向量空间上的范数

                     

贡献者: Giacomo

   范数(norm)可以看作几何向量的模长在一般向量空间上的拓展。

定义 1 范数、赋范空间

   设 $X$ 是实数或复数域上的向量空间。$X$ 上的范数是满足如下条件的非负函数 $ \left\lVert \cdot \right\rVert : X \to \mathbb{R}$:

  1. $ \left\lVert x \right\rVert \geqslant 0$(正定),
  2. $ \left\lVert x \right\rVert = 0$ 当且仅当 $x = 0$,
  3. $ \left\lVert \lambda x \right\rVert = |\lambda| \left\lVert x \right\rVert $,
  4. $ \left\lVert x_1+x_2 \right\rVert \leqslant \left\lVert x_1 \right\rVert + \left\lVert x_2 \right\rVert $(三角不等式)。

   如果一个向量空间中定义了范数,我们就把它称为赋范向量空间(normed vector space),简称赋范空间(normed space)

   一个线性空间上可能可以定义许多个范数。两个范数是等价的如果它们导出的度量是强等价的。

例 1 有限维空间上的范数

   设 $p\geq 1$。定义 $\mathbb R^N$ 或 $\mathbb C^N$ 空间(即 $N$ 维实数或复数列向量空间)的 $p$-范数

\begin{equation} \left\lVert x \right\rVert _p = \left(\sum_{i=1}^N \left\lvert x_i \right\rvert ^p \right) ^{1/p}~. \end{equation}
物理中常见的是 2-范数,也叫欧几里得范数(Euclidean norm)
\begin{equation} \left\lVert x \right\rVert _2 = \sqrt{ \left\lvert x_1 \right\rvert ^2 + \left\lvert x_2 \right\rvert ^2 + \dots+|x_N|^2}~. \end{equation}
它是由内积 $$ \langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^Nx_i\bar y_i~ $$ 诱导的。

   在极限 $p \to \infty$ 之下,绝对值最大的 $x_i$ 对求和的贡献将远大于其他分量,所以可定义无穷范数(infinity norm)

\begin{equation} \left\lVert \boldsymbol{\mathbf{x}} \right\rVert _\infty = \max \left\{ \left\lvert x_i \right\rvert \right\} ~. \end{equation}

   除此之外,有限维实或复线性空间上还可以定义许多种不同的范数。不过,有限维实或复线性空间上的任意两个范数必然彼此等价。它们都给出空间上唯一的一个自然拓扑(即使得所有线性泛函(线性函数)均连续的最疏松的拓扑)。

未完成:举例 “定义许多种不同的范数”,或者说明它们不存在


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