随机变量 概率密度函数

             

预备知识 定积分

   生活中有许多现象可以看做是随机的,例如掷骰子的点数.事实上骰子作为一个宏观物体,其运动可以用一个复杂的动力学方程来精确描述.但经过诸如 “摇匀” 这种混沌过程后,方程的最终结果对初始条件极为敏感,使结果难以预测.这时我们就有充分的理由将该结果看作是随机的,并用一个变量来表示可能的结果(就像把方程中的未知数用 $x$ 表示).我们把这样的变量称为随机变量

   随机变量可以是离散的也可以是连续的,例如掷骰子的点数只能取 1 到 6 的离散值,而打靶时子弹离靶心的距离就可以用一个连续的随机变量表示.一些更复杂事件的结果可能需要用到不止一个随机变量来描述,本文只讨论单个随机变量,但结论容易拓展到多个变量.

   对于一些离散的随机变量,可能发现每个离散值得到的概率也都是恒定的.对一个公平的骰子,所有的点数得到的概率都是 $1/6$;对一个公平的硬币,掷到正反两面的概率都是 $1/2$.如果骰子或硬币是不公平的,不同结果会对应不同的概率,但这些概率也是固定的.对于连续的随机变量,得到不同值的概率可能也是固定的,然而这些值有无穷多个,应该如何描述他们对应的概率呢?

1. 连续随机变量的概率密度函数

   我们可以用概率密度函数(probability density function,PDF)来描述一个变量取各个值的概率.假设一个连续随机变量 $x$ 可以在某个区间内取值,我们就把该区间分为 $n$ 份,第 $i$ 个子区间的长度为 $\Delta x_i$ 然后我们做大量的实验(记为 $N$ 次),把随机变量得到的每个值分类归入这 $n$ 个子区间中,并把第 $i$ 个区间中值的个数记为 $N_i$.现在我们可以画出一种表示概率的直方图(histogram),令第 $i$ 个区间的长方形高度为 $y_i = N_i/(N \Delta x_i)$,则每个长方形的面积 $y_i \Delta x_i = N_i/N$ 表示随机变量的值落在第 $i$ 个区间的概率,注意所有长方形的面积之和为 1.

   现在,我们令区间数 $n\to \infty$ 且每个区间长度 $\Delta x_i \to 0$,则离散的 $y_i$ 值就可以表示为函数 $y = f(x)$.我们可以用定积分来表示 “所有长方形的面积之和为 1”,即1

\begin{equation} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{d}{x} = 1 \end{equation}
该式叫做概率密度函数的归一化.满足归一化意味着,所有情况发生的概率总和为 1.

   若我们要求随机变量落在区间 $[a,b]$ 内的概率,就求 $[a,b]$ 区间内概率密度函数下方的面积即可.更常见地,我们可以用微分式

\begin{equation} \,\mathrm{d}{P} = f(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}
表示 $x$ 处长度为 $ \,\mathrm{d}{x} $ 的区间微元对应的概率 $ \,\mathrm{d}{P} $.所以 $f(x)$ 又被称为概率密度(probability density)

2. 平均值

   大学物理中,随机变量 $x$ 的平均值通常被表示为 $\bar x$ 或者 $ \left\langle x \right\rangle $,我们以后都会使用.

   对于离散的情况,某个量的平均值等于每个可能的值出现的概率乘以该值再求和,即

\begin{equation} \left\langle x \right\rangle = \sum_i x_i P_i \end{equation}

   要求某个概率密度函数的平均值,我们同样可以将整个区间划分为 $n$ 个子区间,每个区间的概率近似为 $P_i = f(x_i) \Delta x_i$,则平均值为

\begin{equation} \left\langle x \right\rangle \approx \sum_{i=0}^n x_i P_i = \sum_{i=1}^n x_i f(x_i) \Delta x_i \end{equation}
用定积分的思想,当子区间无限多且取无限小时,上式变为
\begin{equation} \left\langle x \right\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

