拓扑空间

             

预备知识 集合

   拓扑空间(topological space)是能够定义连续性,连通性,收敛等性质的最一般化的数学空间.度量空间和流形等都是拓扑空间的例子.

1. 拓扑

   从实函数的连续性中我们知道开集是讨论连续性的基础,所以拓扑学首先要定义什么是开集.我们提取了开集最重要的特征,然后用这些特征来定义开集.

定义 1 拓扑

   对于任意给定的集合 $X$,如果我们按照一定规则将它的子集划分为开集(open set)和其它子集,那么所有开集的集合就叫做集合 $X$ 的一个拓扑 $\mathcal{T}$.这个规则是:

  1. 空集 $\varnothing$ 和 $X$ 本身必须是开子集
  2. 有限交封闭:有限个开子集的交集为开子集
  3. 任意并封闭:任意个开子集的并集为开子集

   $X$ 的全体子集构成一个族,即 $X$ 的幂集 $2^X$,显然有 $\mathcal{T}\subset2^X$.同一个集合上的拓扑一般不止一种.

   每一个开集 $U$ 的补集 $U^C=X-U$,被称为一个闭集(closed set).$2^X$ 的元素中,有些是开集,有些是闭集,有的既开又闭,也有的既不开也不闭.

例 1 凝聚拓扑和离散拓扑

   对给定的集合 $X$,若只定义 $\varnothing$ 和 $X$ 本身为开集,$X$ 的其他子集为非开,则这个拓扑称为凝聚拓扑或者平凡拓扑(trivial topology),这是符合定义 1 的元素最少的拓扑.

   相对地,若令 $X$ 的任意子集都为开集,则得到离散拓扑(discrete topology),这是元素最多的拓扑.

例 2 Sierpinski 拓扑

   令集合为 $X=\{0, 1\}$,赋予拓扑 $\mathcal{T}=\{\varnothing, \{0\}, X\}$,则我们得到了一个 Sierpinski 空间.

   光有正例也并不容易建立对 “拓扑” 这一概念的直观,我们再看一个简单的反例:

例 3 反例

   令集合为 $X=\{0, 1, 2\}$,则集族 $\{\varnothing, \{0\},\{1\},\{2\}, X\}$ 并不是一个拓扑,因为 $\{0\}\cup\{1\}=\{0,1\}$ 并不在这个集族里,从而不满足任意并封闭条件.

定义 2 拓扑基

   对于给定的拓扑空间 $(X, \mathcal{T})$,如果 $\mathcal{B}$ 是 $\mathcal{T}$ 的一个子族,而且使得拓扑 $\mathcal{T}$ 中的任何开集都可以表示为 $\mathcal{B}$ 中若干开集(个数任意,可以是 0 个、有限个或无限个)的并,那么称 $\mathcal{B}$ 是 $\mathcal{T}$ 的一个拓扑基(topological basis)

   拓扑基的定义中,要求 $\mathcal{B}$ 中的元素都是 $X$ 的开集,而 $X$ 中一切开集都可以由这些元素取并集而得到.事实上,也可以不用强调 $\mathcal{B}$ 中的元素都是开集,而是简单地说一个集合 $U$ 是开集当且仅当 $U$ 是 $\mathcal{B}$ 中若干元素的并,这其中当然也包括单个元素,所以这种说法蕴含了 “$\mathcal{B}$ 中的元素都是开集”.

   任意拿一些 $X$ 的子集来构成一个族 $\mathcal{A}$,这个族不一定是某个拓扑的拓扑基;也就是说,$\mathcal{A}$ 中任意多个元素的并集所构成的集合,并不一定是一个拓扑.所以不是所有的 $\mathcal{A}$ 都可以成为某个拓扑的拓扑基.如果 $\mathcal{A}$ 是某个拓扑的拓扑基,则简单称其为一个拓扑基1

例 4 度量拓扑

   参见度量空间词条.

   通常的欧几里得空间 $\mathbb{R}^n=\{(x_1, \cdots x_n)|x_i\in \mathbb{R}\}$,记 $\{(y_1, \cdots y_n)|y_i\in \mathbb{R}, \sum_i(y_i-x_i)^2 < r^2\}$ 为以 $(x_1, \cdots x_n)$ 为球心、$r\geqslant 0$ 为半径的开球(open sphere). 那么全体开球的集合 $\mathcal{B}$ 是某个拓扑 $\mathcal{T}$ 的拓扑基,$\mathcal{T}$ 此时就是一个度量拓扑(metric topology).这个拓扑就是最常见的实空间上的拓扑,有很直观的几何意义.

