球坐标系

             

预备知识 位矢

1. 球坐标

   三维直角坐标系中的一点 $P$ 的位置可以用 $(r,\theta ,\phi )$ 这 3 个有序实数来表示,称为该点的球坐标图 1 ).其中 $r$ 表示该点到原点的距离($r \geqslant 0$),即位矢模长;$\theta$ 表示该点的位矢与 $z$ 轴的夹角($\theta \in [0,\pi]$),即极角;$\phi$ 表示该点的位矢在 $x - y$ 平面上的投影与 $x$ 轴的夹角($\phi \in [0,2\pi]\text{或}[- \pi,\pi]$),即方位角.注意有些教材中用 $\theta $ 表示方位角,$\phi $ 表示极角,或者将 $\phi $ 记为 $\varphi $, $r$ 记为 $\rho $ 等,需要通过上下文判断每个坐标符号的具体含义.

图
图 1:球坐标系

2. 球坐标系中的单位矢量

   三个球坐标分别有对应的单位矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} $(如图).定义它们的方向分别指向对应坐标增加的方向,例如 $r$ 增加时,点 $P(r,\theta ,\phi )$ 就向 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 的方向移动.三个单位矢量两两垂直,形成一组正交归一基底,任意三维矢量都可以表示成它们的线性组合.即

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} )\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} )\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} = v_r \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + v_\theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + v_\phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \end{equation}
与直角坐标系不同的是,按照定义,球坐标的三个单位矢量是关于 $\theta$ 和 $\phi$ 的函数.即 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} (\theta ,\phi )$, $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} (\theta ,\phi )$, $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} (\phi )$. 例如 $P$ 的球坐标为 $(1, \pi/2, 0)$,直角坐标为 $(1, 0, 0)$ 时, $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $,$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} = - \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $,$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $. 但是球坐标为 $(1, \pi/2, \pi/2)$,直角坐标为 $(0, 1, 0)$ 时,$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $,$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} = - \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $,$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} = - \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $. 一般地,对于球坐标为 $(r, \theta , \phi )$ 的点 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} $ 与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 的关系见球坐标与直角坐标的转换.另外注意改变 $r$ 时 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} $ 都保持不变,且 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} (\phi )$ 仅由坐标 $\phi $ 决定.

   三个坐标按照 $(r, \theta , \phi )$ 排序,是为了使对应的单位矢量满足 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} $(类比直角坐标系的三个单位矢量必须满足 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $,见矢量的叉乘).这也是所有正交曲线坐标系的要求.

3. 球坐标系中矢量的两种表示方法

   球坐标系中,矢量可以用球坐标 $(r, \theta, \phi)$ 表示,即矢量以原点为起点,以终点的球坐标表示该矢量.

   更常见的方法,是将矢量投影到 3 个单位矢量上(当然,要说明是关于哪个点的单位矢量),用单位矢量的线性组合来表示.在矢量分析中,这种方法常用于表示矢量场

   例如任意一点 $P(r, \theta, \phi)$ 的位矢都可以表示为 $r\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $.又如原点处电荷 $q$ 产生的电场为 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} = k q \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} /r^2$.又如一个绕 $z$ 轴逆时针旋转(角速度 $\omega $)的圆柱,在 $P$ 点的线速度为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \omega r\sin \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} \end{equation}

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