3. 方差

   离散情况下,若已知平均值 $ \left\langle x \right\rangle $,方差(每个数据点离平均值距离的平方的平均值)可定义为

\begin{equation} \sigma_x^2 \approx \sum_{i=0}^n (x_i - \bar x)^2 P_i \end{equation}
与计算平均值的思路类似,将方差拓展到连续变量的情况得
\begin{equation} \sigma_x^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} \left(x-\bar x \right) ^2 f(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

习题 1 

   某直流电源存在微小误差,其电压随时间的函数为

\begin{equation} U(t) = U_0 + \varepsilon \sin\left(\omega t\right) \end{equation}
为衡量误差大小,请计算电压的方差(用 $\varepsilon$ 表示).提示:由于电压变化是周期性的,可以只在一个周期内积分.

4. 任意函数的平均

   更一般地,我们可以对离散的随机变量 $x_i$ 定义任意函数 $g(x)$ 的平均值为

\begin{equation} \left\langle g \right\rangle = \sum_{i=0}^n g(x_i) P_i \end{equation}
例如在计算平均值和方差时,$g(x)$ 分别取 $x$ 和 $(x - \bar x)^2$.

   拓展到连续的随机变量,有

\begin{equation} \left\langle g \right\rangle = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) f(x) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

例 1 分子的平均动能

   某气体中含有大量分子(阿伏伽德罗常数数量级:$10^{23}$),若假设某时刻它们的速度大小 $v$ 的概率密度函数为

\begin{equation} f(v) = A \sin^{2}\left(\frac{\pi v}{v_{m}}\right) \qquad (v \in [0, v_{m}]) \end{equation}
其中 $A$ 为常数.请分别计算:

  1. 常数 $A$,使 $f(v)$ 满足归一化(式 1
  2. 分子速度大小的平均值
  3. 分子速度大小方差
  4. 分子动能 $E_k = mv^2/2$ 的平均值
  5. 分子动能的方差

   解:

   1. 将 $f(v)$ 代入密度函数的归一化条件式 1

\begin{equation} A\int_{0}^{v_{m}} \sin^{2}\left(\frac{\pi v}{v_{m}}\right) \,\mathrm{d}{v} = 1 \end{equation}
而由
\begin{equation} \int \sin^2 x \,\mathrm{d}{x} = \int\frac{(1-\cos 2x)}{2} \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin 2x+C \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} &\int_{0}^{v_{m}} \sin^{2}\left(\frac{\pi v}{v_{m}}\right) \,\mathrm{d}{v} =\frac{v_{m}}{\pi}\int_{0}^{v_{m}} \sin^{2}\left(\frac{\pi v}{v_{m}}\right) \,\mathrm{d}\left(\frac{\pi v}{v_{m}} \right) \\ &=\frac{v_{m}}{\pi} \left(\frac{1}{2}\frac{\pi v}{v_{m}}-\frac{1}{4}\sin \frac{2\pi v}{v_{m}} \right) \Bigg|_{0}^{v_{m}}=\frac{v_{m}}{\pi} \left(\frac{\pi}{2}-0 \right) =\frac{v_{m}}{2} \end{aligned} \end{equation}
式 14 代入式 12 ,得
\begin{equation} A=\frac{2}{v_{m}} \end{equation}

   2.由式 10

\begin{equation} \begin{aligned} \left\langle v \right\rangle &=A\int_{0}^{v_{m}} v \sin^{2}\left(\frac{\pi v}{v_{m}}\right) \,\mathrm{d}{v} =\frac{A}{2}\int_0^{v_m}v \left[1-\cos \left(\frac{2\pi v}{v_{m}} \right) \right] \,\mathrm{d}{v} \\ &=\frac{A}{2} \left\{\frac{v^2}{2}- \left[ \sin\left(\frac{2\pi v}{v_{m}}\right) \cdot\frac{v}{\frac{2\pi}{v_m}}+ \cos\left(\frac{2\pi v}{v_{m}}\right) \cdot\frac{1}{ \left(\frac{2\pi}{v_m} \right) ^2} \right] \right\} \Bigg|_{0}^{v_{m}}\\ &=\frac{A}{2} \left(\frac{v_{m}^2}{2}-\frac{v_{m}^2}{4\pi^2}+\frac{v_{m}^2}{4\pi^2} \right) =\frac{v_{m}}{2} \end{aligned} \end{equation}

