刚体的动能、动能定理
贡献者： addis
如果我们把刚体看作质点系，那么系统中任意两个质点间距离保持不变，我们可以假设这些质点之间以不可伸长的轻杆相连，使它们不能相对运动。
1. 平动动能与转动动能
刚体的转动动能等于 $1/2$ 瞬时转轴的角速度平方乘以关于该轴的转动惯量。平动动能等于质心的等效动能。
由柯尼希定理，刚体的动能可以分为平动动能和转动动能两部分。下面来证明一段时间内，平动动能的增加等于合外力关于质心位移的做功，而转动动能的增加等于质心系中合外力矩的做功。
（未完成！）
2. 力矩的功率
先考虑刚体的定点转动，若瞬时角速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $，总力矩为 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $，则功率为
\begin{equation}
P = \boldsymbol{\mathbf{\tau}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ~.
\end{equation}
推导：若把刚体看作质点系，有
\begin{equation}
\begin{aligned}
P &= \sum_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{F}} _i
= \sum_i ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{F}} _i
= \sum_i ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \\
&= \sum_i \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \boldsymbol{\mathbf{\tau}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ~.
\end{aligned}
\end{equation}
未完成：不够详细，引用相关公式
3. 动能公式
刚体绕某点转动的动能为
\begin{equation}
T = \frac{1}{2} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{L}} = \frac{1}{2} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol{\mathbf{I}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ~.
\end{equation}
证明：若把刚体看作质点系，有
\begin{equation}
\frac{1}{2} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{L}} = \frac{1}{2} \sum_i m_i ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _i) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \frac{1}{2} \sum_i m_i ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \frac{1}{2} \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i^2 = T~.
\end{equation}
证毕。
未完成：不够详细，引用相关公式
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