欧拉方程(微分方程)

                     

贡献者: 零穹; addis

预备知识 常微分方程

   具有以下形式的方程称为欧拉方程

(1)i=0naixniy(ni)=0 ,
其中 a0=1,a1,,an 为常数。

   欧拉方程可化为具有如下形式的常系数线性方程

(2)φ(Dt)y=0 .
其中
(3)x=et ,Dt=ddt ,φ(Dt)=i=0n1aiDt(Dt1)(Dtn+i+1)+an=0 .

   欧拉方程式 1 具有如下形式的解

(4)y=i=1mxriPki1(lnx) .
其中,rs 是下面方程的根
(5)φ(r)=i=0n1air(r1)(rn+i+1)+an=0 .
ks 是根 rs 的重数,m 是不同根的个数,Pks1(lnx) 是具有任意系数的 ks1 次多项式。

   特别的,当式 5 的所有根均为单根时,欧拉方程式 1 的解为

(6)y=i=1nCixri .

1. 证明

   令

(7)x=et,Dt=ddt,Dx=ddx .
(8)Dty=dydt=dydxdxdt=etDxy ,
(9)Dxy=etDty .
上式表明,对自变量 x 的函数 y 施于运算 Dx,相当于施于运算 etDt。于是
(10)Dx2y=etDt(etDt)y .
由记号因子的性质式 14 式 13
(11)Dx2y=e2t(Dt1)Dty=e2tDt(Dt1)y .
用数学归纳法,容易证明下式成立
(12)Dxsy=estDt(Dt1)(Dts+1)y .
上式可写成
(13)xsDxsy=Dt(Dt1)(Dts+1)y .
式 13 代入式 1 ,便得式 2 .

   对于算符 φ(Dt),若存在函数 f(t),使得 φ(Dt)f(t)=λf(t)λ 为常数),则称 f(t) 为其具有特征值 λ 的特征函数。显然,ert(r 为常数)为 φ(Dt) 的特征函数,对应特征值为 φ(r)。对方程式 2 ,这等价于找 φ(Dt) 的具有特征值 0 的特征函数,即

(14)φ(r)=0 ,
方程式 14 叫作常系数线性方程式 2 特征方程

   对于线性齐次方程,其解的线性叠加仍是其解,即若式 14 的根 r1,r2,,rn 都是单根,则其方程式 2 的解为

(15)y=i=1nCierit=inCixri .
式 14 的根 r1,r2,,rn 为重根,其中重数根 rs 的重数为 ks,不同根的个数为 m。则可证明 erstPks1(t) 是方程式 2 的解,于是方程式 1 的解形式为式 4 .


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