贡献者： addis; JierPeter; Giacomo
拓扑空间（topological space）是能够定义连续性，连通性，收敛等性质的最一般化的数学空间。度量空间和流形等都是拓扑空间的例子。
1. 拓扑
从实函数的连续性中我们知道开集是讨论连续性的基础，所以拓扑学首先要定义什么是开集。我们提取了开集最重要的特征，然后用这些特征来定义开集。
定义 1 拓扑
对于任意给定的集合 $X$，如果我们按照一定规则将它的子集划分为开集（open set）和其它子集，那么所有开集的集合就叫做集合 $X$ 的一个拓扑 $\mathcal{T}$。这个规则是：
- 空集 $\varnothing$ 和 $X$ 本身必须是开子集
- 有限交封闭：有限个开子集的交集为开子集
- 任意并封闭：任意个开子集的并集为开子集
其中，拓扑空间的第一条公理有时会略去不写。因为我们只要在第二条公理处取指标集为空即可得到 $X \in \mathcal{T}$，取第三条公理的指标集为空就有 $\varnothing \in \mathcal{T}$。
$X$ 的全体子集构成一个族，即 $X$ 的幂集 $2^X$，显然有 $\mathcal{T}\subset2^X$。同一个集合上的拓扑一般不止一种。
每一个开集 $U$ 的补集 $U^C=X-U$，被称为一个闭集（closed set）。$2^X$ 的元素中，有些是开集，有些是闭集，有的既开又闭，也有的既不开也不闭。
例 1 凝聚拓扑和离散拓扑
对给定的集合 $X$，若只定义 $\varnothing$ 和 $X$ 本身为开集，$X$ 的其他子集为非开，则这个拓扑称为凝聚拓扑或者平凡拓扑（trivial topology），这是符合定义 1 的元素最少的拓扑。
相对地，若令 $X$ 的任意子集都为开集，则得到离散拓扑（discrete topology），这是元素最多的拓扑。
未完成：拓扑之间的关系：粗细/疏松致密/强弱
例 2 Sierpinski 拓扑
令集合为 $X=\{0, 1\}$，赋予拓扑 $\mathcal{T}=\{\varnothing, \{0\}, X\}$，则我们得到了一个 Sierpinski 空间。
光有正例也并不容易建立对 “拓扑” 这一概念的直观，我们再看一个简单的反例：
例 3 反例
令集合为 $X=\{0, 1, 2\}$，则集族 $\{\varnothing, \{0\},\{1\},\{2\}, X\}$ 并不是一个拓扑，因为 $\{0\}\cup\{1\}=\{0,1\}$ 并不在这个集族里，从而不满足任意并封闭条件。
定义 2 拓扑基
对于给定的拓扑空间 $(X, \mathcal{T})$，如果 $\mathcal{B}$ 是 $\mathcal{T}$ 的一个子族，而且使得拓扑 $\mathcal{T}$ 中的任何开集都可以表示为 $\mathcal{B}$ 中若干开集（个数任意，可以是 0 个、有限个或无限个）的并，那么称 $\mathcal{B}$ 是 $\mathcal{T}$ 的一个拓扑基（topological basis）。
拓扑基的定义中，要求 $\mathcal{B}$ 中的元素都是 $X$ 的开集，而 $X$ 中一切开集都可以由这些元素取并集而得到。事实上，也可以不用强调
$\mathcal{B}$ 中的元素都是开集，而是简单地说一个集合 $U$ 是开集当且仅当 $U$ 是 $\mathcal{B}$ 中若干元素的并，这其中当然也包括单个元素，所以这种说法蕴含了 “$\mathcal{B}$ 中的元素都是开集”。
任意拿一些 $X$ 的子集来构成一个族 $\mathcal{A}$，这个族不一定是某个拓扑的拓扑基；也就是说，$\mathcal{A}$ 中任意多个元素的并集所构成的集合，并不一定是一个拓扑。所以不是所有的 $\mathcal{A}$ 都可以成为某个拓扑的拓扑基。如果 $\mathcal{A}$ 是某个拓扑的拓扑基，则简单称其为一个拓扑基1。
例 4 度量拓扑
参见度量空间文章。
通常的欧几里得空间 $\mathbb{R}^n=\{(x_1, \cdots x_n)|x_i\in \mathbb{R}\}$，记 $\{(y_1, \cdots y_n)|y_i\in \mathbb{R}, \sum_i(y_i-x_i)^2< r^2\}$ 为以 $(x_1, \cdots x_n)$ 为球心、$r\geqslant 0$ 为半径的开球（open sphere）. 那么全体开球的集合 $\mathcal{B}$ 是某个拓扑 $\mathcal{T}$ 的拓扑基，$\mathcal{T}$ 此时就是一个度量拓扑（metric topology）。这个拓扑就是最常见的实空间上的拓扑，有很直观的几何意义。