   3.由方差的定义式 7 和平均值的定义式 5 ,我们可将方差写为

\begin{equation} \sigma_x^2= \left\langle (x- \left\langle x \right\rangle )^2 \right\rangle = \left\langle x^2-2x \left\langle x \right\rangle + \left\langle x \right\rangle ^2 \right\rangle = \left\langle x^2 \right\rangle - \left\langle x \right\rangle ^2 \end{equation}
那么
\begin{equation} \sigma_v^2= \left\langle v^2 \right\rangle - \left\langle v \right\rangle ^2 \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} \left\langle v^2 \right\rangle &=A\int_{0}^{v_{m}} v^2 \sin^{2}\left(\frac{\pi v}{v_{m}}\right) \,\mathrm{d}{v} =\frac{A}{2}\int_{0}^{v_{m}}v^2 \left[1-\cos \left(\frac{2\pi v}{v_{m}} \right) \right] \,\mathrm{d}{v} \\ &=\frac{A}{2} \left\{\frac{v^3}{3}- \left\{ \sin\left(\frac{2\pi v}{v_{m}}\right) \left[\frac{v^2}{\frac{2\pi }{v_{m}}}-\frac{2}{ \left(\frac{2\pi }{v_{m}} \right) ^3} \right] + \cos\left(\frac{2\pi v}{v_{m}}\right) \cdot\frac{2v}{ \left(\frac{2\pi}{v_{m}} \right) ^2} \right\} \right\} \Bigg|_0^{v_{m}}\\ &=\frac{A}{2} \left(\frac{v_m^3}{3}-\frac{v_{m}^3}{2\pi^2}+\frac{v_{m}^3}{2\pi^2} \right) =\frac{v_{m}^2}{3} \end{aligned} \end{equation}
式 16 式 19 代入式 18 ,方差为
\begin{equation} \sigma_v^2=\frac{v_{m}^2}{3}-\frac{v_{m}^2}{4}=\frac{v_m^2}{12} \end{equation}

   4.

\begin{equation} \left\langle E_k \right\rangle = \left\langle \frac{mv^2}{2} \right\rangle =\frac{m}{2} \left\langle v^2 \right\rangle =\frac{mv_{m}^2}{6} \end{equation}

   5.

\begin{equation} \sigma_{E_k}= \left\langle E_k^2 \right\rangle - \left\langle E_k \right\rangle ^2 \end{equation}
\begin{equation} \left\langle E_k^2 \right\rangle =\frac{m^2}{4} \left\langle v^4 \right\rangle \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} \left\langle v^4 \right\rangle &=A\int_0^{v_{m}}v^4 \sin^{2}\left(\frac{\pi v}{v_{m}}\right) \,\mathrm{d}{v} =\frac{A}{2}\int_0^{v_{m}}v^4 \left[1-\cos \left(\frac{2\pi v}{v_{m}} \right) \right] \,\mathrm{d}{v} \\ &=\frac{A}{2}\cdot\frac{v^5}{5}\bigg|_0^{v_{m}}=\frac{v_m^4}{5} \end{aligned} \end{equation}
联立 式 21 式 22 、和式 23
\begin{equation} \begin{aligned} \sigma_{E_k}&=\frac{m^2v_m^4}{20}-\frac{m^2v_m^4}{36}=\frac{m^2v_m^4}{45} \end{aligned} \end{equation}


1. ^ 注意积分上下限是 $x$ 取值的区间,以下为了方便表示,我们取整个实数域,可以理解为超出区间的部分概率分部函数为 0.

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