多自由度简谐振子(经典力学)

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 简谐振子(经典力学)

1. 二自由度简谐振子

   考虑轻质弹簧与两个光滑滑块构成的体系,如图 1 所示.

图
图 1:两个滑块和两根弹簧构成的简谐振子.

   和简谐振子(经典力学)的情况一样,弹簧的原长不重要,因此图中没给出.我们用 $x_1$ 和 $x_2$ 分别表示滑块 $m_1$ 和 $m_2$ 的位置,其中 $x_1$ 表示弹簧 $k_1$ 的长度减去其原长,$x_2$ 表示弹簧 $k_2$ 的长度减去其原长.显然,当 $x_1=x_2=0$ 时两根弹簧都处于原长.

   则这个体系的运动方程为

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} m_1\ddot{x}_1 &= -k_1x_1+k_2x_2\\ m_2\ddot{x}_1 &= -k_2x_2 \end{aligned}\right. \end{equation}

   这个体系也是也是一个简谐振子.由于它需要两个参数 $x_1, x_2$ 来刻画,因此也称作二自由度的简谐振子.

   当然,我们也可以在图 1 的右边加一堵墙,再加一根弹簧将 $m_2$ 和右边的墙连接起来,得到的同样是二自由度简谐振子.

图
图 2:另一种二自由度简谐振子的模型.图中方块是固定的墙面,只有粉色的圆球有质量,其它构件都是轻质的.红色和蓝色分别表示只能沿着水平或垂直方向移动的滑杆,粉色圆球被固定在这两个滑杆中.两个滑杆分别连接到图示的两根弹簧上.

   图 2 所示的模型也是一个二自由度简谐振子,两个参数分别是圆球的横位移和纵位移.

   一般地,二自由度简谐振子的运动方程写为

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \ddot{x}_1 &= k_{11}x_1+k_{12}x_2\\ \ddot{x}_2 &= k_{21}x_1+k_{22}x_2 \end{aligned}\right. \end{equation}

二自由度简谐振子的方程解法

   类比简谐振子(经典力学)中的解法,我们可以先猜想式 2 的一些特解.

   最简单的情况是,两个参数都做相位相同的单自由度简谐振动,只是振幅不一样,即 $Ax_1(t) = x_2(t)$,其中 $A$ 是一个常数.于是问题就化为一个单自由度简谐运动.

   此时 ${\ddot{x}_1}/{\ddot{x}_2}=A$,代入式 2

\begin{equation} \frac{k_{11}+k_{12}A}{k_{21}+k_{22}A}=A \end{equation}
\begin{equation} k_{22}A^2+(k_{21}-k_{12})A-k_{11} = 0 \end{equation}
因此 $A$ 是确定的:
\begin{equation} A = \frac{(k_{12}-k_{21})\pm\sqrt{(k_{12}-k_{21})^2 + 4k_{22}k_{11}}}{2k_{22}} \end{equation}

   这样能得到两个倍率 $A$,记为 $A_1$ 和 $A_2$.在继续解方程之前,我举一个例子来方便你体会两个倍率的意义:

图
图 3:一个简单的二自由度简谐振子模型.

   图 3 所示的简谐振子体系高度对称,因此很容易发现两种特殊情况:一是两个滑块之间的距离恒为中间弹簧的原长,作完全相同的单自由度简谐运动,此时中间弹簧等同于不存在,这个情况对应 $A=1$;二是 $A=-1$,两个滑块作完全对称的运动.第二种情况比第一种情况的频率高一些,因为每个滑块都额外受中间弹簧的力了.