特殊地，当 $N = 1$ 时，$\mathbb R$ 上所有开区间的集合构成一个拓扑基，也就是说任意个开区间的并和有限个开区间的交都是开区间。
由开球生成的这个拓扑，还有一种定义方法：$A\subset \mathbb{R}^n$ 是一个开集，当且仅当对于任意的 $x\in A$，存在一个半径 $r$，使得 $\mathbb R^n$ 中到 $x$ 距离小于 $r$ 的所有点都在 $A$ 内。也就是说，开集的点都是内点。
证明所有点都是内点的集合必定可以表示为开球的并：$\mathbb R^n$ 中的集合 $X$ 的内点的定义是必然存在以其为圆心的，由 $X$ 的元素构成的开球，所以如果所有的点都是内点，则 $X$ 必然是开球的并。反证：如果 $X$ 中有一点不属于任何由 $X$ 的元素构成的开球，那么它就不是内点，所以 $X$ 也不可能是一个开集。
定义 3 子拓扑
如果已经给定了一个拓扑 $(X, \mathcal{T})$，那么在 $X$ 的一个子集 $A$ 上可以继承一个拓扑 $\mathcal{T}|_A$，定义为：
$\mathcal{T}|_A=\{U\cap A|U\in \mathcal{T}\}$。那么 $\mathcal{T}|_A$ 称为 $\mathcal{T}$ 的子拓扑（subtopology）或者限制拓扑，$(A, \mathcal{T}|_A)$ 构成了 $(X, \mathcal{T})$ 的一个子拓扑空间（subspace）。
子拓扑的开集，就是原拓扑空间 $X$ 的开集和子空间集合 $A$ 的交。
例 5 度量空间的子空间
设 $(\mathbb{R}^2, \mathcal{T}_2)$ 是二维实度量空间，即 $x-y$ 平面；$(\mathbb{R}, \mathcal{T}_1)$ 是一维实度量空间，即 $x$ 轴。那么 $\mathcal{T}_1$ 刚好是 $\mathcal{T}_2$ 的子拓扑。
2. 小结和一点拓展
给定集合 $X$ 上的一个拓扑 $\mathcal{T}$，就是 $X$ 上所有开集的集合。也就是说，一个拓扑是 $X$ 的幂集2的子集：$\mathcal{T}\subset 2^X$。给定拓扑，相当于规定了哪些子集是开集。一个子集可以是开集，也可以是闭集；可以既开又闭，还可以既不开也不闭。
我们如上定义了拓扑基的概念，一个拓扑基 $\mathcal{B}$ 也是 $2^X$ 的一个子集，但是它不一定成为拓扑，因为它不要求满足任意并封闭和有限交封闭。
事实上，任意给定 $2^X$ 的一个子集 $\mathcal{S}$，即使它不是一个拓扑，我们也可以找到一个包含它的最小拓扑 $T(\mathcal{S})$，这个时候称 $\mathcal{S}$ 是 $T(\mathcal{S})$ 的一个子基（sub-basis）。可以证明，先把 $\mathcal{S}$ 的有限多个元素3拿出来计算出交集，把一切这样的有限交放在一起，构成一个新的集合 $U(\mathcal{S})$；然后再把 $U(\mathcal{S})$ 中的任意多元素拿出来，取并集，再构成一个新的集合 $I(U(\mathcal{S}))$。这样先取全体有限交、再取全体任意并所得到的集合 $I(U(\mathcal{S}))$，就是 $T(\mathcal{S})$。
拓扑基也是子基，但是它特殊的地方在于，一个拓扑基 $\mathcal{B}$ 只需要进行一次任意并运算就可以得到拓扑了：$T(\mathcal{B})=I(\mathcal{B})$，省去了考虑交集的麻烦。
对于任意的 $\mathcal{S}\subset2^X$，判定它是否是（某个拓扑的）拓扑基的一个常用等价条件是：对于任意的 $S_1, S_2\in \mathcal{S}$ 以及任意的 $x\in S_1\cap S_2$，总能找到一个 $S_3\in\mathcal{S}$，使得 $x\in S_3\subset S_1\cap S_2$。
1. ^ $2^X$ 的子族 $\mathcal{A}$ 是一个拓扑基，当且仅当任意 $A_1, A_2\in\mathcal{A}$ 以及任意的 $x\in A_1\cap A_2$，则存在 $A_x\subseteq A_1\cap A_2$，使得 $x\in A_x$ 且 $A_x\in \mathcal{A}$。这是拓扑基的判别法，不要求掌握，感兴趣的读者可以自行证明。
2. ^ 幂集的概念请见集合中脚注。
3. ^ 注意，$\mathcal{S}$ 的元素本身是集合。
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