常微分方程

             

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预备知识 简谐振子

   作为一个引入的例子,我们首先看 “简谐振子” 中的式 1 .一般来说,含有函数 $y(x)$ 及其高阶导数 $y^{(n)}$,和自变量 $x$ 的等式叫做常微分方程(简称微分方程1),即

\begin{equation} f(y^{(N)}, y^{(N-1)}, \dots, y, x) = 0 \end{equation}

   上式中的最高阶导数为 $N$ 阶,所以可以把上式叫做 $N$ 阶微分方程.注意方程中必须出现 $y^{(N)}$,剩下的 $y^{(N-1)}, \dots, y, x$ 可以只出现部分或不出现.所有能使微分方程成立的函数 $f(x)$ 都是方程的,如果能找到含有参数的函数 $f(x,C_1, \dots , C_N)$,使所有可能的解都可以通过给 $C_i$ 赋值来表示,那么这就是函数的通解

   有一些微分方程的解法是显然的,例如描述自由落体运动 的微分方程为 $ \mathrm{d}^{2}{y}/\mathrm{d}{t}^{2} = g$(假设 $y$ 轴竖直向下).要解这个方程,只需对等式两边进行两次不定积分即可得到通解为 $y = C_1 + C_2 t + gt^2/2$.一般来说,如果 $N$ 阶微分方程具有 $y^{(N)} = f(x)$ 的形式,只需进行 $N$ 次积分即可得到通解.

   另一些方程是可以分离变量的,我们来看 “受阻落体” 这个例子.若方程可分离变量,只需先分离变量,再对等式两边求不定积分即可找到通解.

1. 一阶线性微分方程

   一阶线性微分方程

2. 二阶线性微分方程

  

未完成:链接一下 Wolfram Alpha 和 Mathematica 解常微分方程


1. ^ 这里的 “常” 强调未知函数只有一个变量,用于区别多元微积分中的 “偏微分方程”.

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