常微分方程

贡献者： addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　简谐振子

　　作为一个引入的例子，我们首先看 “简谐振子” 中的式 1 。一般来说，含有函数 $y (x)$ 及其高阶导数 $y^{(n)}$ ，和自变量 $x$ 的等式叫做常微分方程（简称微分方程¹），即

\begin{matrix} (1) & f (y^{(N)}, y^{(N - 1)}, \dots, y, x) = 0 . \end{matrix}

　　上式中的最高阶导数为 $N$ 阶，所以可以把上式叫做 $N$ 阶微分方程。注意方程中必须出现 $y^{(N)}$ ，剩下的 $y^{(N - 1)}, \dots, y, x$ 可以只出现部分或不出现。所有能使微分方程成立的函数 $f (x)$ 都是方程的解，如果能找到含有参数的函数 $f (x, C_{1}, \dots, C_{N})$ ，使所有可能的解都可以通过给 $C_{i}$ 赋值来表示，那么这就是函数的通解。

　　有一些微分方程的解法是显然的，例如描述自由落体运动的微分方程为 $d^{2} y / d t^{2} = g$ （假设 $y$ 轴竖直向下）。要解这个方程，只需对等式两边进行两次不定积分即可得到通解为 $y = C_{1} + C_{2} t + g t^{2} / 2$ 。一般来说，如果 $N$ 阶微分方程具有 $y^{(N)} = f (x)$ 的形式，只需进行 $N$ 次积分即可得到通解。

　　另一些方程是可以分离变量的，我们来看 “受阻落体” 这个例子。若方程可分离变量，只需先分离变量，再对等式两边求不定积分即可找到通解。

1. 一阶线性微分方程

　　一阶线性微分方程。

2. 二阶线性微分方程

未完成：链接一下 Wolfram Alpha 和 Mathematica 解常微分方程

1. ^ 这里的 “常” 强调未知函数只有一个变量，用于区别多元微积分中的 “偏微分方程”。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。