刚体的运动方程

                     

贡献者: addis

预备知识 刚体的平面运动方程,惯性张量

   一般情况下下刚体的运动方程要比平面运动复杂许多,但我们仍然可以将运动分解为质心的运动以及刚体绕质心的旋转,前者由合力决定,所以仍然有(式 1

\begin{equation} M \boldsymbol{\mathbf{a}} _c = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{F}} _i \end{equation}
所以相对于平面运动,该问题的困难在于绕质心转动的计算.虽然角动量定理(式 1 )仍然成立,但惯性张量 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} $ 随时间的变化会使问题复杂得多.下面我们会看到,刚体绕任意固定点转动的角动量定理可以记为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{L}} } = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} + \boldsymbol{\mathbf{I}} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } \end{equation}
该式又被称为刚体转动的欧拉方程(Euler's equation),其中 $ \boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{I}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $(式 1 )是刚体的角动量,$ \boldsymbol{\mathbf{I}} $ 是惯性张量.$\dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } = \mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }/\mathrm{d}{t} $ 是矢量角加速度矢量,角速度和角加速度的关系可以类比速度和加速度.本文中符号上方一点都表示对时间求导,对矩阵和列矢量求导就是对每个元分别求导. 对比定轴转动的式 2 ,转动惯量变为了惯性张量,且多了一项 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} $.

1. 定点转动的方程

   我们接下来假设刚体可以绕坐标原点自由转动,而原点未必是刚体的质心1.当参考系为非惯性系时,需要考虑惯性力带来的力矩2

   沿用子节 2 中的符号规范,令体坐标系中惯性张量为 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} _0$,体坐标系到实验室坐标系的旋转矩阵为 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $,那么 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 完整描述了刚体绕原点转动的状态,其中 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 确定了刚体每一点的位置,而 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 进一步确定了刚体上每一点的速度.若已知刚体在初始时间的运动状态,且力矩 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $ 是一个关于时间和刚体运动状态的已知函数 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} (t, \boldsymbol{\mathbf{R}} , \boldsymbol{\mathbf{\omega}} )$,那么求解以下运动方程可以得到刚体接下来的运动

\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0^{-1} \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \left[ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} - \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ) \right] \end{equation}
\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } = \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} \end{equation}
其中
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} = \begin{pmatrix}0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x\\ -\omega_y & \omega_x & 0\end{pmatrix} \end{equation}
式 3 式 4 组成一个非线性一阶常微分方程组,写成标量的形式共有 12 条,未知数分别为 $\omega_x, \omega_y, \omega_z$,$R_{i,j}$ 共 12 个.

   事实上旋转矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 的 9 个矩阵元中只有三个自由度,如果我们能用三个变量表示 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $,就可以得到 6 元方程组,例如使用三个欧拉角,详见 “刚体定点旋转的运动方程(欧拉角)”.另一种折衷的方法是用 4 元数,即用 4 个变量表示 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $,可以得到相对简单的 7 元方程组,详见 “刚体运动方程(四元数)”.

推导

预备知识 旋转矩阵的导数

   式 4 的含义和推导见 “旋转矩阵的导数”.而式 3 就是式 2 的变形:

\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } = \boldsymbol{\mathbf{I}} ^{-1} ( \boldsymbol{\mathbf{\tau}} - \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} ) \end{equation}
这里的角动量要用惯性张量来计算(式 1 式 15
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{I}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} _0$ 不随时间变化,$ \boldsymbol{\mathbf{L}} $,$ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 都是时间的函数.另外 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} $ 的逆矩阵是 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} ^{-1} = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0^{-1} \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} $,$ \boldsymbol{\mathbf{I}} _0^{-1}$ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} _0$ 的逆矩阵.式 7 代入式 6 就是式 3

   要证明式 2 ,从角动量定理(式 1 )得

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{L}} } = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{I}} } \boldsymbol{\mathbf{\omega}} + \boldsymbol{\mathbf{I}} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } \end{equation}
其中
\begin{equation} \begin{aligned} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{I}} } \boldsymbol{\mathbf{\omega}} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} ) \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} + \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \\ &= \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} + \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{I}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} - \boldsymbol{\mathbf{I}} \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \\ &= \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} - \boldsymbol{\mathbf{I}} ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ) = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} \end{aligned} \end{equation}
证毕.

