欧拉方程(微分方程)

             

贡献者: 零穹; addis

   具有以下形式的方程称为欧拉方程

\begin{equation} \sum_{i=0}^{n}a_ix^{n-i}y^{(n-i)}=0 \end{equation}
其中 $a_0=1,a_1,\cdots,a_n$ 为常数.

   欧拉方程可化为具有如下形式的常系数线性方程

\begin{equation} \varphi(D_t)y=0 \end{equation}
其中
\begin{equation} \begin{aligned} &x=e^t\\ &D_t= \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} \\ &\varphi(D_t)=\sum_{i=0}^{n-1}a_iD_t(D_t-1)\cdots(D_t-n+i+1)+a_n=0 \end{aligned} \end{equation}

   欧拉方程式 1 具有如下形式的解

\begin{equation} y=\sum_{i=1}^mx^{r_i}P_{k_i-1}(\ln x) \end{equation}
其中,$r_s$ 是下面方程的根
\begin{equation} \varphi(r)=\sum_{i=0}^{n-1}a_ir(r-1)\cdots(r-n+i+1)+a_n=0 \end{equation}
$k_s$ 是根 $r_s$ 的重数,$m$ 是不同根的个数,$P_{k_s-1}(\ln x)$ 是具有任意系数的 $k_s-1$ 次多项式.

   特别的,当式 5 的所有根均为单根时,欧拉方程式 1 的解为

\begin{equation} y=\sum_{i=1}^{n}C_ix^{r_i} \end{equation}

1. 证明

   令

\begin{equation} x=e^t,\quad D_t= \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{t}} ,\quad D_x= \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{x}} \end{equation}
\begin{equation} D_ty= \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}{y}}{\mathrm{d}{x}} \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{t}} =e^tD_xy \end{equation}
\begin{equation} D_xy=e^{-t}D_ty \end{equation}
上式表明,对自变量 $x$ 的函数 $y$ 施于运算 $D_x$,相当于施于运算 $e^{-t}D_t$.于是
\begin{equation} D_x^2y=e^{-t}D_t(e^{-t}D_t)y \end{equation}
由记号因子的性质式 14 式 13
\begin{equation} D_x^2y=e^{-2t}(D_t-1)D_ty=e^{-2t}D_t(D_t-1)y \end{equation}
用数学归纳法,容易证明下式成立
\begin{equation} D_x^sy=e^{-st}D_t(D_t-1)\cdots (D_t-s+1)y \end{equation}
上式可写成
\begin{equation} x^sD_x^sy=D_t(D_t-1)\cdots (D_t-s+1)y \end{equation}
式 13 代入式 1 ,便得式 2 .

   对于算符 $\varphi(D_t)$,若存在函数 $f(t)$,使得 $\varphi(D_t)f(t)=\lambda f(t)$($\lambda$ 为常数),则称 $f(t)$ 为其具有特征值 $\lambda$ 的特征函数.显然,$e^{rt}$($r$ 为常数)为 $\varphi(D_t)$ 的特征函数,对应特征值为 $\varphi(r)$.对方程式 2 ,这等价于找 $\varphi(D_t)$ 的具有特征值 $0$ 的特征函数,即

\begin{equation} \varphi(r)=0 \end{equation}
方程式 14 叫作常系数线性方程式 2 特征方程

   对于线性齐次方程,其解的线性叠加仍是其解,即若式 14 的根 $r_1,r_2,\cdots,r_n$ 都是单根,则其方程式 2 的解为

\begin{equation} y=\sum_{i=1}^{n}C_ie^{r_it}=\sum_i^{n}C_ix^{r_i} \end{equation}
式 14 的根 $r_1,r_2,\cdots,r_n$ 为重根,其中重数根 $r_s$ 的重数为 $k_s$,不同根的个数为 $m$.则可证明 $e^{r_st}P_{k_s-1}(t)$ 是方程式 2 的解,于是方程式 1 的解形式为式 4 .


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