刚体定点旋转的运动方程(欧拉角)

                     

贡献者: addis

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预备知识 刚体的运动方程,欧拉角

   首先摆放刚体,使得三个主轴分别与 $x,y,z$ 轴重合.然后使用 $z$-$y$-$z$ 欧拉角描述刚体每个时刻的位置.若已知角速度,欧拉角的时间导数为(式 3

\begin{equation} \dot\psi = \omega_r + \omega_\theta \cot\theta,\qquad \dot\theta = \omega_\phi,\qquad \dot\phi = -\frac{\omega_\theta}{\sin\theta} \end{equation}
球坐标中三个方向构建的坐标系与刚体三个主轴 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1, \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _2, \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _3$($ \hat{\boldsymbol{\mathbf{e}}} _1 = \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $)所构建的体坐标系之间还需要经过绕 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 轴的 $\psi$ 角旋转变换.
\begin{equation} \begin{pmatrix}\omega_r\\\omega_\theta\\\omega_\phi\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & C_\psi & -S_\psi\\ 0 & S_\psi & C_\psi\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\omega_{01}\\\omega_{02}\\\omega_{03}\end{pmatrix} \end{equation}
在体坐标系中有欧拉方程(式 15
\begin{equation} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _0} = \boldsymbol{\mathbf{I}} _0^{-1} ( \boldsymbol{\mathbf{\tau}} - \boldsymbol{\mathbf{\omega}} _0 \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ) \end{equation}
分量形式
\begin{equation} \left\{\begin{aligned} &\dot\omega_{01} = [\tau_{01} - (I_3-I_2)\omega_{03}\omega_{02}]/I_{1}\\ &\dot\omega_{02} = [\tau_{02} - (I_1-I_3)\omega_{01}\omega_{03}]/I_{2}\\ &\dot\omega_{03} = [\tau_{03} - (I_2-I_1)\omega_{01}\omega_{02}]/I_{3} \end{aligned}\right. \end{equation}
特殊地,若两个主转动惯量相等 $I_2 = I_3$,那么则无需进行式 2 的变换,直接在 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} $ 系中列出式 3 即可.

   现在,式 1 式 3 就组成了一个六元一阶常微分方程组.另外体坐标系到实验室坐标系之间的变换矩阵为(式 1

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{R}} = \begin{pmatrix} C_\phi C_\theta C_\psi-S_\phi S_\psi & -C_\phi C_\theta S_\psi - S_\phi C_\psi & C_\phi S_\theta\\ S_\phi C_\theta C_\psi + C_\phi S_\psi & -S_\phi C_\theta S_\psi + C_\phi C_\psi & S_\phi S_\theta\\ -S_\theta C_\psi & S_\theta S_\psi & C_\theta\end{pmatrix} \end{equation}


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