旋转矩阵的导数
贡献者： addis
预备知识 刚体的瞬时转轴、角速度的矢量相加
，叉乘的矩阵形式
假设坐标系 $S'$ 中任意一不动点坐标为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$（不随时间变化），通过三维旋转矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 变换到坐标系 $S$ 中的坐标 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $，即
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{r}} '~.
\end{equation}
令 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = (\omega_x, \omega_y, \omega_z)$ 是 $S'$ 相对于 $S$ 的瞬时角速度。假设 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 随时间 $t$ 变化，记为函数 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} (t)$。那么它对时间求导 $\dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }$（即每个矩阵元对 $t$ 求导）为
\begin{equation}
\dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } = \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} ~.
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\Omega}} = \begin{pmatrix}
0 & -\omega_z & \omega_y\\
\omega_z & 0 & -\omega_x\\
-\omega_y & \omega_x & 0
\end{pmatrix} ~.
\end{equation}
1. 证明
把式 1 对 $t$ 求导得该点在实验室坐标系的速度为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \boldsymbol{\mathbf{r}} '~.
\end{equation}
角速度和速度之间有 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{r}} ')$（
式 5 ）。我们可以把叉乘用矩阵乘法表示为（
式 2 ）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{r}} '~.
\end{equation}
$ \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} $（
式 3 ）是一个反对称矩阵，即
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\Omega}} ^{\mathrm{T}} = - \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} ~.
\end{equation}
由于 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 是任意的，对比
式 4 和
式 5 得
式 2 。证毕。
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