极坐标系

                     

贡献者: addis

预备知识 平面直角坐标系,位置矢量,四象限 Arctan 函数
图
图 1:极坐标系和两个单位矢量

   平面上的极坐标系如图 1 ,在平面上上取一个点作为原点,过原点作一条轴称为极轴,并选定极轴的正方向,规定单位长度。该平面上某点与原点连成的线段叫做极径,其长度一般用 $r$(或 $\rho$)表示。若 $r$ 为负值,则表示反方向的长度。极径与极轴的夹角叫做极角(规定逆时针旋转极角增加,顺时针旋转则减少),用 $\theta $ 表示。$\theta$ 的值通常表示成弧度,取值范围一般选 $(-\pi, \pi]$ 或 $[0, 2\pi)$。于是任何一点都可以用两个有序实数 $(r,\theta)$ 来表示其在该平面上的位置,这就是一个点的极坐标

   为了表示一个坐标对应的单位矢量,我们一般把坐标变量名记为粗体并在上方加一个标记。例如直角坐标系中,$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $(有时也记为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{i}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{j}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{k}}} $)代表 $x,y,z$ 轴方向的单位矢量。在极坐标中,定义 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 为 $r$ 增加的方向的单位矢量,$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 为 $\theta$ 坐标增加方向的单位矢量(即 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 逆时针旋转 $\pi/2$ 的方向)。$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 与 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 互相垂直,构成一对单位正交基底,平面上的任意矢量都可以正交分解到这两个方向上。我们通常把 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} $ 的方向叫做径向(法向),把 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} $ 的方向叫做切向。要注意极坐标中的两个单位矢量是 $\theta$ 的函数,对于不同的 $\theta$,它们的方向也不同。

习题 1 

   试证明极坐标方程 $r = r_0/ \cos\left(\theta - \theta_0\right) $ 和 $r = 2R \cos\left(\theta - \theta_0\right) $ 分别表示一条直线和一个圆。

1. 与直角坐标的转换

   要在极坐标系的基础上建立一个直角坐标系,习惯的做法是取原点相同,且令 $x$ 轴与极轴重合,$y$ 轴取 $\theta = \pi/2$ 的方向。这样将 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 用 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 和 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} $ 展开,就得到

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{r}} = r\cos\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + r\sin\theta\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ~, \end{equation}
\begin{equation} \begin{cases} x = r\cos\theta\\ y = r\sin\theta \end{cases}~. \end{equation}
这样就从极坐标转换成为直角坐标。

   要从直角坐标转换为极坐标,首先由勾股定理有 $r^2 = x^2 + y^2$。使用反正切函数,我们可以表示 $x >0$ 或 $\theta\in(-\pi/2,\pi/2)$ 时的 $\theta$,即 $\theta = \arctan\left(y/x\right) $。为了表示任意情况我们可以使用 $ \operatorname{Arctan} $ 函数式 1 。这样,从直角坐标转到极坐标的转换就可以表示为

\begin{equation} \begin{cases} r = \sqrt{x^2 + y^2}\\ \theta = \operatorname{Arctan} (y, x) \end{cases}~. \end{equation}
根据 $ \operatorname{Arctan} $ 的定义(式 1 ),$\theta$ 的范围是 $(-\pi, \pi]$。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利