向量空间上的范数

贡献者： Giacomo

　　 范数（norm）可以看作几何向量的模长在一般向量空间上的拓展。

定义 1　范数、赋范空间

　　设 $X$ 是实数或复数域上的向量空间。 $X$ 上的范数是满足如下条件的非负函数 $‖ \cdot ‖ : X \to R$ ：

$‖ x ‖ ⩾ 0$ （正定），
$‖ x ‖ = 0$ 当且仅当 $x = 0$ ，
$‖ λ x ‖ = | λ | ‖ x ‖$ ，
$‖ x_{1} + x_{2} ‖ ⩽ ‖ x_{1} ‖ + ‖ x_{2} ‖$ （三角不等式）。

　　如果一个向量空间中定义了范数，我们就把它称为赋范向量空间（normed vector space），简称赋范空间（normed space）。

　　一个线性空间上可能可以定义许多个范数。两个范数是等价的如果它们导出的度量是强等价的。

例 1　有限维空间上的范数

　　设 $p \geq 1$ 。定义 $R^{N}$ 或 $C^{N}$ 空间（即 $N$ 维实数或复数列向量空间）的 $p$ -范数为

\begin{matrix} (1) & {‖ x ‖}_{p} = {(\sum_{i = 1}^{N} {| x_{i} |}^{p})}^{1 / p} . \end{matrix}

物理中常见的是 2-范数，也叫欧几里得范数（Euclidean norm） 即

\begin{matrix} (2) & {‖ x ‖}_{2} = \sqrt{{| x_{1} |}^{2} + {| x_{2} |}^{2} + \dots + | x_{N} |^{2}} . \end{matrix}

它是由内积

⟨ x, y ⟩ = \sum_{i = 1}^{N} x_{i} {\bar{y}}_{i}

诱导的。

　　在极限 $p \to \infty$ 之下，绝对值最大的 $x_{i}$ 对求和的贡献将远大于其他分量，所以可定义无穷范数（infinity norm）为

\begin{matrix} (3) & {‖ x ‖}_{\infty} = max {| x_{i} |} . \end{matrix}

　　除此之外，有限维实或复线性空间上还可以定义许多种不同的范数。不过，有限维实或复线性空间上的任意两个范数必然彼此等价。它们都给出空间上唯一的一个自然拓扑（即使得所有线性泛函（线性函数）均连续的最疏松的拓扑）。

未完成：举例 “定义许多种不同的范数”，或者说明它们不存在

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向量空间上的范数

定义 1 范数、赋范空间

例 1 有限维空间上的范数

定义 1　范数、赋范空间

例 1　有限维空间上的范数