量子力学中的基本算符

贡献者： JierPeter; addis

预备知识 1　经典力学，量子力学的基本原理（量子力学）

　　本文中， $ℏ = c = 1$ 。

　　在量子力学的基本原理（量子力学）的例 2 和例 3 中，我们不加证明地给出了动量、能量（哈密顿）、角动量算符在给定表象下的形式，相当于进行了定义。本文将讨论如何从经典力学中导出这几个算符的定义。

1. 无穷小算符

　　考虑无穷小算符总是有益的，因为就是微分线性近似，而线性的东西很简单。

　　如果要求一个算符在自变量（比如时间）趋于 $0$ 的时候趋于恒等算符，即连续性，那么对于无穷小自变量 $ε$ 后，这个算符总可以写为

\begin{matrix} (1) & U (ε) = 1 - i G ε, \end{matrix}

我们称

G

是

U

的生成元。

厄米与幺正

　　当 $G$ 是一个厄米算符时，有

\begin{matrix} (2) & U^{†} (ε) U (ε) = (1 - i G ε) (1 + i G ε) = 1 + o (ε), \end{matrix}

其中

o (ε)

表示比

ε

更高阶的无穷小。

　　因此， $G$ 是厄米算符 $⟹$ $U (ε)$ 是幺正算符。

　　量子态归一化要求可观测量是幺正的，因此可观测量的生成元应该是厄米算符。

由无穷小算符得出任意算符

　　如果要求算符满足 $U (t_{1}) U (t_{2}) = U (t_{1} + t_{2})$ ，那么可以从无穷小算符得出任意情况的算符：

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} U (t) & = lim_{n \to \infty} U (\frac{t}{n})^{n} \\ = lim_{n \to \infty} {(1 - i G \frac{t}{n})}^{n} \\ = \exp (- i G t) . \end{aligned} \end{matrix}

2. 位置算符

　　位置算符的本征矢都是位置精确给定的态，本征值即对应的位置，因此位置算符是 $x_{0}$ 或 $x_{0}$ ，即空间坐标。

　　 位置表象下，位置算符的表示为

\begin{matrix} (4) & {\begin{aligned} ⟨ x_{0} | x_{0} & = x_{0} 一维情况 \\ ⟨ x_{0} | x_{0} & = x_{0} 三维情况 \end{aligned} . \end{matrix}

未完成：动量表象下的位置算符由傅里叶变换给出。

3. 动量算符

预备知识 2　平移算符

　　由经典力学，动量是平移生成元，式 1 中的 $G$ 应是动量算符。

　　显然，动量表象下的动量算符就是 $p$ 或 $p$ ，这和位置算符的情况一致。

　　又由式 2 ，可知位置表象下一维无穷小平移算符为

\begin{matrix} (5) & ⟨ x | P (d x) = \exp (- d x \cdot \partial_{x}) = 1 - d x \partial_{x} . \end{matrix}

　　代回式 1 ，注意 $P (d x)$ 相当于 $U (ε)$ ，即可得到一维动量算符：

\begin{matrix} (6) & p = - i \partial_{x} . \end{matrix}

　　三维情况类似可得

\begin{matrix} (7) & \hat{p} = - i \nabla . \end{matrix}

4. 哈密顿算符

　　哈密顿算符 $H$ 即能量算符，较为特殊，取决于我们希望将量子力学应用在什么背景下。

　　对于经典量子力学，我们考虑的背景是经典力学，因此用经典的能量关系

\begin{matrix} (8) & E = \frac{p^{2}}{2 m} + V . \end{matrix}

来定义哈密顿算子，此时有

\begin{matrix} (9) & ⟨ x | H = {\begin{aligned} \frac{- \partial_{x}^{2}}{2 m} + V 一维情况 \\ \frac{- \nabla^{2}}{2 m} + V 三维情况 \end{aligned} . \end{matrix}

　　如果使用狭义相对论的能量关系

\begin{matrix} (10) & E^{2} = p^{2} + m^{2}, \end{matrix}

那么可以得到哈密顿算子的平方

\begin{matrix} (11) & ⟨ x | H^{2} = {\begin{aligned} - \partial_{x}^{2} & + m^{2} 一维情况 \\ - \nabla^{2} & + m^{2} 三维情况 \end{aligned} . \end{matrix}

由此可以把薛定谔方程调整为Klein-Gordon 方程。

　　 Klein-Gordon 方程是平方形式，并不协变，且有负能量和负概率密度的问题¹，因此狄拉克（Dirac）想办法把式 11 取了平方根，得到狄拉克方程。

5. 角动量算符

　　角动量算符和经典力学有所不同。经典力学中的角动量对应的是量子力学中的空间角动量算符，是空间转动的生成元。但量子力学中还有自旋角动量的概念，是自旋态空间中的转动的生成元。自旋为 $1 / 2$ 的系统使用一个二维态空间，自旋为 $1$ 的系统使用一个三维态空间，诸如此类。

　　经典力学中的空间，可以视为量子力学中位置态的态空间，因此我们可以把自旋态空间和位置态空间合并（取直积）为一个 “总空间”，以全面描述量子态的角动量。

　　给定一个空间转动 $R$ ，规定它与一个总空间中的转动算符相联系²：

\begin{matrix} (12) & R \to D (R), \end{matrix}

并规定这是一个群同态。

空间角动量算符

　　空间角动量算符完全依照经典力学的方式来定义，可参见轨道角动量（量子力学）。

无穷小转动与总角动量算符

　　在总空间中，一个无穷小转动为

\begin{matrix} (13) & R (d ϕ, k) = 1 - i J_{k} d ϕ . \end{matrix}

其中

k

是所绕的轴，

d ϕ

是无穷小的转动角度。

　　更一般地说，空间中绕着单位矢量 $\hat{n}$ 、角度为无穷小量 $d ϕ$ 的转动被映射为态空间中的算符

\begin{matrix} (14) & D (\hat{n}, d ϕ) = 1 - i (J \cdot \hat{n}) d ϕ . \end{matrix}

　　按照 “角动量是转动生成元” 的思想， $J_{k} = J \cdot \hat{k}$ 应该是关于 $k$ 轴的角动量算符。

6. 时间演化算符

预备知识 3　时间演化算符（量子力学）

　　时间演化算符的生成元是哈密顿算符 $H$ ，因此时间演化算符为

\begin{matrix} (15) & U (t) = \exp (- i H t) . \end{matrix}

　　时间演化算符的详细讨论请参见时间演化算符（量子力学），其应用可参见路径积分（量子力学）、传播子（量子力学）等。

1. ^ 一说负概率密度可以解释为粒子的荷，如电荷。
2. ^ 这里 $D$ 是沿用了 [1] 的习惯，字母 $D$ 代表德语的 “转动”（Drehung）。

[1] ^ J.J. Sakurai. Modern Quantum Mechanics Revised Edition

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