'\cos\phi'\\ \sin\theta' \sin\phi'\\ \cos\theta'\end{pmatrix} \end{equation}
绕 $y$ 轴旋转矩阵为
未完成:引用 “三维旋转矩阵” 中相关例题,例题未完成
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{R}} _y(\beta) = \begin{pmatrix}\cos\beta & 0 & \sin\beta\\ 0 & 1 & 0\\ -\sin\beta & 0 & \cos\beta\end{pmatrix} \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} ' = \boldsymbol{\mathbf{R}} _y(\beta) \boldsymbol{\mathbf{r}} \end{equation}
对比各分量可得式 1

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