贡献者： addis
预备知识 球坐标系的定义
，矢量的求导法则
，
几何矢量的内积，几何矢量的基底和坐标
对空间中指定范围的每一点 $P$ 赋予一个矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $，就在该空间中形成了一个矢量场。例如，电荷附近的任意一点都存在一个电场矢量，这就构成了一个矢量场。管道中任意一点的水流都存在一个速度矢量，它们也构成一个矢量场。其他例子如力场，电场，磁场。
直角坐标系
矢量场在不同的参考系中有不同的表示方法。在空间直角坐标系中，矢量场可以用矢量的三个分量关于 $x,y,z$ 三个坐标的函数表示。点 $P(x,y,z)$ 处的矢量分量为（$ \boldsymbol\cdot $ 表示点乘）
\begin{equation}
\begin{cases}
v_x(x,y,z) = \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \\
v_y(x,y,z) = \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \\
v_z(x,y,z) = \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}
\end{cases}~,
\end{equation}
也可以作为
单位正交基 的线性组合写成一个整体
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{v}} &= ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} )\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} )\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} )\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\
&= v_x(x,y,z)\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + v_y(x,y,z)\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + v_z(x,y,z)\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~.
\end{aligned} \end{equation}
球坐标系
在球坐标系中，也可以把每个点的矢量根据该点处的三个单位矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $， $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $， $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} $ 分解为三个分量。基底的线性组合为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = v_r(r,\theta ,\phi)\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + v_\theta(r,\theta ,\phi) \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + v_\phi(r,\theta ,\phi)\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} ~.
\end{equation}
需要特别注意，$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $， $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $， $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} $ 也是关于 $(r,\theta ,\phi )$ 的函数，所以对 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 求导（或偏导）时必须根据矢量的求导法则进行。
1. 场线
场线是矢量场的一种可视化工具。我们可以顺着矢量场的方向画出多条有方向的不相交曲线，使得曲线上任意一点的切线方向都等于该点处矢量场的方向。对于无散场，场线没有起点和终点；对于无旋场，场线不会闭合。
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