算符对易性（量子力学）
贡献者： JierPeter
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1. 符号介绍
定义 1 对易子
对于算符 $X$ 和 $Y$，定义 $[X, Y]=XY-YX$，称为算符 $X$ 和 $Y$ 的对易子（commutator），或译作对易关系、交换子。
定义 $\{X, Y\}=XY+YX$，称为算符 $X$ 和 $Y$ 的反对易子。
定义 2 相容
若算符 $X, Y$ 满足 $[X, Y]=0$，则称它们是相容（compatible）的，或者彼此对易（commute）。
定义 3 克罗内克函数
\begin{equation}
\delta_{ij} = \left\{\begin{aligned}
0, \qquad i\neq j\\
1, \qquad i = j
\end{aligned}\right. ~.
\end{equation}
定义 4 Levi-Civita 符号1。
设 $\sigma\in S_n$，即 $\sigma$ 是正整数 $1, 2, \cdots, n$ 之间的一个置换，或者说集合 $\{1, 2, \cdots n\}$ 到自身的双射。$ \operatorname {sgn}\sigma$ 是 $\sigma$ 的逆序数。
\begin{equation}
\epsilon_{\sigma(1) \sigma(2) \cdots \sigma(n)}= \operatorname {sgn}\sigma~.
\end{equation}
而对于 $i_k\in\{1, 2, \cdots, n\}$，若存在 $a< b\leq n$ 使得 $i_a=i_b$，则
\begin{equation}
\epsilon_{i_1 i_2 \cdots i_n} = 0~.
\end{equation}
2. 对易关系
量子力学中的基本算符的对易关系列举如下2：
定理 1 海森堡对易关系
\begin{equation}
[\hat{x}, \hat{p}_x] = \mathrm{i} \hbar~.
\end{equation}
海森堡对易关系是量子力学中最基本的对易关系。
推论 1
\begin{equation}
[\hat{i}, \hat{p}_j]= \mathrm{i} \hbar\delta_{ij}~,
\end{equation}
其中 $i, j\in\{x, y, z\}$，$\delta_{ij}$ 是
克罗内克 delta 函数。
定理 2 空间角动量算符的对易关系
定义空间角动量算符 $\hat{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }$ 的 $x$ 分量为 $\hat{L}_x=- \mathrm{i} \hbar(y\frac{\partial}{\partial_z}-z\frac{\partial}{\partial _y})$。定义 $\hat{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }^2=\hat{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }\cdot \hat{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2$。
\begin{equation}
[\hat{p}_i, \hat{L}_j]=\epsilon_{ijk} \mathrm{i} \hbar\hat{p}_k~,
\end{equation}
\begin{equation}
[\hat{i}, \hat{L}_j]=\epsilon_{ijk} \mathrm{i} \hbar\hat{k}~,
\end{equation}
\begin{equation}
[\hat{L}_i, \hat{L}_j]=\epsilon_{ijk} \mathrm{i} \hbar\hat{L}_k~,
\end{equation}
\begin{equation}
[\hat{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }^2, \hat{L}_i]=0~,
\end{equation}
\begin{equation}
\{\hat{L}_i, \hat{L}_j\}=\delta_{ij}\frac{\hbar^2}{2}~,
\end{equation}
\begin{equation}
\hat{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }\times\hat{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }= \mathrm{i} \hbar \hat{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }~.
\end{equation}
未完成：引用自旋算符内容为证明吧
定理 3 自旋算符的对易关系
\begin{equation}
[\hat{S}_i, \hat{S}_j]=\epsilon_{ijk} \mathrm{i} \hbar S_k~,
\end{equation}
\begin{equation}
\{\hat{S}_i, \hat{S}_j\}=\delta_{ij}\frac{\hbar^2}{2}~.
\end{equation}
1. ^ 另见列维—奇维塔符号
2. ^ 计算过程中不要忘了，要代入辅助函数，利用映射的复合来定义算子的乘法。
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