拉普拉斯算符

                     

贡献者: addis

预备知识 梯度、梯度定理,散度、散度定理

  1我们令一个标量函数 $u(x, y, z)$ 的梯度的散度为它的拉普拉斯(Laplacian),合成的算符(类比复合函数)叫做拉普拉斯算符,记为 $ \boldsymbol{\nabla}^2 $ 或 $\Delta$.

\begin{equation} \Delta u = \boldsymbol{\nabla}^2 u = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol\nabla u) = \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{x}^{2}} + \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{y}^{2}} + \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{z}^{2}} \end{equation}
也可以记
\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla}^2 &= \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\nabla} = \left( \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \frac{\partial}{\partial{x}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \frac{\partial}{\partial{y}} + \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \frac{\partial}{\partial{z}} \right) ^2\\ &= \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{x}^{2}} + \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{y}^{2}} + \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{z}^{2}} \end{aligned} \end{equation}
这些定义也容易拓展到 $N = 1, 2, \dots$ 元函数上.

   柱坐标系中的拉普拉斯算符见式 4 ,球坐标中的拉普拉斯算符见式 4

1. 在物理中的应用

   在二维波动方程中,薄膜上一个小面源的受力正比于薄膜形状 $u(x, y)$ 在该处的拉普拉斯.结合牛顿第二定律,就得到了二维波动方程

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 u - \frac{\sigma}{\lambda} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{t}^{2}} = 0 \end{equation}

   在静电学中,电势 $V$ 的梯度是电场的负,而电场的散度是电荷密度 $\rho$ 除以电介质常数 $\epsilon_0$,这样就得到了静电场的泊松方程

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 V = -\frac{\rho}{\epsilon_0} \end{equation}
由于万有引力也服从平方反比定律,所以同理引力势(引力势能除以质量)$V_G$ 和质量密度 $\rho_m$ 也有类似的关系
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 V_G = 4\pi G \rho_m \end{equation}

   在热力学中,对一块均匀的各向同性的介质,温度和能量密度 $u$ 成正比,温度的梯度和能流密度成正比,而能流密度的散度和能量密度的变化率成正比,于是有热传导方程

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}^2 u = \kappa \frac{\partial u}{\partial t} \end{equation}


1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面


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