   得到 $A_i$ 以后,式 2 化为

\begin{equation} \ddot{x}_1 = (k_{11}+A_ik_{12})x_1 \end{equation}
从而得特解
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} x_1(t) &= C_i \cos\left(\sqrt{-k_{11}-A_ik_{12}}t+\phi_i\right) \\ x_2(t) &= A_iC_i \cos\left(\sqrt{-k_{11}-A_ik_{12}}t+\phi_i\right) \end{aligned}\right. \end{equation}

   将各 $A_i$ 对应的特解组合起来,就能得到通解:

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} x_1(t) &= C_1 \cos\left(\sqrt{-k_{11}-A_1k_{12}}t+\phi_1\right) +C_2 \cos\left(\sqrt{-k_{11}-A_2k_{12}}t+\phi_2\right) \\ x_2(t) &= A_1C_1 \cos\left(\sqrt{-k_{11}-A_1k_{12}}t+\phi_1\right) +A_2C_2 \cos\left(\sqrt{-k_{11}-A_2k_{12}}t+\phi_2\right) \end{aligned}\right. \end{equation}
其中 $C_1, C_2, \phi_1, \phi_2$ 都是待定常数.通过给定两组参数的初值,如初始位置和初始速度,即可得到满足初值的特解.

模式

   上面的解答中,我们通过考虑两个参数成正比的特殊情况得到两个特解,用这两个特解组合出了一般的通解.这两个特解就叫做模式(mode).如果能从题目中直接找到模式,那么就可以直接给出通解.

2. 多自由度简谐运动

   我们可以把有 $n$ 个自由度的简谐运动方程写为

\begin{equation} \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{x}} } = \boldsymbol{\mathbf{K}} \boldsymbol{\mathbf{x}} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = \begin{pmatrix}x_1, x_2, \cdots, x_n\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $ 为列矩阵,$ \boldsymbol{\mathbf{K}} $ 为一个 $n$ 阶方阵.

   类似找模式的思路,我们可以设式 9 有特解

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{x}} (t) = \boldsymbol{\mathbf{v}} \cos\left(\omega t + \phi\right) \end{equation}
即 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 的各个分量之间的比值不变,其中 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 的各分量都是常数.将式 10 代入式 9
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = -\omega^2 \boldsymbol{\mathbf{K}} \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{equation}
也就是说,$ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{K}} $ 的一个特征向量

   每个特征向量能解出式 9 的一个特解,即模式式 9 ),而通解则是这些模式的线性组合.具体解法请参考例 1

例 1 三自由度简谐振子

  

   考虑简谐振子方程

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \ddot{x}_1 &= -2x_1+x_2-x_3\\ \ddot{x}_2 &= -x_2-x_3\\ \ddot{x}_3 &= -3x_3 \end{aligned}\right. \end{equation}

   记

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{x}} = \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} , \qquad \boldsymbol{\mathbf{K}} = \begin{pmatrix}-2&1&-1\\ 0&-1&-1\\ 0&0&-3\end{pmatrix} \end{equation}
则方程化为式 9 的形式.

   求出 $ \boldsymbol{\mathbf{K}} $ 的三个特征向量:

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 &= \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} , \text{特征值为}-2\\ \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 &= \begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix} , \text{特征值为}-1\\ \boldsymbol{\mathbf{v}} _3 &= \begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix} , \text{特征值为}-3 \end{aligned}\right. \end{equation}
式 14 中的三个 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _i$ 分别代入式 11 的 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $,得到三个模式

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \boldsymbol{\mathbf{x}} _1(t) &= \boldsymbol{\mathbf{v}} _1 \cos\left(\sqrt{2} t + \phi_1\right) \\ \boldsymbol{\mathbf{x}} _2(t) &= \boldsymbol{\mathbf{v}} _2 \cos\left(t + \phi_2\right) \\ \boldsymbol{\mathbf{x}} _3(t) &= \boldsymbol{\mathbf{v}} _3 \cos\left(\sqrt{3} t + \phi_3\right) \\ \end{aligned}\right. \end{equation}
其中各 $\phi_i$ 为待定常数.

   通解就是

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{x}} (t) = C_1 \boldsymbol{\mathbf{x}} _1(t)+C_2 \boldsymbol{\mathbf{x}} _2(t)+C_3 \boldsymbol{\mathbf{x}} _3(t) \end{equation}
其中各 $C_i$ 为待定常数.


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