狄拉克符号

贡献者： addis

预备知识　内积

　　在物理中，尤其是量子力学中，我们经常会见到狄拉克符号（Dirac notation）。矢量空间 $X$ 中，如果使用狄拉克符号，那么其中的元素（矢量） $x \in X$ 可以记为 $| x ⟩$ ，我们把它叫做右矢（ket）。对应地，我们把 $X$ 的对偶空间 $X^{*}$ 中的矢量叫做左矢（bra），记为 $⟨ x |$ 。bra 和 ket 是由英语单词 bracket 拆分而来的。braket 在这里指 $⟨ | ⟩$ 。

　　一般来说¹，是量子力学中主要讨论的矢量空间。一般来说我们只在希尔伯特空间中使用狄拉克符号。}，每个 $X^{*}$ 中的每个左矢和 $X$ 中的右矢是一一对应。我们说任意 $| x ⟩$ 和对应的 $⟨ x |$ 互为对偶。但粗略来说我们也可以不需要对偶空间的概念，而是简单地把 bra 看作一个等待和右边某个 ket 点乘的矢量。

　　两矢量的加减法记为 $| x ⟩ \pm | y ⟩$ ， $| x ⟩$ 与标量 $λ$ 的数乘可以记为 $λ | x ⟩$ 或 $| λ x ⟩$ 。

　　在对偶空间中，加减法、标量积、算符作用同样记为 $⟨ x | \pm ⟨ y |$ ， $λ ⟨ x |$ 和 $A ⟨ x |$ 。但要注意的是，我们将 $| λ x ⟩$ 的对偶矢量记为 $⟨ λ x |$ ，这样一来，在复矢量空间中把 $λ$ 写在左矢的里面和外面意义就变得不一样，即

\begin{matrix} (1) & ⟨ λ x | = λ^{*} ⟨ x | . \end{matrix}

　　如果这个矢量空间中定义了内积，那么 $X$ 中任意两个矢量 $| x ⟩, | y ⟩$ 的内积用狄拉克符号记为 $⟨ x | y ⟩$ 。我们也可以理解为内积是左矢空间中 $⟨ x |$ 和右矢空间中 $| y ⟩$ 的二元运算。

　　算符（映射） $A : X \to X$ 作用在 $| x ⟩$ 上同样可以记为 $A | x ⟩$ 或 $| A x ⟩$ 。 $| A x ⟩$ 的对偶记为 $⟨ A x |$ 而不是 $A ⟨ x |$ 或 $⟨ x A |$ ，详见 “伴随算符”。

1. 线性算符

　　令 $N$ 维线性空间 $X$ 到 $M$ 维线性空间 $Y$ 的一组正交归一基底分别为 ${ξ_{i}}$ 和 ${η_{i}}$ 。若线性映射（线性算符） $A : X \to Y$ 表示成矩阵后，矩阵元为 $A_{i, j}$ ，那么该算符也可以用狄拉克符号表示为

\begin{matrix} (2) & A = \sum_{i, j} A_{i, j} | η_{i} ⟩ ⟨ ξ_{j} | . \end{matrix}

这是因为：若把

A

作用在任意矢量

| x ⟩ = \sum_{k} x_{k} | ξ_{k} ⟩

上，有

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} | y ⟩ & = A | x ⟩ = \sum_{i, j} A_{i, j} | η_{i} ⟩ ⟨ ξ_{j} | \sum_{k} x_{k} | ξ_{k} ⟩ \\ = \sum_{i, j, k} A_{i, j} | η_{i} ⟩ x_{k} δ_{j, k} = \sum_{i, j} A_{i, j} x_{j} | η_{i} ⟩, \end{aligned} \end{matrix}

这样就得到了矩阵乘法公式（式 9 ）

y_{i} = \sum_{i, j} A_{i, j} x_{j}

。要特别注意式 2 中的基必须是正交归一的，否则在式 3 中就不可能得到克罗内克 delta 函数。

　　特殊地，如果 $A$ 是自映射，即 $A : X \to X$ ，那么只需把以上的 $Y$ 替换为 $X$ ， $| η_{i} ⟩$ 替换为 $| ξ_{i} ⟩$ 即可。下同。

2. 矩阵元

　　式 2 中线性算符 $A$ 的矩阵元 $A_{i, j}$ 可以表示为

\begin{matrix} (4) & A_{i, j} = ⟨ η_{i} | A ξ_{j} ⟩ . \end{matrix}

即先算出

A ξ_{j}

再与

η_{i}

内积。但通常为了看起来更对称，记为

\begin{matrix} (5) & A_{i, j} = ⟨ η_{i} | A | ξ_{j} ⟩, \end{matrix}

证明见式 7 。同样注意只有正交基底下的矩阵元才能用式 5 表示。

1. ^ 严格来说，这要求空间 $X$ 是完备的，完备的内积空间又叫希尔伯特空间（Hilbert space）

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。