狄拉克符号

贡献者： addis

预备知识　内积

　　在物理中，尤其是量子力学中，我们经常会见到狄拉克符号（Dirac notation）。矢量空间 $X$ 中，如果使用狄拉克符号，那么其中的元素（矢量）$x\in X$ 可以记为 $ \left\lvert x \right\rangle $，我们把它叫做右矢（ket）。对应地，我们把 $X$ 的对偶空间 $X^*$ 中的矢量叫做左矢（bra），记为 $ \left\langle x \right\rvert $。bra 和 ket 是由英语单词 bracket 拆分而来的。braket 在这里指 $ \left\langle \phantom{1} \middle| \phantom{1} \right\rangle $。

　　一般来说¹，是量子力学中主要讨论的矢量空间。一般来说我们只在希尔伯特空间中使用狄拉克符号。}，每个 $X^*$ 中的每个左矢和 $X$ 中的右矢是一一对应。我们说任意 $ \left\lvert x \right\rangle $ 和对应的 $ \left\langle x \right\rvert $ 互为对偶。但粗略来说我们也可以不需要对偶空间的概念，而是简单地把 bra 看作一个等待和右边某个 ket 点乘的矢量。

　　两矢量的加减法记为 $ \left\lvert x \right\rangle \pm \left\lvert y \right\rangle $，$ \left\lvert x \right\rangle $ 与标量 $\lambda$ 的数乘可以记为 $\lambda \left\lvert x \right\rangle $ 或 $ \left\lvert \lambda x \right\rangle $。

　　在对偶空间中，加减法、标量积、算符作用同样记为 $ \left\langle x \right\rvert \pm \left\langle y \right\rvert $，$\lambda \left\langle x \right\rvert $ 和 $A \left\langle x \right\rvert $。但要注意的是，我们将 $ \left\lvert \lambda x \right\rangle $ 的对偶矢量记为 $ \left\langle \lambda x \right\rvert $，这样一来，在复矢量空间中把 $\lambda$ 写在左矢的里面和外面意义就变得不一样，即

\begin{equation} \left\langle \lambda x \right\rvert = \lambda^* \left\langle x \right\rvert ~. \end{equation}

　　如果这个矢量空间中定义了内积，那么 $X$ 中任意两个矢量 $ \left\lvert x \right\rangle , \left\lvert y \right\rangle $ 的内积用狄拉克符号记为 $ \left\langle x \middle| y \right\rangle $。我们也可以理解为内积是左矢空间中 $ \left\langle x \right\rvert $ 和右矢空间中 $ \left\lvert y \right\rangle $ 的二元运算。

　　算符（映射）$A:X\to X$ 作用在 $ \left\lvert x \right\rangle $ 上同样可以记为 $A \left\lvert x \right\rangle $ 或 $ \left\lvert Ax \right\rangle $。$ \left\lvert Ax \right\rangle $ 的对偶记为 $ \left\langle Ax \right\rvert $ 而不是 $A \left\langle x \right\rvert $ 或 $ \left\langle xA \right\rvert $，详见 “伴随算符”。

1. 线性算符

　　令 $N$ 维线性空间 $X$ 到 $M$ 维线性空间 $Y$ 的一组正交归一基底分别为 $\{\xi_i\}$ 和 $\{\eta_i\}$。若线性映射（线性算符）$A:X\to Y$ 表示成矩阵后，矩阵元为 $A_{i,j}$，那么该算符也可以用狄拉克符号表示为

\begin{equation} A = \sum_{i,j} A_{i,j} \left\lvert \eta_i \right\rangle \left\langle \xi_j \right\rvert ~. \end{equation}

这是因为：若把 $A$ 作用在任意矢量 $ \left\lvert x \right\rangle = \sum_k x_k \left\lvert \xi_k \right\rangle $ 上，有

\begin{equation} \begin{aligned} \left\lvert y \right\rangle &= A \left\lvert x \right\rangle = \sum_{i,j} A_{i,j} \left\lvert \eta_i \right\rangle \left\langle \xi_j \right\rvert \sum_k x_k \left\lvert \xi_k \right\rangle \\ &= \sum_{i,j, k} A_{i,j} \left\lvert \eta_i \right\rangle x_k \delta_{j,k} = \sum_{i,j} A_{i,j} x_j \left\lvert \eta_i \right\rangle ~, \end{aligned} \end{equation}

这样就得到了矩阵乘法公式（式 9 ）$y_i = \sum_{i,j} A_{i,j} x_j$。要特别注意式 2 中的基必须是正交归一的，否则在式 3 中就不可能得到克罗内克 delta 函数。

　　特殊地，如果 $A$ 是自映射，即 $A:X\to X$，那么只需把以上的 $Y$ 替换为 $X$，$ \left\lvert \eta_i \right\rangle $ 替换为 $ \left\lvert \xi_i \right\rangle $ 即可。下同。

2. 矩阵元

　　式 2 中线性算符 $A$ 的矩阵元 $A_{i,j}$ 可以表示为

\begin{equation} A_{i,j} = \left\langle \eta_i \middle| A\xi_j \right\rangle ~. \end{equation}

即先算出 $A\xi_j$ 再与 $\eta_i$ 内积。但通常为了看起来更对称，记为

\begin{equation} A_{i,j} = \left\langle \eta_i \middle| A \middle| \xi_j \right\rangle ~, \end{equation}

证明见式 7 。同样注意只有正交基底下的矩阵元才能用式 5 表示。

1. ^ 严格来说，这要求空间 $X$ 是完备的，完备的内积空间又叫希尔伯特空间（Hilbert space）

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