有限覆盖与紧性

贡献者： DTSIo; Giacomo

1. 紧致性的概念

　　 紧致性（compactness）是一个重要的拓扑概念。在分析学中，它首次出现于对定义在实数集子集上函数的研究中。我们试着举一些例子来说明紧致性是怎样一个概念。

　　 从逻辑上说，我们还没有引入连续函数这一概念，但这并不妨碍我们从直观上去理解它。直观上讲，对于点集 $E\subset \mathbb{R}$ 上的函数 $f:E\to \mathbb{R}$, 如果当 $x\in E$ 越来越接近 $x_0$ 时，函数值 $f(x)$ 也会越来越接近 $f$ 在 $x_0$ 处的值 $f(x_0)$, 那么就可以认为它在点 $x_0\in E$ 处是"连续"的。说 $f$ 在 $E$ 上连续，也就是它在 $E$ 的每一点处都连续。

　　 显然连续性是一个局部性质：函数在一点处是否连续，只跟它在这一点的某个邻域里的行为有关。对于一般的集合 $E$, 从其上函数的局部性质是无法推出整体性质的。例如，在开区间 $(0,1)$ 上，

1. 函数 $f_1(x)=1/x$ 是连续的，但它在 $x\to 0$ 时无界;
2. 函数 $f_2(x)=x^2$ 连续且有界，但却达不到它的最大和最小值，例如当 $x\to 0$ 时 $f_2(x)\to 0$, 但它却取不到 $0$ 值;
3. 函数 $f_3(x)=\sin \left(1/x\right)$ 连续且有界，但在 $x\to 0$ 时震荡得越来越厉害，根本没有极限。

　　 归根结蒂，这些"不好"的整体性质，都来自于定义域 $(0,1)$ 的某种"不好的性质": 由于 $0$ 本身不属于开区间 $(0,1)$, 所以没办法用 $0$ 的邻域去覆盖到接近 $0$ 的那些点。当 $x\in (0,1)$ 越来越接近端点时，就只好用 $x$ 的越来越小的邻域去作为看待局部性质的标尺了。如果在开区间 $(0,1)$ 内部来看，当 $x\to 0$ 时，它实际上是不会接近任何一点的（它的极限跑出了定义域的范围）. 换句话说，我们没法找到一个一致（uniform）的标尺去衡量定义域 $(0,1)$ 上的局部性质。这时就说它缺乏紧致性。

　　 在上面这个例子中，给开区间 $(0,1)$ 补上端点就足够解决很多问题，例如保证连续函数都有界，都能达到最大和最小值，而且不会"过分地震荡", 也就是说，函数在不同的点处连续的"程度"都一样。但在更贴近实际应用的复杂场景中，紧致性的缺失可能会造成一些意料之外的后果。有一个简单的例子可以说明这一点（它属于魏尔斯特拉斯）: 给定平面上不共线的三点，则过这三点的曲线长度的最小值是由折线段达到的; 如果一定要求曲线不能有不光滑的角点，那么寻找长度最小值的问题就无解。当然，可以造出光滑的曲线段使之逐渐逼近有角点的折线，但这样得到的"极限构型"却跑出了光滑曲线的类。由此所生发出的弱紧性（weak compactness）概念在现代分析学和微分方程理论中是非常基本的。

2. 定义与例子

　　 设 $K\subset \mathbb{R}$ 是实数集的子集。

　　 简单地说，紧集就是具有"有限覆盖性质"的点集。乍一看这不好理解，但实际上，如果把开集理解为某点的邻域，那么集合 $K$ 总能被有限多个开集覆盖即说明：可以找到一个一致的标尺把 $K$ 的所有局部性质都统一起来。关于这一点的详细解释，可以参考后续文章连续函数的性质, 这里进行一点简单的说明：如果函数 $f:K\to \mathbb{R}$ 是连续的，那么给定一个误差 $\epsilon >0$ 之后，对于任何 $x\in K$ 都可找到它的邻域 $U_x$, 使得当 $y\in K\cap U_x$ 时函数值 $f(y)$ 与 $f(x)$ 的误差小于 $\epsilon$. 邻域 $\{U_x{\}}_{x\in K}$ 显然组成 $K$ 的开覆盖，而如果 $K$ 是紧集，那么从中便可选出有限个开集，使得函数 $f$ 在这些开集上的振幅都可用 $\epsilon$ 控制。这就显示出集合 $K$ 本身的某种整体性质了。

3. 紧集的性质

　　 紧集有一系列很好的拓扑性质。这其中的第一个正是上一小节例子中闭区间套的抽象版本：闭集套性质（property of nested closed sets）:

　　 证明是直接的：交集 ${\cap }_{\alpha \in A}{C}_{\alpha }$ 为空等价于集族 $K\setminus C_{\alpha }$ 组成 $K$ 的开覆盖，所以上述定理其实就是紧致性定义的逆否命题。

　　 证明。 设 $K$ 是紧集。设 $\{x_k\}\subset K$ 是一个序列; 不妨假定 $K$ 是无穷集，而这个序列本身也是没有重复的无穷集。如果 $x\in K$ 不是它的子列极限，那么总有一个邻域 $U_x$ 使得这序列只有有限多元素落在里面。假定每个 $x\in K$ 都不是它的子列极限，那么这样构造的 $U_x$ 显然组成 $K$ 的开覆盖。它的有限子覆盖只能包含 $\{x_k\}$ 中的有限多个元素，与最初它是无穷集的预设违背。

　　 反过来，设 $K$ 中的每个序列都有收敛到 $K$ 中某元素的子序列。设 $\{U_{\alpha }{\}}_{\alpha \in A}$ 是 $K$ 的开覆盖，但却没有有限的子覆盖。可以选出其中可数个开集组成可数开覆盖 $\{U_{{\alpha }_k}{\}}_{k\in \mathbb{N}}$. 按照假定它没有有限子覆盖，于是对于任何 $n$, 补集 $K\setminus {\cup }_{k\le n}{U}_{{\alpha }_k}$ 都非空，即其中有元素 $x_n$. 序列 $\{x_n\}$ 有收敛子序列，不妨设这子序列是 $\{x_{n_l}\}$, 极限是 $x\in K$. 按假定 $x$ 属于某个 $U_{{\alpha }_k}$, 于是从某项开始子序列 $\{x_{n_l}\}$ 也包含于 $U_{{\alpha }_k}$. 这同序列 $\{x_n\}$ 的构造相矛盾。证毕。

　　 这个证明的前半部分单独抽取出来，就是波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理（Bolzano-Weierstrass theorem）:

　　 作为重要的推论，有：