贡献者： 待更新
在自由落体的基础上，若假设质点受到的空气阻力的大小与其速度成正比，比例系数为 $\alpha$，那么根据牛顿第二定律 可以列出动力学方程（假设向下为正方向）
\begin{equation}
ma = F = mg - \alpha v~.
\end{equation}
考虑到加速度是速度的导数，上式变为
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{v}}{\mathrm{d}{t}} = g - \frac{\alpha}{m} v~.
\end{equation}
这是速度关于时间的函数 $v(t)$ 与其一阶导数 $\dot v(t)$ 的关系式，即
微分方程。与自由落体问题不同的是，这个方程的右边含有未知函数 $v(t)$，所以不可能直接将等式两边积分解得 $v(t)$。我们可以根据微分与导数的关系，将上式两边同乘 $ \,\mathrm{d}{t} $ 并整理得
\begin{equation}
\frac{1}{g - \alpha v/m} \,\mathrm{d}{v} = \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
这样我们就得到了 $v$ 和 $t$ 的
微分关系，即每当 $t$ 增加一个微小量时，如何求 $v$ 对应增加的微小量。注意等式左边仅含 $v$，右边仅含 $t$，所以这一步叫做
分离变量，我们称
式 2 为
可分离变量的微分方程。假设 $v$ 和 $t$ 之间的关系可以表示为
\begin{equation}
F(v) = G(t)~,
\end{equation}
那么对等式两边微分即可得到
式 3 的形式。令 $f(v)$ 和 $g(t)$ 分别为 $F(v)$ 和 $G(t)$ 的导函数，有
\begin{equation}
f(v) \,\mathrm{d}{v} = g(t) \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{equation}
对比
式 3 可得 $f(v) = 1/(g - \alpha v/m)$ 和 $g(t) = 1$，把二者做
不定积分得原函数。首先显然 $G(t) = t + C_1$。对 $f(v)$ 积分可用 “积分表
” 中的
式 1 和
式 3 得
\begin{equation}
F(v) = -\frac{m}{\alpha} \ln \left\lvert g - \frac{\alpha}{m} v \right\rvert + C_2 = -\frac{m}{\alpha} \ln\left(g - \frac{\alpha}{m} v\right) + C_2~,
\end{equation}
上式中绝对值符号可去掉是因为在
式 2 中根据物理情景可知 $ \mathrm{d}{v}/\mathrm{d}{t} $ 始终大于零。把两原函数代回
式 4 （这时可以把 $C_1$ 和 $C_2$ 合并为一个待定常数 $C$），整理可得
\begin{equation}
v = \frac{m}{\alpha} \left(g - \mathrm{e} ^{-\alpha C/m} \mathrm{e} ^{-\alpha t/m} \right) ~.
\end{equation}
这就是微分方程
式 2 的通解，可代入原微分方程以验证是否成立。以后我们把以上这种由
式 5 形式求
式 4 形式的步骤简称为 “对方程两边积分”。由于方程阶数为 1，通解仅含有一个待定常数。为了确定这个待定常数，我们用题目给出的
初值条件，即 $t = 0$ 时 $v = 0$，代入通解可解得 $C$，再把 $C$ 代回通解得满足初始条件的
特解
\begin{equation}
v(t) = \frac{mg}{\alpha} \left(1- \mathrm{e} ^{-\alpha t/m} \right) ~.
\end{equation}
从该式可以看出，当 $t = 0$ 时，质点速度为 0，符合初始条件，而当 $t\to +\infty$ 时，$ v(t) \to mg/\alpha$。可见质点的速度会无限趋近一个最大值，而这个最大值恰好可以使阻力 $\alpha v$ 等于重力 $mg$。利用这一条件，即使不解微分方程，也可以很快算出质点的末速度。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。