刚体运动方程（四元数）
贡献者： addis
实验室坐标系的运动方程
我们用四元数 $q$ 和角速度 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $（共 7 个标量）来表示刚体绕固定点旋转的运动状态。下面来列运动方程（7 元一阶微分方程组）。
式 12 中已经给出了 4 条（$q$ 关于时间的导数）
\begin{equation}
\dot{q} = \frac12 \omega q~,
\end{equation}
而之前的式 3 给出了另外 3 条（$ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 关于时间的导数）。注意现在我们可以用四元数 $q$ 表示 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $（式 9 ）。
\begin{equation}
\begin{aligned}
\dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } &= \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0^{-1} \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \left[ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} - \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ) \right] \\
&= q \boldsymbol{\mathbf{I}} _0^{-1} q^{-1} \left[ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} - \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times (q \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 q^{-1} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ) \right] ~.
\end{aligned}
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} _0$ 是体坐标系中的惯性张量，$ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 是体坐标系到实验室坐标系的旋转矩阵，$ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $ 是力矩（已知）。这样就得到了所有的运动方程。
用数值计算来解这个方程组见 “刚体转动数值模拟”。
1. 体坐标系的运动方程
未完成：说明
由于 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = q \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _0 q$，
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{q}}{\mathrm{d}{t}} = \frac12 q \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _0~,
\end{equation}
以及欧拉方程（
式 15 式 17 ）。
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。