狄拉克符号
贡献者: addis
在物理中,尤其是量子力学中,我们经常会见到狄拉克符号(Dirac notation)。矢量空间 中,如果使用狄拉克符号,那么其中的元素(矢量) 可以记为 ,我们把它叫做右矢(ket)。对应地,我们把 的对偶空间 中的矢量叫做左矢(bra),记为 。bra 和 ket 是由英语单词 bracket 拆分而来的。braket 在这里指 。
一般来说1,是量子力学中主要讨论的矢量空间。一般来说我们只在希尔伯特空间中使用狄拉克符号。},每个 中的每个左矢和 中的右矢是一一对应。我们说任意 和对应的 互为对偶。但粗略来说我们也可以不需要对偶空间的概念,而是简单地把 bra 看作一个等待和右边某个 ket 点乘的矢量。
两矢量的加减法记为 , 与标量 的数乘可以记为 或 。
在对偶空间中,加减法、标量积、算符作用同样记为 , 和 。但要注意的是,我们将 的对偶矢量记为 ,这样一来,在复矢量空间中把 写在左矢的里面和外面意义就变得不一样,即
如果这个矢量空间中定义了内积,那么 中任意两个矢量 的内积用狄拉克符号记为 。我们也可以理解为内积是左矢空间中 和右矢空间中 的二元运算。
算符(映射) 作用在 上同样可以记为 或 。 的对偶记为 而不是 或 ,详见 “伴随算符”。
1. 线性算符
令 维线性空间 到 维线性空间 的一组正交归一基底分别为 和 。若线性映射(线性算符) 表示成矩阵后,矩阵元为 ,那么该算符也可以用狄拉克符号表示为
这是因为:若把 作用在任意矢量 上,有
这样就得到了矩阵乘法公式(
式 9 )。要特别注意
式 2 中的基必须是正交归一的,否则在
式 3 中就不可能得到
克罗内克 delta 函数。
特殊地,如果 是自映射,即 ,那么只需把以上的 替换为 , 替换为 即可。下同。
2. 矩阵元
式 2 中线性算符 的矩阵元 可以表示为
即先算出 再与 内积。但通常为了看起来更对称,记为
证明见
式 7 。同样注意只有正交基底下的矩阵元才能用
式 5 表示。
1. ^ 严格来说,这要求空间 是完备的,完备的内积空间又叫希尔伯特空间(Hilbert space)
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