量子力学中的基本算符

                     

贡献者: JierPeter

  

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预备知识 经典力学,量子力学的基本原理(量子力学)

   本文中,$\hbar=c=1$.

   在量子力学的基本原理(量子力学)例 2 例 3 中,我们不加证明地给出了动量、能量(哈密顿)、角动量算符在给定表象下的形式,相当于进行了定义.本文将讨论如何从经典力学中导出这几个算符的定义.

1. 无穷小算符

   考虑无穷小算符总是有益的,因为就是微分线性近似,而线性的东西很简单.

   如果要求一个算符在自变量(比如时间)趋于 $0$ 的时候趋于恒等算符,即连续性,那么对于无穷小自变量 $\varepsilon$ 后,这个算符总可以写为

\begin{equation} U(\varepsilon) = 1- \mathrm{i} G\varepsilon \end{equation}
我们称 $G$ 是 $U$ 的生成元.

厄米与幺正

   当 $G$ 是一个厄米算符时,有

\begin{equation} U^{\dagger}(\varepsilon)U(\varepsilon) = (1- \mathrm{i} G\varepsilon)(1+ \mathrm{i} G\varepsilon) = 1+o(\varepsilon) \end{equation}
其中 $o(\varepsilon)$ 表示比 $\varepsilon$ 更高阶的无穷小.

   因此,$G$ 是厄米算符 $\implies$ $U(\varepsilon)$ 是幺正算符.

   量子态归一化要求可观测量是幺正的,因此可观测量的生成元应该是厄米算符.

由无穷小算符得出任意算符

   如果要求算符满足 $U(t_1)U(t_2)=U(t_1+t_2)$,那么可以从无穷小算符得出任意情况的算符:

\begin{equation} \begin{aligned} U(t) &= \lim_{n\to\infty} U(\frac{t}{n})^n\\ &= \lim_{n\to\infty} \left(1- \mathrm{i} G\frac{t}{n} \right) ^n\\ &= \exp \left(- \mathrm{i} G t \right) \end{aligned} \end{equation}

2. 位置算符

   位置算符的本征矢都是位置精确给定的态,本征值即对应的位置,因此位置算符是 $x_0$ 或 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} _0$,即空间坐标.

   位置表象下,位置算符的表示为

\begin{equation} \left\{\begin{aligned} \left\langle x_0 \right\rvert x_0 &= x_0\qquad\text{一维情况}\\ \left\langle \boldsymbol{\mathbf{x}} _0 \right\rvert \boldsymbol{\mathbf{x}} _0&= \boldsymbol{\mathbf{x}} _0\qquad\text{三维情况} \end{aligned}\right. \end{equation}

  

未完成:动量表象下的位置算符由傅里叶变换给出.

3. 动量算符

预备知识 平移算符

   由经典力学,动量是平移生成元,式 1 中的 $G$ 应是动量算符.

   显然,动量表象下的动量算符就是 $p$ 或 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} $,这和位置算符的情况一致.

   又由式 2 ,可知位置表象下一维无穷小平移算符为

\begin{equation} \left\langle x \right\rvert P( \,\mathrm{d}{x} ) = \exp\left(- \,\mathrm{d}{x} \cdot \partial_x\right) = 1- \,\mathrm{d}{x} \partial_x \end{equation}

   代回式 1 ,注意 $P( \,\mathrm{d}{x} )$ 相当于 $U(\varepsilon)$,即可得到一维动量算符:

\begin{equation} p = - \mathrm{i} \partial_x \end{equation}

   三维情况类似可得

\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{p}}} = - \mathrm{i} \nabla \end{equation}

4. 哈密顿算符

   哈密顿算符 $H$ 即能量算符,较为特殊,取决于我们希望将量子力学应用在什么背景下.

   对于经典量子力学,我们考虑的背景是经典力学,因此用经典的能量关系

\begin{equation} E=\frac{p^2}{2m}+V \end{equation}
来定义哈密顿算子,此时有
\begin{equation} \left\langle x \right\rvert H = \left\{\begin{aligned} &\frac{-\partial_x^2}{2m}+V\qquad\text{一维情况}\\ &\frac{-\nabla^2}{2m}+V\qquad\text{三维情况} \end{aligned}\right. \end{equation}

   如果使用狭义相对论的能量关系

\begin{equation} E^2 = p^2+m^2 \end{equation}
那么可以得到哈密顿算子的平方
\begin{equation} \left\langle x \right\rvert H^2 = \left\{\begin{aligned} -\partial_x^2&+m^2\qquad\text{一维情况}\\ -\nabla^2&+m^2\qquad\text{三维情况} \end{aligned}\right. \end{equation}
由此可以把薛定谔方程调整为Klein-Gordon 方程

   Klein-Gordon 方程是平方形式,并不协变,且有负能量和负概率密度的问题1,因此狄拉克(Dirac)想办法把式 11 取了平方根,得到狄拉克方程

5. 角动量算符

   角动量算符和经典力学有所不同.经典力学中的角动量对应的是量子力学中的空间角动量算符,是空间转动的生成元.但量子力学中还有自旋角动量的概念,是自旋态空间中的转动的生成元.自旋为 $1/2$ 的系统使用一个二维态空间,自旋为 $1$ 的系统使用一个三维态空间,诸如此类.

   经典力学中的空间,可以视为量子力学中位置态的态空间,因此我们可以把自旋态空间和位置态空间合并(取直积)为一个 “总空间”,以全面描述量子态的角动量.

   给定一个空间转动 $R$,规定它与一个总空间中的转动算符相联系2

\begin{equation} R\to \mathfrak{D}(R) \end{equation}
并规定这是一个群同态

空间角动量算符

   空间角动量算符完全依照经典力学的方式来定义,可参见轨道角动量(量子力学)

无穷小转动与总角动量算符

   在总空间中,一个无穷小转动为

\begin{equation} R( \,\mathrm{d}{\phi} , k) = 1- \mathrm{i} J_k \,\mathrm{d}{\phi} \end{equation}
其中 $k$ 是所绕的轴,$ \,\mathrm{d}{\phi} $ 是无穷小的转动角度.

   更一般地说,空间中绕着单位矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} $、角度为无穷小量 $ \,\mathrm{d}{\phi} $ 的转动被映射为态空间中的算符

\begin{equation} \mathfrak{D}( \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} , \,\mathrm{d}{\phi} ) = 1- \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{J}} \cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} ) \,\mathrm{d}{\phi} \end{equation}

   按照 “角动量是转动生成元” 的思想,$J_k= \boldsymbol{\mathbf{J}} \cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} $ 应该是关于 $k$ 轴的角动量算符.

6. 时间演化算符

预备知识 时间演化算符(量子力学)

   时间演化算符的生成元是哈密顿算符 $H$,因此时间演化算符为

\begin{equation} \mathcal{U}(t) = \exp \left(- \mathrm{i} H t \right) \end{equation}

   时间演化算符的详细讨论请参见时间演化算符(量子力学),其应用可参见路径积分(量子力学)、传播子(量子力学)等.


1. ^ 一说负概率密度可以解释为粒子的荷,如电荷.
2. ^ 这里 $\mathfrak{D}$ 是沿用了 [27] 的习惯,字母 $D$ 代表德语的 “转动”(Drehung).


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