多自由度简谐振子（经典力学）

贡献者： JierPeter; addis

预备知识　简谐振子（经典力学）

1. 二自由度简谐振子

　　考虑轻质弹簧与两个光滑滑块构成的体系，如图 1 所示。

图 1：两个滑块和两根弹簧构成的简谐振子。

　　和简谐振子（经典力学）的情况一样，弹簧的原长不重要，因此图中没给出。我们用 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 分别表示滑块 $m_{1}$ 和 $m_{2}$ 的位置，其中 $x_{1}$ 表示弹簧 $k_{1}$ 的长度减去其原长， $x_{2}$ 表示弹簧 $k_{2}$ 的长度减去其原长。显然，当 $x_{1} = x_{2} = 0$ 时两根弹簧都处于原长。

　　则这个体系的运动方程为

\begin{matrix} (1) & {\begin{aligned} m_{1} {\ddot{x}}_{1} & = - k_{1} x_{1} + k_{2} x_{2} \\ m_{2} {\ddot{x}}_{1} & = - k_{2} x_{2} . \end{aligned} \end{matrix}

　　这个体系也是也是一个简谐振子。由于它需要两个参数 $x_{1}, x_{2}$ 来刻画，因此也称作二自由度的简谐振子。

　　当然，我们也可以在图 1 的右边加一堵墙，再加一根弹簧将 $m_{2}$ 和右边的墙连接起来，得到的同样是二自由度简谐振子。

图 2：另一种二自由度简谐振子的模型。图中方块是固定的墙面，只有粉色的圆球有质量，其它构件都是轻质的。红色和蓝色分别表示只能沿着水平或垂直方向移动的滑杆，粉色圆球被固定在这两个滑杆中。两个滑杆分别连接到图示的两根弹簧上。

　　图 2 所示的模型也是一个二自由度简谐振子，两个参数分别是圆球的横位移和纵位移。

　　一般地，二自由度简谐振子的运动方程写为

\begin{matrix} (2) & {\begin{aligned} {\ddot{x}}_{1} & = k_{11} x_{1} + k_{12} x_{2} \\ {\ddot{x}}_{2} & = k_{21} x_{1} + k_{22} x_{2} . \end{aligned} \end{matrix}

二自由度简谐振子的方程解法

　　类比简谐振子（经典力学）中的解法，我们可以先猜想式 2 的一些特解。

　　最简单的情况是，两个参数都做相位相同的单自由度简谐振动，只是振幅不一样，即 $A x_{1} (t) = x_{2} (t)$ ，其中 $A$ 是一个常数。于是问题就化为一个单自由度简谐运动。

　　此时 ${\ddot{x}}_{1} / {\ddot{x}}_{2} = A$ ，代入式 2 得

\begin{matrix} (3) & \frac{k_{11} + k_{12} A}{k_{21} + k_{22} A} = A, \end{matrix}

即

\begin{matrix} (4) & k_{22} A^{2} + (k_{21} - k_{12}) A - k_{11} = 0 . \end{matrix}

因此

A

是确定的：

\begin{matrix} (5) & A = \frac{(k_{12} - k_{21}) \pm \sqrt{(k_{12} - k_{21})^{2} + 4 k_{22} k_{11}}}{2 k_{22}} . \end{matrix}

　　这样能得到两个倍率 $A$ ，记为 $A_{1}$ 和 $A_{2}$ 。在继续解方程之前，我举一个例子来方便你体会两个倍率的意义：

图 3：一个简单的二自由度简谐振子模型。

　　图 3 所示的简谐振子体系高度对称，因此很容易发现两种特殊情况：一是两个滑块之间的距离恒为中间弹簧的原长，作完全相同的单自由度简谐运动，此时中间弹簧等同于不存在，这个情况对应 $A = 1$ ；二是 $A = - 1$ ，两个滑块作完全对称的运动。第二种情况比第一种情况的频率高一些，因为每个滑块都额外受中间弹簧的力了。

　　得到 $A_{i}$ 以后，式 2 化为

\begin{matrix} (6) & {\ddot{x}}_{1} = (k_{11} + A_{i} k_{12}) x_{1}, \end{matrix}