   特殊地,当 $N = 1$ 时,$\mathbb R$ 上所有开区间的集合构成一个拓扑基,也就是说任意个开区间的并和有限个开区间的交都是开区间.

   由开球生成的这个拓扑,还有一种定义方法:$A\subset \mathbb{R}^n$ 是一个开集,当且仅当对于任意的 $x\in A$,存在一个半径 $r$,使得 $\mathbb R^n$ 中到 $x$ 距离小于 $r$ 的所有点都在 $A$ 内.也就是说,开集的点都是内点

   证明所有点都是内点的集合必定可以表示为开球的并:$\mathbb R^n$ 中的集合 $X$ 的内点的定义是必然存在以其为圆心的,由 $X$ 的元素构成的开球,所以如果所有的点都是内点,则 $X$ 必然是开球的并.反证:如果 $X$ 中有一点不属于任何由 $X$ 的元素构成的开球,那么它就不是内点,所以 $X$ 也不可能是一个开集.

定义 3 子拓扑

   如果已经给定了一个拓扑 $(X, \mathcal{T})$,那么在 $X$ 的一个子集 $A$ 上可以继承一个拓扑 $\mathcal{T}|_A$,定义为: $\mathcal{T}|_A=\{U\cap A|U\in \mathcal{T}\}$.那么 $\mathcal{T}|_A$ 称为 $\mathcal{T}$ 的子拓扑(subtopology)或者限制拓扑,$(A, \mathcal{T}|_A)$ 构成了 $(X, \mathcal{T})$ 的一个子拓扑空间(subspace)

   子拓扑的开集,就是原拓扑空间 $X$ 的开集和子空间集合 $A$ 的交.

例 5 度量空间的子空间

   设 $(\mathbb{R}^2, \mathcal{T}_2)$ 是二维实度量空间,即 $x-y$ 平面;$(\mathbb{R}, \mathcal{T}_1)$ 是一维实度量空间,即 $x$ 轴.那么 $\mathcal{T}_1$ 刚好是 $\mathcal{T}_2$ 的子拓扑.

2. 小结和一点拓展

   给定集合 $X$ 上的一个拓扑 $\mathcal{T}$,就是 $X$ 上所有开集的集合.也就是说,一个拓扑是 $X$ 的幂集2的子集:$\mathcal{T}\subset 2^X$.给定拓扑,相当于规定了哪些子集是开集.一个子集可以是开集,也可以是闭集;可以既开又闭,还可以既不开也不闭.

   我们如上定义了拓扑基的概念,一个拓扑基 $\mathcal{B}$ 也是 $2^X$ 的一个子集,但是它不一定成为拓扑,因为它不要求满足任意并封闭和有限交封闭.

   事实上,任意给定 $2^X$ 的一个子集 $\mathcal{S}$,即使它不是一个拓扑,我们也可以找到一个包含它的最小拓扑 $T(\mathcal{S})$,这个时候称 $\mathcal{S}$ 是 $T(\mathcal{S})$ 的一个子基(sub-basis).可以证明,先把 $\mathcal{S}$ 的有限多个元素3拿出来计算出交集,把一切这样的有限交放在一起,构成一个新的集合 $U(\mathcal{S})$;然后再把 $U(\mathcal{S})$ 中的任意多元素拿出来,取并集,再构成一个新的集合 $I(U(\mathcal{S}))$.这样先取全体有限交、再取全体任意并所得到的集合 $I(U(\mathcal{S}))$,就是 $T(\mathcal{S})$.

   拓扑基也是子基,但是它特殊的地方在于,一个拓扑基 $\mathcal{B}$ 只需要进行一次任意并运算就可以得到拓扑了:$T(\mathcal{B})=I(\mathcal{B})$,省去了考虑交集的麻烦.

   对于任意的 $\mathcal{S}\subset2^X$,判定它是否是(某个拓扑的)拓扑基的一个常用等价条件是:对于任意的 $S_1, S_2\in \mathcal{S}$ 以及任意的 $x\in S_1\cap S_2$,总能找到一个 $S_3\in\mathcal{S}$,使得 $x\in S_3\subset S_1\cap S_2$.


1. ^ $2^X$ 的子族 $\mathcal{A}$ 是一个拓扑基,当且仅当任意 $A_1, A_2\in\mathcal{A}$ 以及任意的 $x\in A_1\cap A_2$,则存在 $A_x\subseteq A_1\cap A_2$,使得 $x\in A_x$ 且 $A_x\in \mathcal{A}$.这是拓扑基的判别法,不要求掌握,感兴趣的读者可以自行证明.
2. ^ 幂集的概念请见集合中脚注.
3. ^ 注意,$\mathcal{S}$ 的元素本身是集合.

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