有限覆盖与紧性

                     

贡献者: DTSIo

预备知识 序列的极限

1. 紧致性的概念

   紧致性(compactness)是一个重要的拓扑概念.在分析学中,它首次出现于对定义在实数集子集上函数的研究中.我们试着举一些例子来说明紧致性是怎样一个概念.

   从逻辑上说,我们还没有引入连续函数这一概念,但这并不妨碍我们从直观上去理解它.直观上讲,对于点集 $E\subset\mathbb{R}$ 上的函数 $f:E\to\mathbb{R}$, 如果当 $x\in E$ 越来越接近 $x_0$ 时,函数值 $f(x)$ 也会越来越接近 $f$ 在 $x_0$ 处的值 $f(x_0)$, 那么就可以认为它在点 $x_0\in E$ 处是"连续"的.说 $f$ 在 $E$ 上连续,也就是它在 $E$ 的每一点处都连续.

   显然连续性是一个局部性质:函数在一点处是否连续,只跟它在这一点的某个邻域里的行为有关.对于一般的集合 $E$, 从其上函数的局部性质是无法推出整体性质的.例如,在开区间 $(0,1)$ 上,

  1. 函数 $f_1(x)=1/x$ 是连续的,但它在 $x\to0$ 时无界;
  2. 函数 $f_2(x)=x^2$ 连续且有界,但却达不到它的最大和最小值,例如当 $x\to0$ 时 $f_2(x)\to0$, 但它却取不到 $0$ 值;
  3. 函数 $f_3(x)= \sin\left(1/x\right) $ 连续且有界,但在 $x\to0$ 时震荡得越来越厉害,根本没有极限.

   归根结蒂,这些"不好"的整体性质,都来自于定义域 $(0,1)$ 的某种"不好的性质": 由于 $0$ 本身不属于开区间 $(0,1)$, 所以没办法用 $0$ 的邻域去覆盖到接近 $0$ 的那些点.当 $x\in(0,1)$ 越来越接近端点时,就只好用 $x$ 的越来越小的邻域去作为看待局部性质的标尺了.如果在开区间 $(0,1)$ 内部来看,当 $x\to0$ 时,它实际上是不会接近任何一点的(它的极限跑出了定义域的范围). 换句话说,我们没法找到一个一致(uniform)的标尺去衡量定义域 $(0,1)$ 上的局部性质.这时就说它缺乏紧致性.

   在上面这个例子中,给开区间 $(0,1)$ 补上端点就足够解决很多问题,例如保证连续函数都有界,都能达到最大和最小值,而且不会"过分地震荡", 也就是说,函数在不同的点处连续的"程度"都一样.但在更贴近实际应用的复杂场景中,紧致性的缺失可能会造成一些意料之外的后果.有一个简单的例子可以说明这一点(它属于魏尔斯特拉斯): 给定平面上不共线的三点,则过这三点的曲线长度的最小值是由折线段达到的; 如果一定要求曲线不能有不光滑的角点,那么寻找长度最小值的问题就无解.当然,可以造出光滑的曲线段使之逐渐逼近有角点的折线,但这样得到的"极限构型"却跑出了光滑曲线的类.由此所生发出的弱紧性(weak compactness)概念在现代分析学和微分方程理论中是非常基本的.

2. 定义与例子

   设 $K\subset\mathbb{R}$ 是实数集的子集.

定义 1 开覆盖

   集合 $K\subset\mathbb{R}$ 的一个开覆盖(open cover)是指一族开集 $\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$, 使得这些开集的并集包含 $K$.

例 1 开覆盖的例子

   开区间的族 $(k,k+2),\,k\in\mathbb{Z}$ 组成 $\mathbb{R}$ 的开覆盖.它是一个可数的覆盖.

   以某种方式给有理数集的全体进行编号.开区间的族 $(r_k-2^{-k},r_k+2^{-k}),\,k\in\mathbb{N}$ 组成有理数集的开覆盖.它是一个可数的覆盖.

   开区间 $(-1,0.5),(0.4,2)$ 组成了闭区间 $[0,1]$ 的开覆盖.这是一个有限的覆盖.

定义 2 紧集

   集合 $K\subset\mathbb{R}$ 称作是紧致的(compact), 如果它的任何开覆盖 $\{U_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$ 中都存在有限多个开集 $U_{\alpha_1},...,U_{\alpha_N}$, 使得这有限个开集仍旧组成 $K$ 的开覆盖.

例 2 例子

   实数集的有限子集当然是紧集.

   开区间 $(0,1)$ 不是紧集.例如,开集族 $(1/(n+2),1/n),\,n\in\mathbb{N}$ 组成了开区间 $(0,1)$ 的开覆盖.但如果仅限于从中选出 $N$ 个开区间,那么它们的并集显然不能覆盖到特别接近 $0$ 的点.所以这个开集族没有有限的子覆盖.类似地,实数集中的开集都不是紧集.

