矢量场（矢量分析）

贡献者： addis

预备知识　球坐标系的定义，矢量的求导法则，几何矢量的内积，几何矢量的基底和坐标

　　对空间中指定范围的每一点 $P$ 赋予一个矢量 $v$ ，就在该空间中形成了一个矢量场。例如，电荷附近的任意一点都存在一个电场矢量，这就构成了一个矢量场。管道中任意一点的水流都存在一个速度矢量，它们也构成一个矢量场。其他例子如力场，电场，磁场。

直角坐标系

　　矢量场在不同的参考系中有不同的表示方法。在空间直角坐标系中，矢量场可以用矢量的三个分量关于 $x, y, z$ 三个坐标的函数表示。点 $P (x, y, z)$ 处的矢量分量为（ $\cdot$ 表示点乘）

\begin{matrix} (1) & {\begin{cases} v_{x} (x, y, z) = v \cdot \hat{x} \\ v_{y} (x, y, z) = v \cdot \hat{y} \\ v_{z} (x, y, z) = v \cdot \hat{z} \end{cases}, \end{matrix}

也可以作为单位正交基的线性组合写成一个整体

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} v & = (v \cdot \hat{x}) \hat{x} + (v \cdot \hat{y}) \hat{y} + (v \cdot \hat{z}) \hat{z} \\ = v_{x} (x, y, z) \hat{x} + v_{y} (x, y, z) \hat{y} + v_{z} (x, y, z) \hat{z} . \end{aligned} \end{matrix}

球坐标系

　　在球坐标系中，也可以把每个点的矢量根据该点处的三个单位矢量 $\hat{r}$ ， $\hat{θ}$ ， $\hat{ϕ}$ 分解为三个分量。基底的线性组合为

\begin{matrix} (3) & v = v_{r} (r, θ, ϕ) \hat{r} + v_{θ} (r, θ, ϕ) \hat{θ} + v_{ϕ} (r, θ, ϕ) \hat{ϕ} . \end{matrix}

　　需要特别注意， $\hat{r}$ ， $\hat{θ}$ ， $\hat{ϕ}$ 也是关于 $(r, θ, ϕ)$ 的函数，所以对 $v$ 求导（或偏导）时必须根据矢量的求导法则进行。

1. 场线

　　场线是矢量场的一种可视化工具。我们可以顺着矢量场的方向画出多条有方向的不相交曲线，使得曲线上任意一点的切线方向都等于该点处矢量场的方向。对于无散场，场线没有起点和终点；对于无旋场，场线不会闭合。

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