度量空间中的概念

             

预备知识 度量空间

   度量空间与一般集合的最大区别就是元素之间有了距离的概念.利用距离函数我们可以定义许多度量空间特有的基本概念.

定义 1 邻域

   给定一个半径 $r > 0$,度量空间 $X$ 中的一点 $x$ 周围所有满足 $d(x, y) < r$ 的点 $y \in X$(包括 $x$ 自己)就是 $x$ 在 $X$ 中的一个邻域(neighborhood) $N_r$.如果将邻域去掉 $x$ 本身,就叫做去心邻域(deleted/punctured neighbourhood)

   注意邻域取决于所讨论的度量空间,例如即使当 $x$ 和 $r$ 不变,当 $X$ 分别取有理数集和实数集时,邻域 $N_r$ 也是不同的.如果 $x$ 同时属于两个不同空间 $A, B$,那么我们应该区分 $x$ 在 $A$ 中的邻域和 $x$ 在 $B$ 中的邻域:前者是 $A$ 的子集,而后者是 $B$ 的子集.以下许多概念也与讨论的空间有关,所以在讨论时我们需要明确使用哪个空间.

   邻域至少包含一个点,而去心邻域可以是空集.

定义 2 内点

   给定度量空间 $X$ 的一个子集 $A$.如果某点 $x\in A$ 在 $X$ 中的某邻域是 $A$ 的子集,那么 $x$ 就是集合 $A$ 的内点(interior point)

   换言之:给定度量空间 $X$ 的一个子集 $A$ 以及 $x \in A$,如果存在 $r > 0$ 使所有 $X$ 中所有与 $x$ 距离小于 $r$ 的点都属于 $A$,那么 $x$ 就是 $A$ 的内点.

例 1 

   一个点是否是集合 $A$ 的内点取决于 $X$ 的定义.例如令 $A$ 为 $(-1, 1)$ 中的有理数,$X$ 为有理数集,则 $A$ 中的任意点都是内点.但如果令 $X$ 为实数集,那么 $A$ 中的任意点都不是内点,因为可以证明任意两个有理数之间都存在实数.若令 $X = A$,那么所有点都是内点.

定义 3 极限点,离散点

   给定度量空间 $X$ 中的一点 $x$,如果 $x$(在 $X$ 中)1的任意去心邻域都不为空,那么 $x$ 就是集合 $X$ 的一个极限点(limit point).如果一个点不是极限点,它就是离散点(discrete point)

例 2 

   有理数集或实数集($\mathbb R$)构成的度量空间中任意一点都是极限点(证明显然).

定义 4 

   如果讨论度量空间 $X$ 和它的子空间 $A$,那么如果存在一点 $x \in X$(但未必 $x \in A$),使得 $x$ 在 $A$ 中的所有去心邻域都不为空,那么就说 $x$ 是 $A$ 在 $X$ 中的极限点

   根据定义 3 ,$A$ 在 $X$ 的极限点都是 $X$ 的极限点.当 $x \in A$ 时可以直接说 $x$ 是 $A$ 的极限点,但 $x \notin A$ 时则不能.

   例如有理数(作为 $\mathbb R$ 的一个子集)的(在 $\mathbb R$ 中的)极限点却不一定是有理数,例如 $\sqrt{2}$ 的任意邻域中都有无穷个有理数,所以是有理数集的一个极限点,但 $\sqrt{2}$ 却是无理数.

推论 1 

   度量空间 $X$ 中的点 $x$ 是极限点的充分必要条件是,$x$ 的任意去心邻域都有无穷多个点.

   证明:使用反证法.如果 $x$ 的某个去心领域只有有限个点,那么必定能找到离 $x$ 最近的一点 $y$,那么对于任意的 $r < d(x, y)$,$x$ 的去心邻域为空,与定义矛盾.证毕.

推论 2 

   有限元素的集合都不存在极限点.

定义 5 序列的极限

   给定度量空间 $X$ 中的无穷个点组成的序列(sequence) $x_1, x_2, \dots$ 以及一点 $x$,若对任意给定的 $\epsilon > 0$,总存在 $N$ 使得当 $n > N$ 时就有 $d(x_n, x) < \epsilon$,那么 $x$ 就是该序列的极限(limit)

   需要注意:

推论 3 

   给定度量空间 $X$ 的任意极限点 $x$,都可以构建一个 $X$ 中的序列使其极限为 $x$.

   给定 $A \subsetneq X$ 的在 $X$ 中的任意极限点 $y \in X, y \notin A$,都可以构建一个 $A$ 中的序列使其在 $X$ 中的极限点为 $y$.

   证明显然.

1. 开集和闭集

   我们初高中所学的开区间就是实数集 $\mathbb R$ 的开集.任意开区间的并和有限开区间的交也是 $\mathbb R$ 的开集.下面我们对任意度量空间通过距离的概念给出开集的定义.

定义 6 度量空间的开集

   若度量空间 $X$ 的子集 $A$ 中的任意一点都是内点(定义 2 ),那么 $A$ 就是一个开集(open set)

   换言之:给定度量空间 $X$ 的一个子集 $A$,若对于任意 $x \in A$ 都存在 $r > 0$ 使得 $X$ 中与 $x$ 距离小于 $r$ 的所有点都属于 $A$,那么 $A$ 就是一个开集.

   如果 $A$ 不是开集,就说它是非开的(not open)

   由于 $A$ 中的点是否为内点取决于 $X$,所以 $A$ 是否为开集也是相对于 $X$ 而言的.例 1 中的三种情况下 $A$ 分别是开集、非开集、开集.

定义 7 度量空间的闭集

   若度量空间 $X$ 的子集 $A$ 是开集,那么 $A$ 关于 $X$ 的补集就是闭集(closed set)

   根据这个定义,显然闭集的补集都是开集.显然 $A$ 是否是闭集同样取决于 $X$ 的选取.

定理 1 

   度量空间 $X$ 的子集 $A$ 是闭集的充分必要条件是:$A$ 在 $X$ 中的所有极限点(定义 4 )都属于 $A$.

   注意 “开集” 和 “闭集” 并不是反义词,一个集合如果看作它本身的子集($A = X$),则它既开又闭.例如将例 1 中的开区间改为闭区间,则三种情况下 $A$ 分别是 “非开但闭”,“非开非闭”,“又开又闭”.

拓展

   即使讨论的不是度量空间(没有距离的概念),我们也可以通过更广义的方式定义开集,见 “拓扑空间”.度量空间是拓扑空间的一种,可以证明上述定义的开集同样满足拓扑空间中对开集的要求,即 “有限交任意并” 也都是开集.


1. ^ 在定理中,我们一般假设只存在提到的集合,所以这里的 “(在 $X$ 中)” 可以省略.

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