旋转矩阵的导数

                     

贡献者: addis

预备知识 刚体的瞬时转轴、角速度的矢量相加,叉乘的矩阵形式

   假设坐标系 $S'$ 中任意一不动点坐标为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$(不随时间变化),通过三维旋转矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 变换到坐标系 $S$ 中的坐标 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $,即

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \end{equation}
令 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = (\omega_x, \omega_y, \omega_z)$ 是 $S'$ 相对于 $S$ 的瞬时角速度.假设 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 随时间 $t$ 变化,记为函数 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} (t)$.那么它对时间求导 $\dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }$(即每个矩阵元对 $t$ 求导)为
\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } = \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} \end{equation}
其中
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} = \begin{pmatrix} 0 & -\omega_z & \omega_y\\ \omega_z & 0 & -\omega_x\\ -\omega_y & \omega_x & 0 \end{pmatrix} \end{equation}

习题 1 

   证明定轴旋转矩阵式 3 符合式 2

1. 证明

   把式 1 对 $t$ 求导得该点在实验室坐标系的速度为

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \end{equation}
角速度和速度之间有 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{r}} ')$(式 5 ).我们可以把叉乘用矩阵乘法表示为(式 2
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{r}} ' \end{equation}
$ \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} $(式 3 )是一个反对称矩阵,即
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} ^{\mathrm{T}} = - \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \end{equation}
由于 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 是任意的,对比式 4 式 5 式 2 .证毕.


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