叉乘的矩阵形式

                     

贡献者: addis

预备知识 矢量叉乘

   对任意矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} $,令

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{c}} = \boldsymbol{\mathbf{a}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{b}} \end{equation}
该运算可以看作列矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{b}} $ 到列矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{c}} $ 的线性变换.我们知道线性变换可以用矩阵表示,所以必存在矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $,满足
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{c}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol{\mathbf{b}} \end{equation}
令 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 的坐标为 $(a_x, a_y, a_z)$,根据叉乘的分量表达式(式 19 ),易得变换矩阵为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} = \begin{pmatrix} 0 & -a_z & a_y\\ a_z & 0 & -a_x\\ -a_y & a_x & 0 \end{pmatrix} \end{equation}
这是一个反对称矩阵,即
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{A}} ^{\mathrm{T}} = - \boldsymbol{\mathbf{A}} \end{equation}

   类似地,也有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{c}} ^{\mathrm{T}} = \boldsymbol{\mathbf{a}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{B}} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 的定义和 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 一致.

   同理,式 1 也可以看作是 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} $ 到 $ \boldsymbol{\mathbf{c}} $ 的线性变换

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{c}} = \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol{\mathbf{a}} \end{equation}
其中
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{B}} = \begin{pmatrix} 0 & b_z & -b_y\\ -b_z & 0 & b_x\\ b_y & -b_x & 0 \end{pmatrix} \end{equation}
这恰好与式 3 符号相反.

1. 叉乘矩阵的旋转变换

预备知识 三维旋转矩阵

   令 $S'$ 坐标系与 $S$ 坐标系的原点重合,且 $S'$ 坐标系中的矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 到 $S$ 系中的矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 的旋转变换矩阵为 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $,满足 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} ' = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{r}} $.令两个几何矢量在 $S$ 系中的坐标为 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} , \boldsymbol{\mathbf{v}} $,在 $S'$ 中坐标为 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} ', \boldsymbol{\mathbf{v}} '$.那么有

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{u}} ' = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{u}} , \qquad \boldsymbol{\mathbf{v}} ' = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{equation}
由于叉乘的几何定义不依赖于坐标系,那么必定有
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{R}} ( \boldsymbol{\mathbf{u}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} ) = \boldsymbol{\mathbf{u}} ' \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} ' \end{equation}

   如果用 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} $ 来代替 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} \boldsymbol\times $,用 $ \boldsymbol{\mathbf{U}} '$ 来代替 $ \boldsymbol{\mathbf{u}} ' \boldsymbol\times $,那么上式变为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{U}} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{U}} ' \boldsymbol{\mathbf{v}} ' = \boldsymbol{\mathbf{U}} ' \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{v}} \end{equation}
这对所有 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} $ 都成立,所以 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{U}} = \boldsymbol{\mathbf{U}} ' \boldsymbol{\mathbf{v}} ' = \boldsymbol{\mathbf{U}} ' \boldsymbol{\mathbf{R}} $,或者
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{U}} ' = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{U}} \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \end{equation}


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