度量空间

             

预备知识 集合

   度量空间是除拓扑空间外最广义的空间.它在集合的基础上增加了距离或长度的概念.

图
图 1:用维恩图表示几种不同空间之间的关系,从内到外分别是内积空间,赋范空间,度量空间,拓扑空间(修改自维基百科)

定义 1 度量空间

   一个集合中任意两个元素 $u, v$ 间若定义了满足以下条件的距离函数(distance function) $d(u, v)$(函数值为实数),那它就是一个度量空间(metric space).集合中的每个元素就叫空间中的一个

  • 正定性:$d(u, v) \geq 0$,且 $d(u, v)=0$ 当且仅当 $u=v$
  • 对称性:$d(u, v) = d(v, u)$
  • 三角不等式:$d(u, v) \leqslant d(u, w) + d(w, v)$

   其中 “三角不等式” 就是通常所说的 “三角形两边之和不小于第三边”,移向后就变为 “两边之差不大于第三边”.

未完成:修改批注:将原先的四个条件整合成三个条件,并冠以数学界习惯的名称,方便学生记忆.

例 1 欧几里得空间

   $N$ 维欧几里得空间 $\mathbb R^N$ 中通常定义距离函数为

\begin{equation} d(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^N (x_i - y_i)^2} \end{equation}
那么它是一个度量空间(证明留做习题).

   特殊地,实数域 $\mathbb R$ 通常的距离函数为 $d(x, y) = \left\lvert x - y \right\rvert $.

   日常生活中,我们关于距离的直观概念都是建立在例 1 的基础上的,但度量空间是非常广义和抽象的.例如上例中 $d(x, y) = \left\lvert x^3 - y^3 \right\rvert $ 也可以是 $\mathbb R$ 的距离函数;又例如我们可以把一些函数的集合看成一个度量空间:

例 2 

   所有 $f:\mathbb R \to \mathbb R$ 函数的集合是一个度量空间,如果定义距离函数为

\begin{equation} d(f, g) = \max{ \left\lvert f(x) - g(x) \right\rvert } \end{equation}
证明留做习题.

推论 1 

   度量空间 $X$ 的子集 $A$ 若继承 $X$ 的距离函数,那么 $A$ 也是一个度量空间,称为 $X$ 的子空间(subspace)

   证明显然.

1. 对比线性空间

   虽然例 1 例 2 的集合也可以用于定义线性空间,但二者却有较大区别:比起线性空间,度量空间有距离或长度的概念而线性空间却不一定(见范数).线性空间必须定义 “加法” 和 “标量积” 两种运算而度量空间不必.线性空间的 “零元” 在度量空间也不必存在.

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利