热传导定律、扩散方程与输运过程

贡献者： _Eden_; ACertainUser

预备知识　热传导定律

1. 傅里叶传导定律

　　定义热流密度 $h$ ：单位时间单位面积的热流量。傅里叶热传导定律说的是

\begin{matrix} (1) & h = - κ \nabla T, \end{matrix}

　　其中 $κ$ 为系统的热导率。这意味着热量会沿温度梯度的方向传导。

　　如果简化系统模型，设各层温度不均匀，在同一个高度上各处温度相等。那么傅里叶热传导定律可以简化为

\begin{matrix} (2) & H = \frac{Δ Q}{Δ t} = - κ \frac{d T}{d z} S . \end{matrix}

　　再考虑一般的情况：三维热传导方程。由于单位体积内需要吸收 $c ρ Δ T$ 的热量才能升高 $Δ T$ 的温度，所以可以得到积分关系式

\begin{matrix} (3) & \int_{V} c ρ \frac{\partial T}{\partial t} d V = \int_{V} \frac{\partial U}{\partial t} d V = \oint_{S} κ \nabla T \cdot d S . \end{matrix}

　　由此可以得到微分表达式 $c ρ \frac{\partial T}{\partial t} = κ \nabla^{2} T$ ，即

\begin{matrix} (4) & \frac{\partial T}{\partial t} = k \nabla^{2} T, \end{matrix}

其中

k = κ / c ρ

称作热扩散率。

　　注意上面讨论的是没有热源、热扩散系数处处相等的情况。如果有热源，则方程右端要加上 $Q$ 。如果热扩散系数并不处处相等，例如两个不同的介质的交界处，往往要对此设定边界条件——例如一维杆两端与空气接触的热对流现象、开水与空气接触时逐渐散热的现象等；在这类边界上如果温度差不大，有牛顿冷却定律成立：热流密度 $h$ 与温度的梯度成正比，但这个比例系数将与各种复杂的因素有关。

例 1　平衡温度分布

　　一维杆 $0 \leq x \leq L$ ，左端右端与恒温热源接触，左端温度恒为 $T_{1}$ ，右端温度为 $T_{2}$ ，中间部分绝热。求其平衡温度分布。

　　平衡态热流处处为 $0$ ，所以 $\nabla^{2} T = 0$ ，即 $\partial^{2} T / \partial x^{2} = 0$ ，所以 $T$ 关于 $x$ 的函数是一次函数。

\begin{matrix} (5) & T (x) = T_{1} + \frac{T_{2} - T_{1}}{L} x . \end{matrix}

图 1：平衡温度分布

例 2　恒源扩散

　　一维杆 $0 \leq x \leq + \infty$ ，初始温度（与无穷远处温度）为 $T_{0}$ ，左端与恒温热源 $T_{s}$ 接触，求杆各处温度随时间的变化。

　　解微分方程，得

\begin{matrix} (6) & T (x, t) = T_{0} + (T_{s} - T_{0}) (1 - e r f (\frac{x}{2 \sqrt{k t}})), \end{matrix}

其中

e r f (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{x} e^{- t^{2}} d t

被称为高斯误差函数（很遗憾，这个积分没有初等形式的表达式）

图 2：恒源扩散，一个可视化的动图

2. 传递过程

　　当系统处于非平衡态时，会自发地向平衡态过度，从而产生动量、能量、质量等宏观的流动，这些过程统称为耗散过程。传递过程（也叫输运过程）在微观上就是耗散过程。例如当热学平衡条件不满足时，有温度梯度，从而有热传导方程（能量的传递）；力学平衡条件不满足时，有粘滞现象（动量的传递），从而有牛顿粘滞定律；化学平衡条件不满足时，有扩散现象（质量的传递），从而有菲克（Fick）扩散定律。我们先给出这三个定律的表达式：

\begin{array}{r} (7) & h = - κ \frac{d T}{d z}, \\ (8) & J_{p} = - η \frac{d u}{d z}, \\ (9) & J_{M} = - D \frac{d ρ}{d z} . \end{array}

　　其中菲克定律的 $J_{M}$ 为质量流密度，该方程能很好地解释气体扩散现象，但对于液体并不成立，原因是液体分子不像气体分子那样自由运动。但该方程也能描述液体中粒子的浓度差带来的扩散现象，例如墨汁在水中的扩散，葡萄糖分子在水中的扩散等。

　　其中牛顿粘滞方程的 $J_{p}$ 为动量流密度，一些参考文献上将粘滞定律写作 $τ = - μ \frac{d u}{d z}$ ，其中 $τ$ 为剪应力，该方程则表达了剪应力与流体速度场的梯度成正比。这些方程从直观上是容易想象的，虽然宏观上代表不同的现象，但其方程形式却是相同的。在文章 “气体输运过程”中，我们将发现这三种输运过程在微观上的机制本质是相同的。

例 3　菲克第二定律：扩散方程

　　类似于温度的式 3 ，物质扩散过程中我们有局域物质守恒。局域物质守恒意味着一定时间内离开或进入某个区域的物质总量，等于该时间内这个区域内物质的变化量：

\begin{matrix} (10) & \frac{\partial ρ}{\partial t} + \nabla \cdot J = 0, \end{matrix}

向守恒方程带入上述的菲克扩散定律（也称菲克第一定律）

J_{M} = - D \nabla ρ

(

J_{M} = - D \frac{d ρ}{d z}

的一般形式)，就可以得到菲克第二定律，即我们熟知的扩散方程。形式上这与式 4 类似：

\begin{matrix} (11) & \frac{\partial ρ}{\partial t} - D \nabla^{2} ρ = 0, \end{matrix}

在一维情况下，

\begin{matrix} (12) & \frac{\partial ρ}{\partial t} - D \frac{\partial^{2} ρ}{\partial z^{2}} = 0 . \end{matrix}

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热传导定律、扩散方程与输运过程

1. 傅里叶传导定律

例 1 平衡温度分布

例 2 恒源扩散

2. 传递过程

例 3 菲克第二定律：扩散方程

例 1　平衡温度分布

例 2　恒源扩散

例 3　菲克第二定律：扩散方程