矢量函数

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　　¹我们在一元函数函数与多元函数中已经学会了函数的映射含义：一元函数就是把定义域中的一个数通过一定的方式转换为另一个数；而多元函数相当于把定义域中的一组数通过一定的方式转换为另一个数。 $$ r=f(a)~, \qquad r=f(a_1, a_2, a_3,...)~. $$

　　 如今，我们要面对矢量函数。他的含义也完全类似：矢量函数把定义域中的一个矢量通过一定的方式转换为另一个矢量。 $$ \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{a}} )~. $$ 当然，我们也有多元矢量函数（这是笔者使用的名称，似乎没有人这么称呼！），他可以把定义域中的一组矢量与/或标量通过一定的方式转换为另一个矢量。 $$ \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{a}} , t, ...)~. $$

　　 如果你还是暂时理解不了矢量函数的概念，更简单粗暴的方法是拆分所有矢量为分量形式，这样你就把一个矢量函数化为了一组多元函数。当然，为了能够写出矢量的分量形式，你必须指明坐标系。

　　 例如，我们上文所言的矢量函数可以拆分为这 $3$ 个多元函数： $$ \boldsymbol{\mathbf{r}} = \boldsymbol{\mathbf{f}} ( \boldsymbol{\mathbf{a}} ) \Leftrightarrow \left \{ \begin{aligned} r_x &= f_x( \boldsymbol{\mathbf{a}} , t)\\ r_y &= f_y( \boldsymbol{\mathbf{a}} , t)\\ r_z &= f_z( \boldsymbol{\mathbf{a}} , t)\\ \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left \{ \begin{aligned} r_x &= f_x(a_x,a_y,a_z,t)\\ r_y &= f_y(a_x,a_y,a_z,t)\\ r_z &= f_z(a_x,a_y,a_z,t)~.\\ \end{aligned} \right. $$ 其中 $r_x, r_y, r_z$ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 分别在三个轴上的分量，$f_x,f_y,f_z$ 是三个多元函数（这里的下标不是求偏导的意思！）。

　　 有时，矢量形式的矢量函数更能直观地反映函数背后的物理含义，而分量形式反而让你陷入具体数值的池沼。因此，在你熟悉矢量函数的概念后，我不建议你继续做这种拆分。

1. ^ 本文参考了 [5]。