刚体运动方程(四元数)

             

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预备知识 刚体的运动方程,四元数与旋转矩阵

   我们用四元数 $ \boldsymbol{\mathbf{q}} $ 和角速度 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $(共 7 个标量)来表示刚体绕固定点旋转的运动状态.下面来列运动方程(7 元一阶微分方程组).

   式 10 中已经给出了 4 条($ \boldsymbol{\mathbf{q}} $ 关于时间的导数)

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{q}} }}{\mathrm{d}{t}} = \frac12 [0, \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ] \boldsymbol{\mathbf{q}} \end{equation}

   而之前的式 12 给出了另外 3 条($ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 关于时间的导数)

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0^{-1} \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \left( \boldsymbol{\mathbf{\tau}} - \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \right) \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} _0$ 是体坐标系中的惯性张量,$ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 是体坐标系到实验室坐标系的旋转矩阵,$ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $ 是力矩(已知).注意现在我们可以用四元数 $ \boldsymbol{\mathbf{q}} $ 表示 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $(式 6 ).这样就得到了所有的运动方程.

   用数值计算来解这个方程见 “刚体转动数值模拟”.

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