刚体的动能、动能定理

                     

贡献者: addis; 来时路

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预备知识 刚体的平面运动方程,柯尼希定理

   如果我们把刚体看作质点系,那么系统中任意两个质点间距离保持不变,我们可以假设这些质点之间以不可伸长的轻杆相连,使它们不能相对运动.

1. 平动动能与转动动能

预备知识 柯尼希定理

   刚体的转动动能等于 $1/2$ 瞬时转轴的角速度平方乘以关于该轴的转动惯量.平动动能等于质心的等效动能.

   由柯尼希定理,刚体的动能可以分为平动动能转动动能两部分.下面来证明一段时间内,平动动能的增加等于合外力关于质心位移的做功,而转动动能的增加等于质心系中合外力矩的做功. (未完成!)

2. 力矩的功率

   先考虑刚体的定点转动,若瞬时角速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $,总力矩为 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $,则功率为

\begin{equation} P = \boldsymbol{\mathbf{\tau}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \end{equation}
推导:若把刚体看作质点系,有
\begin{equation} \begin{aligned} P &= \sum_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = \sum_i ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = \sum_i ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{F}} _i) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \\ &= \sum_i \boldsymbol{\mathbf{\tau}} _i \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \boldsymbol{\mathbf{\tau}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \end{aligned} \end{equation}
未完成:不够详细,引用相关公式

3. 动能公式

   刚体绕某点转动的动能为

\begin{equation} T = \frac{1}{2} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{L}} = \frac{1}{2} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol{\mathbf{I}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \end{equation}
证明:若把刚体看作质点系,有
\begin{equation} \frac{1}{2} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{L}} = \frac{1}{2} \sum_i m_i ( \boldsymbol{\mathbf{r}} _i \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _i) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \frac{1}{2} \sum_i m_i ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} _i) \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{v}} _i = \frac{1}{2} \sum_i m_i \boldsymbol{\mathbf{v}} _i^2 = T \end{equation}
证毕.
未完成:不够详细,引用相关公式


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