欧拉方程（微分方程）

贡献者：零穹; addis

预备知识　常微分方程

　　具有以下形式的方程称为欧拉方程。

\begin{matrix} (1) & \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{n - i} y^{(n - i)} = 0, \end{matrix}

其中

a_{0} = 1, a_{1}, \dots, a_{n}

为常数。

　　欧拉方程可化为具有如下形式的常系数线性方程

\begin{matrix} (2) & φ (D_{t}) y = 0 . \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} x = e^{t}, \\ D_{t} = \frac{d}{d t}, \\ φ (D_{t}) = \sum_{i = 0}^{n - 1} a_{i} D_{t} (D_{t} - 1) \dots (D_{t} - n + i + 1) + a_{n} = 0 . \end{aligned} \end{matrix}

　　欧拉方程式 1 具有如下形式的解

\begin{matrix} (4) & y = \sum_{i = 1}^{m} x^{r_{i}} P_{k_{i} - 1} (\ln x) . \end{matrix}

其中，

r_{s}

是下面方程的根

\begin{matrix} (5) & φ (r) = \sum_{i = 0}^{n - 1} a_{i} r (r - 1) \dots (r - n + i + 1) + a_{n} = 0 . \end{matrix}

k_{s}

是根

r_{s}

的重数，

m

是不同根的个数，

P_{k_{s} - 1} (\ln x)

是具有任意系数的

k_{s} - 1

次多项式。

　　特别的，当式 5 的所有根均为单根时，欧拉方程式 1 的解为

\begin{matrix} (6) & y = \sum_{i = 1}^{n} C_{i} x^{r_{i}} . \end{matrix}

1. 证明

　　令

\begin{matrix} (7) & x = e^{t}, D_{t} = \frac{d}{d t}, D_{x} = \frac{d}{d x} . \end{matrix}

则

\begin{matrix} (8) & D_{t} y = \frac{d y}{d t} = \frac{d y}{d x} \frac{d x}{d t} = e^{t} D_{x} y, \end{matrix}

即

\begin{matrix} (9) & D_{x} y = e^{- t} D_{t} y . \end{matrix}

上式表明，对自变量

x

的函数

y

施于运算

D_{x}

，相当于施于运算

e^{- t} D_{t}

。于是

\begin{matrix} (10) & D_{x}^{2} y = e^{- t} D_{t} (e^{- t} D_{t}) y . \end{matrix}

由记号因子的性质式 14 和式 13

\begin{matrix} (11) & D_{x}^{2} y = e^{- 2 t} (D_{t} - 1) D_{t} y = e^{- 2 t} D_{t} (D_{t} - 1) y . \end{matrix}

用数学归纳法，容易证明下式成立

\begin{matrix} (12) & D_{x}^{s} y = e^{- s t} D_{t} (D_{t} - 1) \dots (D_{t} - s + 1) y . \end{matrix}

上式可写成

\begin{matrix} (13) & x^{s} D_{x}^{s} y = D_{t} (D_{t} - 1) \dots (D_{t} - s + 1) y . \end{matrix}

式 13 代入式 1 ，便得式 2 .

　　对于算符 $φ (D_{t})$ ，若存在函数 $f (t)$ ，使得 $φ (D_{t}) f (t) = λ f (t)$ （ $λ$ 为常数），则称 $f (t)$ 为其具有特征值 $λ$ 的特征函数。显然， $e^{r t}$ ( $r$ 为常数)为 $φ (D_{t})$ 的特征函数，对应特征值为 $φ (r)$ 。对方程式 2 ，这等价于找 $φ (D_{t})$ 的具有特征值 $0$ 的特征函数，即

\begin{matrix} (14) & φ (r) = 0, \end{matrix}

方程式 14 叫作常系数线性方程式 2 的特征方程。

　　对于线性齐次方程，其解的线性叠加仍是其解，即若式 14 的根 $r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n}$ 都是单根，则其方程式 2 的解为

\begin{matrix} (15) & y = \sum_{i = 1}^{n} C_{i} e^{r_{i} t} = \sum_{i}^{n} C_{i} x^{r_{i}} . \end{matrix}

若式 14 的根

r_{1}, r_{2}, \dots, r_{n}

为重根，其中重数根

r_{s}

的重数为

k_{s}

，不同根的个数为

m

。则可证明

e^{r_{s} t} P_{k_{s} - 1} (t)

是方程式 2 的解，于是方程式 1 的解形式为式 4 .

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