   但任何闭区间 $[a,b]$ 都是紧集.设 $\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$ 是闭区间 $I=[a,b]$ 的开覆盖.如果它没有有限子覆盖,那么将区间 $I$ 从中二分之后,至少有一半不能被有限个开集覆盖.将这一半记为 $I_1$, 继续二分,则至少又有一半不能被有限个开集覆盖.将这一半记为 $I_2$. 如此续行即得到一个长度减半的闭区间套 $I\supset I_1\supset I_2\supset...$. 如果写 $I_k=[a_k,b_k]$, 那么 $a_k$ 是单调递增的序列,$b_k$ 是单调递减的序列.按照实数集的完备公理,有一个实数 $c$ 介于集合 $\{a_k\}$ 和 $\{b_k\}$ 之间:$a_k\leq c\leq b_k$ 对于一切 $k$ 都成立.于是 $c\in[a,b]$, 从而属于某个开集 $U_\alpha$. 闭区间套 $I\supset I_1\supset I_2\supset...$ 显然缩至 $c$, 而这意味着有某个 $I_k$ 能够被 $U_\alpha$ 这单个开集覆盖,这与当初 $I_k$ 的选取方式相违背.

习题 1 开区间与闭区间的区别

   如果把论证中的闭区间 $[a,b]$ 改为开区间 $(a,b)$, 那么问题会出在哪里?提示:按照上述方式构造的区间套可能会缩至端点.

习题 2 可数覆盖性质

   设 $E\subset\mathbb{R}$. 如果 $\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$ 是 $E$ 的开覆盖,那么总可以从中选出至多可数无穷多个开集,使之仍旧组成 $E$ 的开覆盖.提示:$E$ 包含可数无穷的稠密子集,其中每一点都属于某个 $U_\alpha$.

   简单地说,紧集就是具有"有限覆盖性质"的点集.乍一看这不好理解,但实际上,如果把开集理解为某点的邻域,那么集合 $K$ 总能被有限多个开集覆盖即说明:可以找到一个一致的标尺把 $K$ 的所有局部性质都统一起来.关于这一点的详细解释,可以参考后续词条连续函数的性质, 这里进行一点简单的说明:如果函数 $f:K\to\mathbb{R}$ 是连续的,那么给定一个误差 $\varepsilon > 0$ 之后,对于任何 $x\in K$ 都可找到它的邻域 $U_{x}$, 使得当 $y\in K\cap U_x$ 时函数值 $f(y)$ 与 $f(x)$ 的误差小于 $\varepsilon$. 邻域 $\{U_x\}_{x\in K}$ 显然组成 $K$ 的开覆盖,而如果 $K$ 是紧集,那么从中便可选出有限个开集,使得函数 $f$ 在这些开集上的振幅都可用 $\varepsilon$ 控制.这就显示出集合 $K$ 本身的某种整体性质了.

3. 紧集的性质

   紧集有一系列很好的拓扑性质.这其中的第一个正是上一小节例子中闭区间套的抽象版本:闭集套性质(property of nested closed sets):

定理 1 闭集套

   集合 $K\subset\mathbb{R}$ 是紧致的,当且仅当下述命题成立:如果 $\{C_\alpha\}_{\alpha\in A}$ 是一族在 $K$ 中闭的子集,而且其中任意有限个的交集都非空,那么交集 $\cap_{\alpha\in A}C_\alpha$ 本身非空.

   证明是直接的:交集 $\cap_{\alpha\in A}C_\alpha$ 为空等价于集族 $K\setminus C_\alpha$ 组成 $K$ 的开覆盖,所以上述定理其实就是紧致性定义的逆否命题.

定理 2 收敛子序列

   集合 $K\subset\mathbb{R}$ 是紧致的,当且仅当其中的每个序列都有收敛的子序列,其极限仍旧落在 $K$ 中.

   证明. 设 $K$ 是紧集.设 $\{x_k\}\subset K$ 是一个序列; 不妨假定 $K$ 是无穷集,而这个序列本身也是没有重复的无穷集.如果 $x\in K$ 不是它的子列极限,那么总有一个邻域 $U_x$ 使得这序列只有有限多元素落在里面.假定每个 $x\in K$ 都不是它的子列极限,那么这样构造的 $U_x$ 显然组成 $K$ 的开覆盖.它的有限子覆盖只能包含 $\{x_k\}$ 中的有限多个元素,与最初它是无穷集的预设违背.

   反过来,设 $K$ 中的每个序列都有收敛到 $K$ 中某元素的子序列.设 $\{U_\alpha\}_{\alpha\in A}$ 是 $K$ 的开覆盖,但却没有有限的子覆盖.可以选出其中可数个开集组成可数开覆盖 $\{U_{\alpha_k}\}_{k\in\mathbb{N}}$. 按照假定它没有有限子覆盖,于是对于任何 $n$, 补集 $K\setminus\cup_{k\leq n}U_{\alpha_k}$ 都非空,即其中有元素 $x_n$. 序列 $\{x_n\}$ 有收敛子序列,不妨设这子序列是 $\{x_{n_l}\}$, 极限是 $x\in K$. 按假定 $x$ 属于某个 $U_{\alpha_k}$, 于是从某项开始子序列 $\{x_{n_l}\}$ 也包含于 $U_{\alpha_k}$. 这同序列 $\{x_n\}$ 的构造相矛盾.证毕.

   这个证明的前半部分单独抽取出来,就是波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理(Bolzano-Weierstrass theorem):

定理 3 波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理

   实数集中有界的无穷序列必然包含收敛的子序列.实际上,有界的序列包含于某闭区间中,而应用闭区间的紧致性即可得到结论.

   作为重要的推论,有:

定理 4 

   集合 $K\subset\mathbb{R}$ 是紧致的,当且仅当它是有界的闭集.


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