算符对易性（量子力学）

贡献者： JierPeter

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预备知识　量子力学中的基本算符

1. 符号介绍

定义 1　对易子

　　对于算符 $X$ 和 $Y$ ，定义 $[X, Y] = X Y - Y X$ ，称为算符 $X$ 和 $Y$ 的对易子（commutator），或译作对易关系、交换子。

　　定义 ${X, Y} = X Y + Y X$ ，称为算符 $X$ 和 $Y$ 的反对易子。

定义 2　相容

　　若算符 $X, Y$ 满足 $[X, Y] = 0$ ，则称它们是相容（compatible）的，或者彼此对易（commute）。

定义 3　克罗内克函数

\begin{matrix} (1) & δ_{i j} = {\begin{array}{r} 0, i \neq j \\ 1, i = j \end{array} . \end{matrix}

定义 4　Levi-Civita 符号¹。

　　设 $σ \in S_{n}$ ，即 $σ$ 是正整数 $1, 2, \dots, n$ 之间的一个置换，或者说集合 ${1, 2, \dots n}$ 到自身的双射。 $sgn σ$ 是 $σ$ 的逆序数。

\begin{matrix} (2) & ϵ_{σ (1) σ (2) \dots σ (n)} = sgn σ . \end{matrix}

　　而对于 $i_{k} \in {1, 2, \dots, n}$ ，若存在 $a < b \leq n$ 使得 $i_{a} = i_{b}$ ，则

\begin{matrix} (3) & ϵ_{i_{1} i_{2} \dots i_{n}} = 0 . \end{matrix}

2. 对易关系

　　量子力学中的基本算符的对易关系列举如下²：

定理 1　海森堡对易关系

\begin{matrix} (4) & [\hat{x}, {\hat{p}}_{x}] = i ℏ . \end{matrix}

　　海森堡对易关系是量子力学中最基本的对易关系。

推论 1　

\begin{matrix} (5) & [\hat{i}, {\hat{p}}_{j}] = i ℏ δ_{i j}, \end{matrix}

其中

i, j \in {x, y, z}

，

δ_{i j}

是克罗内克 delta 函数。

定理 2　空间角动量算符的对易关系

　　定义空间角动量算符 $\hat{L}$ 的 $x$ 分量为 ${\hat{L}}_{x} = - i ℏ (y \frac{\partial}{\partial_{z}} - z \frac{\partial}{\partial_{y}})$ 。定义 ${\hat{L}}^{2} = \hat{L} \cdot \hat{L} = {\hat{L}}_{x}^{2} + {\hat{L}}_{y}^{2} + {\hat{L}}_{z}^{2}$ 。

\begin{matrix} (6) & [{\hat{p}}_{i}, {\hat{L}}_{j}] = ϵ_{i j k} i ℏ {\hat{p}}_{k}, \end{matrix}

\begin{matrix} (7) & [\hat{i}, {\hat{L}}_{j}] = ϵ_{i j k} i ℏ \hat{k}, \end{matrix}

\begin{matrix} (8) & [{\hat{L}}_{i}, {\hat{L}}_{j}] = ϵ_{i j k} i ℏ {\hat{L}}_{k}, \end{matrix}

\begin{matrix} (9) & [{\hat{L}}^{2}, {\hat{L}}_{i}] = 0, \end{matrix}

\begin{matrix} (10) & {{\hat{L}}_{i}, {\hat{L}}_{j}} = δ_{i j} \frac{ℏ^{2}}{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} (11) & \hat{L} \times \hat{L} = i ℏ \hat{L} . \end{matrix}

未完成：引用自旋算符内容为证明吧

定理 3　自旋算符的对易关系

\begin{matrix} (12) & [{\hat{S}}_{i}, {\hat{S}}_{j}] = ϵ_{i j k} i ℏ S_{k}, \end{matrix}

\begin{matrix} (13) & {{\hat{S}}_{i}, {\hat{S}}_{j}} = δ_{i j} \frac{ℏ^{2}}{2} . \end{matrix}

1. ^ 另见列维—奇维塔符号
 2. ^ 计算过程中不要忘了，要代入辅助函数，利用映射的复合来定义算子的乘法。

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算符对易性（量子力学）

1. 符号介绍

定义 1 对易子

定义 2 相容

定义 3 克罗内克函数

定义 4 Levi-Civita 符号1。

2. 对易关系

定理 1 海森堡对易关系

推论 1

定理 2 空间角动量算符的对易关系

定理 3 自旋算符的对易关系

定义 1　对易子

定义 2　相容

定义 3　克罗内克函数

定义 4　Levi-Civita 符号¹。

定理 1　海森堡对易关系

推论 1　

定理 2　空间角动量算符的对易关系

定理 3　自旋算符的对易关系