刚体运动方程(四元数)

                     

贡献者: addis

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预备知识 刚体的运动方程,四元数与旋转矩阵

实验室坐标系的运动方程

   我们用四元数 $q$ 和角速度 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $(共 7 个标量)来表示刚体绕固定点旋转的运动状态.下面来列运动方程(7 元一阶微分方程组).

   式 12 中已经给出了 4 条($q$ 关于时间的导数)

\begin{equation} \dot{q} = \frac12 \omega q \end{equation}

   而之前的式 3 给出了另外 3 条($ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 关于时间的导数).注意现在我们可以用四元数 $q$ 表示 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $(式 9 ).

\begin{equation} \begin{aligned} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } &= \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0^{-1} \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \left[ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} - \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ) \right] \\ &= q \boldsymbol{\mathbf{I}} _0^{-1} q^{-1} \left[ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} - \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times (q \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 q^{-1} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ) \right] \end{aligned} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} _0$ 是体坐标系中的惯性张量,$ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 是体坐标系到实验室坐标系的旋转矩阵,$ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $ 是力矩(已知).这样就得到了所有的运动方程.

   用数值计算来解这个方程组见 “刚体转动数值模拟”.

1. 体坐标系的运动方程

  

未完成:说明
由于 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = q \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _0 q$,
\begin{equation} \frac{\mathrm{d}{q}}{\mathrm{d}{t}} = \frac12 q \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _0 \end{equation}
以及欧拉方程(式 15 式 17 ).


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