2. 体坐标系中的定点转动方程

预备知识 刚体的惯量主轴

   在体坐标系中列出转动方程往往可以简化计算.这时往往令体坐标系的三个轴与刚体的三个主轴重合,这样 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} _0$ 就是三个主转动惯量构成的对角矩阵

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 = \begin{pmatrix}I_1 & 0&0 \\ 0& I_2 &0 \\ 0& 0& I_3\end{pmatrix} , \qquad \boldsymbol{\mathbf{I}} _0^{-1} = \begin{pmatrix}1/I_1 & 0&0 \\ 0& 1/I_2 &0 \\ 0& 0& 1/I_3\end{pmatrix} \end{equation}
令角(加)速度矢量和力矩在实验室坐标系中的坐标为
\begin{equation} \begin{aligned} & \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _0 = \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = (\omega_{01}, \omega_{02}, \omega_{03})\\ & \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _0 = \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } = (\alpha_{01}, \alpha_{02}, \alpha_{03})\\ & \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _0 = \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\tau}} = (\tau_{01}, \tau_{02}, \tau_{03}) \end{aligned} \end{equation}
注意此时式中的 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 和 $\dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }$ 仍然是刚体相对于实验室坐标系的角(加)速度,只是使用了体坐标系中的基底来计算坐标.令
\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }_0 = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _0}}{\mathrm{d}{t}} = (\dot\omega_{01}, \dot\omega_{02}, \dot\omega_{03}) \end{equation}
可以证明
\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }_0 = \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _0 \end{equation}
又令
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} _0 = \begin{pmatrix}0 & -\omega_{03} & \omega_{02} \\ \omega_{03} & 0 & -\omega_{01}\\ -\omega_{02} & \omega_{01} & 0\end{pmatrix} \end{equation}
那么转动方程式 3 式 4 分别简化为
\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }_0 = \boldsymbol{\mathbf{I}} _0^{-1} ( \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _0 - \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _0 \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _0) \end{equation}
\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} _0 \end{equation}
式 15 写成分量形式得
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &\dot\omega_{01} = [\tau_{01} - (I_3-I_2)\omega_{03}\omega_{02}]/I_{1}\\ &\dot\omega_{02} = [\tau_{02} - (I_1-I_3)\omega_{01}\omega_{03}]/I_{2}\\ &\dot\omega_{03} = [\tau_{03} - (I_2-I_1)\omega_{01}\omega_{02}]/I_{3} \end{aligned}\right. \end{equation}

推导

   现在推导式 15 .用式 11 的定义整理式 3

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _0 = \boldsymbol{\mathbf{I}} _0^{-1} \left[ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _0 - ( \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} ) \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _0 \right] \end{equation}
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} _0 = \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} \end{equation}
容易发现3 $ \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} _0$ 就是 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _0 \boldsymbol\times $ 代表的矩阵(式 14 ).接下来,
\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }_0 = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ) = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} + { \boldsymbol{\mathbf{R}} } ^{\mathrm{T}} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } = - \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} + \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} _0 \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \omega = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $,这就证明了式 13 .代入式 18 就证明了式 15

   最后,结合式 4 式 19 就得到式 16


1. ^ 例如我们考虑陀螺的运动时,可以把它与地面的接触点作为旋转点(坐标原点),这会比把运动分解为质心的运动和绕质心的转动更方便.但注意此时惯性张量也必须是关于旋转点而不是关于质心的,详见习题 3
2. ^ 在平动参考系中,如果取刚体的质心为原点,可以证明惯性力产生的合力矩为零.
3. ^ 推导详见子节 1


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