从而得特解

\begin{matrix} (7) & {\begin{aligned} x_{1} (t) & = C_{i} \cos (\sqrt{- k_{11} - A_{i} k_{12}} t + ϕ_{i}) \\ x_{2} (t) & = A_{i} C_{i} \cos (\sqrt{- k_{11} - A_{i} k_{12}} t + ϕ_{i}) . \end{aligned} \end{matrix}

　　将各 $A_{i}$ 对应的特解组合起来，就能得到通解：

\begin{matrix} (8) & {\begin{aligned} x_{1} (t) & = C_{1} \cos (\sqrt{- k_{11} - A_{1} k_{12}} t + ϕ_{1}) + C_{2} \cos (\sqrt{- k_{11} - A_{2} k_{12}} t + ϕ_{2}) \\ x_{2} (t) & = A_{1} C_{1} \cos (\sqrt{- k_{11} - A_{1} k_{12}} t + ϕ_{1}) + A_{2} C_{2} \cos (\sqrt{- k_{11} - A_{2} k_{12}} t + ϕ_{2}) . \end{aligned} \end{matrix}

其中

C_{1}, C_{2}, ϕ_{1}, ϕ_{2}

都是待定常数。通过给定两组参数的初值，如初始位置和初始速度，即可得到满足初值的特解。

模式

　　上面的解答中，我们通过考虑两个参数成正比的特殊情况得到两个特解，用这两个特解组合出了一般的通解。这两个特解就叫做模式（mode）。如果能从题目中直接找到模式，那么就可以直接给出通解。

2. 多自由度简谐运动

　　我们可以把有 $n$ 个自由度的简谐运动方程写为

\begin{matrix} (9) & \ddot{x} = K x, \end{matrix}

其中

x = {(\begin{matrix} x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n} \end{matrix})}^{T}

为列矩阵，

K

为一个

n

阶方阵。

　　类似找模式的思路，我们可以设式 9 有特解

\begin{matrix} (10) & x (t) = v \cos (ω t + ϕ), \end{matrix}

即

x

的各个分量之间的比值不变，其中

v

的各分量都是常数。将式 10 代入式 9 有

\begin{matrix} (11) & v = - ω^{2} K v . \end{matrix}

也就是说，

v

是

K

的一个本征向量。

　　每个本征向量能解出式 9 的一个特解，即模式（式 9 ），而通解则是这些模式的线性组合。具体解法请参考例 1 ：

例 1　三自由度简谐振子

　　考虑简谐振子方程

\begin{matrix} (12) & {\begin{aligned} {\ddot{x}}_{1} & = - 2 x_{1} + x_{2} - x_{3} \\ {\ddot{x}}_{2} & = - x_{2} - x_{3} \\ {\ddot{x}}_{3} & = - 3 x_{3} . \end{aligned} \end{matrix}

记

\begin{matrix} (13) & x = (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}), K = (\begin{matrix} - 2 & 1 & - 1 \\ 0 & - 1 & - 1 \\ 0 & 0 & - 3 \end{matrix}) . \end{matrix}

则方程化为式 9 的形式。

　　求出 $K$ 的三个本征向量：

\begin{matrix} (14) & {\begin{aligned} v_{1} & = (\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) (本征值为 - 2) \\ v_{2} & = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}) (本征值为 - 1) \\ v_{3} & = (\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}) (本征值为 - 3) . \end{aligned} \end{matrix}

把式 14 中的三个

v_{i}

分别代入式 11 的

v

，得到三个模式

\begin{matrix} (15) & {\begin{aligned} x_{1} (t) & = v_{1} \cos (\sqrt{2} t + ϕ_{1}) \\ x_{2} (t) & = v_{2} \cos (t + ϕ_{2}) \\ x_{3} (t) & = v_{3} \cos (\sqrt{3} t + ϕ_{3}) . \end{aligned} \end{matrix}

其中各

ϕ_{i}

为待定常数。

　　通解就是

\begin{matrix} (16) & x (t) = C_{1} x_{1} (t) + C_{2} x_{2} (t) + C_{3} x_{3} (t), \end{matrix}

其中各

C_{i}