狄拉克符号

                     

贡献者: addis

预备知识 内积

   在物理中,尤其是量子力学中,我们经常会见到狄拉克符号(Dirac notation)。矢量空间 X 中,如果使用狄拉克符号,那么其中的元素(矢量)xX 可以记为 |x,我们把它叫做右矢(ket)。对应地,我们把 X对偶空间 X 中的矢量叫做左矢(bra),记为 x|。bra 和 ket 是由英语单词 bracket 拆分而来的。braket 在这里指 1|1

   一般来说1,是量子力学中主要讨论的矢量空间。一般来说我们只在希尔伯特空间中使用狄拉克符号。},每个 X 中的每个左矢和 X 中的右矢是一一对应。我们说任意 |x 和对应的 x| 互为对偶。但粗略来说我们也可以不需要对偶空间的概念,而是简单地把 bra 看作一个等待和右边某个 ket 点乘的矢量。

   两矢量的加减法记为 |x±|y|x 与标量 λ 的数乘可以记为 λ|x|λx

   在对偶空间中,加减法、标量积、算符作用同样记为 x|±y|λx|Ax|。但要注意的是,我们将 |λx 的对偶矢量记为 λx|,这样一来,在复矢量空间中把 λ 写在左矢的里面和外面意义就变得不一样,即

(1)λx|=λx| .

   如果这个矢量空间中定义了内积,那么 X 中任意两个矢量 |x,|y 的内积用狄拉克符号记为 x|y。我们也可以理解为内积是左矢空间中 x| 和右矢空间中 |y 的二元运算。

   算符(映射)A:XX 作用在 |x 上同样可以记为 A|x|Ax|Ax 的对偶记为 Ax| 而不是 Ax|xA|,详见 “伴随算符”。

1. 线性算符

   令 N 维线性空间 XM 维线性空间 Y 的一组正交归一基底分别为 {ξi}{ηi}。若线性映射(线性算符)A:XY 表示成矩阵后,矩阵元为 Ai,j,那么该算符也可以用狄拉克符号表示为

(2)A=i,jAi,j|ηiξj| .
这是因为:若把 A 作用在任意矢量 |x=kxk|ξk 上,有
(3)|y=A|x=i,jAi,j|ηiξj|kxk|ξk=i,j,kAi,j|ηixkδj,k=i,jAi,jxj|ηi ,
这样就得到了矩阵乘法公式(式 9 yi=i,jAi,jxj。要特别注意式 2 中的基必须是正交归一的,否则在式 3 中就不可能得到克罗内克 delta 函数

   特殊地,如果 A 是自映射,即 A:XX,那么只需把以上的 Y 替换为 X|ηi 替换为 |ξi 即可。下同。

2. 矩阵元

   式 2 中线性算符 A 的矩阵元 Ai,j 可以表示为

(4)Ai,j=ηi|Aξj .
即先算出 Aξj 再与 ηi 内积。但通常为了看起来更对称,记为
(5)Ai,j=ηi|A|ξj ,
证明见式 7 。同样注意只有正交基底下的矩阵元才能用式 5 表示。


1. ^ 严格来说,这要求空间 X完备的,完备的内积空间又叫希尔伯特空间(Hilbert space)


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