算符对易性(量子力学)

                     

贡献者: JierPeter

  

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预备知识 量子力学中的基本算符

1. 符号介绍

定义 1 对易子

   对于算符 $X$ 和 $Y$,定义 $[X, Y]=XY-YX$,称为算符 $X$ 和 $Y$ 的对易子(commutator),或译作对易关系交换子

   定义 $\{X, Y\}=XY+YX$,称为算符 $X$ 和 $Y$ 的反对易子

定义 2 相容

   若算符 $X, Y$ 满足 $[X, Y]=0$,则称它们是相容(compatible)的,或者彼此对易(commute)

定义 3 克罗内克函数

\begin{equation} \delta_{ij} = \left\{\begin{aligned} 0, \qquad i\neq j\\ 1, \qquad i = j \end{aligned}\right. \end{equation}

定义 4 Levi-Civita 符号1

   设 $\sigma\in S_n$,即 $\sigma$ 是正整数 $1, 2, \cdots, n$ 之间的一个置换,或者说集合 $\{1, 2, \cdots n\}$ 到自身的双射.$ \operatorname {sgn}\sigma$ 是 $\sigma$ 的逆序数

\begin{equation} \epsilon_{\sigma(1) \sigma(2) \cdots \sigma(n)}= \operatorname {sgn}\sigma \end{equation}

   而对于 $i_k\in\{1, 2, \cdots, n\}$,若存在 $a < b\leq n$ 使得 $i_a=i_b$,则

\begin{equation} \epsilon_{i_1 i_2 \cdots i_n} = 0 \end{equation}

2. 对易关系

   量子力学中的基本算符的对易关系列举如下2

定理 1 海森堡对易关系

  

\begin{equation} [\hat{x}, \hat{p}_x] = \mathrm{i} \hbar \end{equation}

   海森堡对易关系是量子力学中最基本的对易关系.

推论 1 

  

\begin{equation} [\hat{i}, \hat{p}_j]= \mathrm{i} \hbar\delta_{ij} \end{equation}
其中 $i, j\in\{x, y, z\}$,$\delta_{ij}$ 是克罗内克 delta 函数

定理 2 空间角动量算符的对易关系

  

   定义空间角动量算符 $\hat{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }$ 的 $x$ 分量为 $\hat{L}_x=- \mathrm{i} \hbar(y\frac{\partial}{\partial_z}-z\frac{\partial}{\partial _y})$.定义 $\hat{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }^2=\hat{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }\cdot \hat{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }=\hat{L}_x^2+\hat{L}_y^2+\hat{L}_z^2$.

\begin{equation} [\hat{p}_i, \hat{L}_j]=\epsilon_{ijk} \mathrm{i} \hbar\hat{p}_k \end{equation}
\begin{equation} [\hat{i}, \hat{L}_j]=\epsilon_{ijk} \mathrm{i} \hbar\hat{k} \end{equation}
\begin{equation} [\hat{L}_i, \hat{L}_j]=\epsilon_{ijk} \mathrm{i} \hbar\hat{L}_k \end{equation}
\begin{equation} [\hat{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }^2, \hat{L}_i]=0 \end{equation}
\begin{equation} \{\hat{L}_i, \hat{L}_j\}=\delta_{ij}\frac{\hbar^2}{2} \end{equation}
\begin{equation} \hat{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }\times\hat{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }= \mathrm{i} \hbar \hat{ \boldsymbol{\mathbf{L}} } \end{equation}

  

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定理 3 自旋算符的对易关系

  

\begin{equation} [\hat{S}_i, \hat{S}_j]=\epsilon_{ijk} \mathrm{i} \hbar S_k \end{equation}
\begin{equation} \{\hat{S}_i, \hat{S}_j\}=\delta_{ij}\frac{\hbar^2}{2} \end{equation}


1. ^ 另见列维—奇维塔符号
2. ^ 计算过程中不要忘了,要代入辅助函数,利用映射的复合来定义算子的乘法.


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