常微分方程

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　简谐振子

　　作为一个引入的例子，我们首先看 “简谐振子” 中的式 1 。一般来说，含有函数 $y(x)$ 及其高阶导数 $y^{(n)}$，和自变量 $x$ 的等式叫做常微分方程（简称微分方程¹），即

\begin{equation} f\left(y^{(N)}, y^{(N-1)}, \dots, y, x\right) = 0~. \end{equation}

　　上式中的最高阶导数为 $N$ 阶，所以可以把上式叫做 $N$ 阶微分方程。注意方程中必须出现 $y^{(N)}$，剩下的 $y^{(N-1)}, \dots, y, x$ 可以只出现部分或不出现。所有能使微分方程成立的函数 $f(x)$ 都是方程的解，如果能找到含有参数的函数 $f(x,C_1, \dots , C_N)$，使所有可能的解都可以通过给 $C_i$ 赋值来表示，那么这就是函数的通解。

　　有一些微分方程的解法是显然的，例如描述自由落体运动的微分方程为 $ \mathrm{d}^{2}{y}/\mathrm{d}{t}^{2} = g$（假设 $y$ 轴竖直向下）。要解这个方程，只需对等式两边进行两次不定积分即可得到通解为 $y = C_1 + C_2 t + gt^2/2$。一般来说，如果 $N$ 阶微分方程具有 $y^{(N)} = f(x)$ 的形式，只需进行 $N$ 次积分即可得到通解。

　　另一些方程是可以分离变量的，我们来看 “受阻落体” 这个例子。若方程可分离变量，只需先分离变量，再对等式两边求不定积分即可找到通解。

1. 一阶线性微分方程

　　一阶线性微分方程。

2. 二阶线性微分方程

未完成：链接一下 Wolfram Alpha 和 Mathematica 解常微分方程

1. ^ 这里的 “常” 强调未知函数只有一个变量，用于区别多元微积分中的 “偏微分方程”。

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