算符对易性(量子力学)

                     

贡献者: JierPeter

  

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预备知识 量子力学中的基本算符

1. 符号介绍

定义 1 对易子

   对于算符 XY,定义 [X,Y]=XYYX,称为算符 XY对易子(commutator),或译作对易关系交换子

   定义 {X,Y}=XY+YX,称为算符 XY反对易子

定义 2 相容

   若算符 X,Y 满足 [X,Y]=0,则称它们是相容(compatible)的,或者彼此对易(commute)

定义 3 克罗内克函数

(1)δij={0,ij1,i=j .

定义 4 Levi-Civita 符号1

   设 σSn,即 σ 是正整数 1,2,,n 之间的一个置换,或者说集合 {1,2,n} 到自身的双射。sgnσσ逆序数

(2)ϵσ(1)σ(2)σ(n)=sgnσ .

   而对于 ik{1,2,,n},若存在 a<bn 使得 ia=ib,则

(3)ϵi1i2in=0 .

2. 对易关系

   量子力学中的基本算符的对易关系列举如下2

定理 1 海森堡对易关系

  

(4)[x^,p^x]=i .

   海森堡对易关系是量子力学中最基本的对易关系。

推论 1 

  

(5)[i^,p^j]=iδij ,
其中 i,j{x,y,z}δij克罗内克 delta 函数

定理 2 空间角动量算符的对易关系

  

   定义空间角动量算符 L^x 分量为 L^x=i(yzzy)。定义 L^2=L^L^=L^x2+L^y2+L^z2

(6)[p^i,L^j]=ϵijkip^k ,
(7)[i^,L^j]=ϵijkik^ ,
(8)[L^i,L^j]=ϵijkiL^k ,
(9)[L^2,L^i]=0 ,
(10){L^i,L^j}=δij22 ,
(11)L^×L^=iL^ .

  

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定理 3 自旋算符的对易关系

  

(12)[S^i,S^j]=ϵijkiSk ,
(13){S^i,S^j}=δij22 .


1. ^ 另见列维—奇维塔符号
2. ^ 计算过程中不要忘了,要代入辅助函数,利用映射的复合来定义算子的乘法。


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