矢量场

             

预备知识 球坐标系的定义,矢量的求导法则,几何矢量的内积,几何矢量的基底和坐标

   对空间中指定范围的每一点 $P$ 赋予一个矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $,就在该空间中形成了一个矢量场.例如,电荷附近的任意一点都存在一个电场矢量,这就构成了一个矢量场.管道中任意一点的水流都存在一个速度矢量,它们也构成一个矢量场.其他例子如力场,电场,磁场

直角坐标系

   矢量场在不同的参考系中有不同的表示方法.在空间直角坐标系中,矢量场可以用矢量的三个分量关于 $x,y,z$ 三个坐标的函数表示.点 $P(x,y,z)$ 处的矢量分量为

\begin{equation} \begin{cases} v_x(x,y,z) = \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \\ v_y(x,y,z) = \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \\ v_z(x,y,z) = \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{cases} \end{equation}
也可以作为单位正交基 的线性组合写成一个整体
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{v}} &= ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} )\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} )\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} )\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ &= v_x(x,y,z)\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + v_y(x,y,z)\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + v_z(x,y,z)\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{aligned} \end{equation}

球坐标系

   在球坐标系中,也可以把每个点的矢量根据该点处的三个单位矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $, $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $, $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} $ 分解为三个分量.基底的线性组合为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = v_r(r,\theta ,\phi)\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + v_\theta(r,\theta ,\phi) \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + v_\phi(r,\theta ,\phi)\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \end{equation}

   需要特别注意,$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $, $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $, $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} $ 也是关于 $(r,\theta ,\phi )$ 的函数,所以对 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 求导(或偏导)时必须根据矢量的求导法则 进行.

1. 场线

   场线是矢量场的一种可视化工具.我们可以顺着矢量场的方向画出多条有方向的不相交曲线,使得曲线上任意一点的切线方向都等于该点处矢量场的方向.对于无散场,场线没有起点和终点;对于无旋场,场线不会闭合.

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