热传导定律与传递过程

             

贡献者: _Eden_

预备知识 热传导定律

1. 傅里叶传导定律

   定义热流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{h}} $:单位时间单位面积的热流量.傅里叶热传导定律说的是

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{h}} = -\kappa \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} T \end{equation}

   其中 $\kappa$ 为系统的热导率.这意味着热量会沿温度梯度的方向传导.

   如果简化系统模型,设各层温度不均匀,在同一个高度上各处温度相等.那么傅里叶热传导定律可以简化为

\begin{equation} H=\frac{\Delta Q}{\Delta t}=-\kappa \frac{ \,\mathrm{d}{T} }{ \,\mathrm{d}{z} }S \end{equation}

   再考虑一般的情况:三维热传导方程.由于单位体积内需要吸收 $c\rho \Delta T$ 的热量才能升高 $\Delta T$ 的温度,所以可以得到积分关系式

\begin{equation} \int_V c\rho \frac{\partial T}{\partial t} \,\mathrm{d}{V} = \int_V \frac{\partial U}{\partial t} \,\mathrm{d}{V} = \oint_S \kappa \boldsymbol{\mathbf{\nabla}} T \cdot \boldsymbol{\mathbf{ \,\mathrm{d}{}} } S \end{equation}

   由此可以得到微分表达式 $c\rho \frac{\partial T}{\partial t} = \kappa \nabla^2 T$,即

\begin{equation} \frac{\partial T}{\partial t}=k\nabla^2 T \end{equation}
其中 $k=\kappa/c\rho$ 称作热扩散率.

   注意上面讨论的是没有热源、热扩散系数处处相等的情况.如果有热源,则方程右端要加上 $Q$.如果热扩散系数并不处处相等,例如两个不同的介质的交界处,往往要对此设定边界条件——例如一维杆两端与空气接触的热对流现象、开水与空气接触时逐渐散热的现象等;在这类边界上如果温度差不大,有牛顿冷却定律成立:热流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{h}} $ 与温度的梯度成正比,但这个比例系数将与各种复杂的因素有关.

例 1 平衡温度分布

   一维杆 $0\le x\le L$,左端右端与恒温热源接触,左端温度恒为 $T_1$,右端温度为 $T_2$,中间部分绝热.求其平衡温度分布.

   平衡态热流处处为 $0$,所以 $\nabla^2 T=0$,即 $\partial^2 T/\partial x^2=0$,所以 $T$ 关于 $x$ 的函数是一次函数.$T=T_1+(T_2-T_1)x/L$.

2. 传递过程

   当系统处于非平衡态时,会自发地向平衡态过度,从而产生动量、能量、质量等宏观的流动,这些过程统称为耗散过程.传递过程(也叫输运过程)在微观上就是耗散过程.例如当热学平衡条件不满足时,有温度梯度,从而有热传导方程(能量的传递);力学平衡条件不满足时,有粘滞现象(动量的传递),从而有牛顿粘滞定律;化学平衡条件不满足时,有扩散现象(质量的传递),从而有菲克(Fick)扩散定律.我们先给出这三个定律的表达式:

\begin{align} h=-\kappa \frac{ \,\mathrm{d}{T} }{ \,\mathrm{d}{z} }\\ J_p=-\eta \frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{z} }\\ J_M=-D\frac{ \,\mathrm{d}{\rho} }{ \,\mathrm{d}{z} } \end{align}

   其中菲克定律的 $J_M$ 为质量流密度,该方程能很好地解释气体扩散现象,但对于液体并不成立,原因是液体分子不像气体分子那样自由运动.但该方程也能描述液体中粒子的浓度差带来的扩散现象,例如墨汁在水中的扩散,葡萄糖分子在水中的扩散等.

   其中牛顿粘滞方程的 $J_p$ 为动量流密度,一些参考文献上将粘滞定律写作 $\tau = -\mu \frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{z} }$,其中 $\tau$ 为剪应力,该方程则表达了剪应力与流体速度场的梯度成正比.这些方程从直观上是容易想象的,虽然宏观上代表不同的现象,但其方程形式却是相同的.在词条 “气体传递过程”中,我们将发现这三种输运过程在微观上的机制本质是相同的.


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