欧拉方程(微分方程)
贡献者: 零穹; addis
具有以下形式的方程称为欧拉方程。
其中 为常数。
欧拉方程可化为具有如下形式的常系数线性方程
其中
欧拉方程式 1 具有如下形式的解
其中, 是下面方程的根
是根 的重数, 是不同根的个数, 是具有任意系数的 次多项式。
特别的,当式 5 的所有根均为单根时,欧拉方程式 1 的解为
1. 证明
令
则
即
上式表明,对自变量 的函数 施于运算 ,相当于施于运算 。于是
由记号因子的性质
式 14 和
式 13
用数学归纳法,容易证明下式成立
上式可写成
式 13 代入
式 1 ,便得
式 2 .
对于算符 ,若存在函数 ,使得
( 为常数),则称 为其具有特征值 的特征函数。显然,( 为常数)为 的特征函数,对应特征值为 。对方程式 2 ,这等价于找 的具有特征值 的特征函数,即
方程
式 14 叫作常系数线性方程
式 2 的
特征方程。
对于线性齐次方程,其解的线性叠加仍是其解,即若式 14 的根 都是单根,则其方程式 2 的解为
若
式 14 的根 为重根,其中重数根 的重数为 ,不同根的个数为 。则可证明 是方程
式 2 的解,于是方程
式 1 的解形式为
式 4 .
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