受阻落体

                     

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　　 在自由落体的基础上，若假设质点受到的空气阻力的大小与其速度成正比，比例系数为 $\alpha$，那么根据牛顿第二定律 可以列出动力学方程（假设向下为正方向）

考虑到加速度是速度的导数，上式变为 这是速度关于时间的函数 $v(t)$ 与其一阶导数 $\dot{v}(t)$ 的关系式，即微分方程。与自由落体问题不同的是，这个方程的右边含有未知函数 $v(t)$，所以不可能直接将等式两边积分解得 $v(t)$。我们可以根据微分与导数的关系，将上式两边同乘 $\mathrm{d}t$ 并整理得 这样我们就得到了 $v$ 和 $t$ 的微分关系，即每当 $t$ 增加一个微小量时，如何求 $v$ 对应增加的微小量。注意等式左边仅含 $v$，右边仅含 $t$，所以这一步叫做分离变量，我们称式 2 为可分离变量的微分方程。假设 $v$ 和 $t$ 之间的关系可以表示为 那么对等式两边微分即可得到式 3 的形式。令 $f(v)$ 和 $g(t)$ 分别为 $F(v)$ 和 $G(t)$ 的导函数，有 对比式 3 可得 $f(v)=1/(g-\alpha v/m)$ 和 $g(t)=1$，把二者做不定积分得原函数。首先显然 $G(t)=t+C_1$。对 $f(v)$ 积分可用 “积分表” 中的式 1 和 式 3 得 上式中绝对值符号可去掉是因为在式 2 中根据物理情景可知 $\mathrm{d}v/\mathrm{d}t$ 始终大于零。把两原函数代回式 4 （这时可以把 $C_1$ 和 $C_2$ 合并为一个待定常数 $C$），整理可得 这就是微分方程式 2 的通解，可代入原微分方程以验证是否成立。以后我们把以上这种由式 5 形式求式 4 形式的步骤简称为 “对方程两边积分”。由于方程阶数为 1，通解仅含有一个待定常数。为了确定这个待定常数，我们用题目给出的初值条件，即 $t=0$ 时 $v=0$，代入通解可解得 $C$，再把 $C$ 代回通解得满足初始条件的特解 从该式可以看出，当 $t=0$ 时，质点速度为 0，符合初始条件，而当 $t\to +\mathrm{\infty }$ 时，$v(t)\to mg/\alpha$。可见质点的速度会无限趋近一个最大值，而这个最大值恰好可以使阻力 $\alpha v$ 等于重力 $mg$。利用这一条件，即使不解微分方程，也可以很快算出质点的末速度。