热传导定律、扩散方程与输运过程

贡献者： _Eden_; ACertainUser

1. 傅里叶传导定律

　　 定义热流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{h}} $：单位时间单位面积的热流量。傅里叶热传导定律说的是

　　 其中 $\kappa$ 为系统的热导率。这意味着热量会沿温度梯度的方向传导。

　　 如果简化系统模型，设各层温度不均匀，在同一个高度上各处温度相等。那么傅里叶热传导定律可以简化为

　　 再考虑一般的情况：三维热传导方程。由于单位体积内需要吸收 $c\rho \Delta T$ 的热量才能升高 $\Delta T$ 的温度，所以可以得到积分关系式

　　 由此可以得到微分表达式 $c\rho \frac{\partial T}{\partial t} = \kappa \nabla^2 T$，即

　　 注意上面讨论的是没有热源、热扩散系数处处相等的情况。如果有热源，则方程右端要加上 $Q$。如果热扩散系数并不处处相等，例如两个不同的介质的交界处，往往要对此设定边界条件——例如一维杆两端与空气接触的热对流现象、开水与空气接触时逐渐散热的现象等；在这类边界上如果温度差不大，有牛顿冷却定律成立：热流密度 $ \boldsymbol{\mathbf{h}} $ 与温度的梯度成正比，但这个比例系数将与各种复杂的因素有关。

例 1　平衡温度分布

　　 一维杆 $0\le x\le L$，左端右端与恒温热源接触，左端温度恒为 $T_1$，右端温度为 $T_2$，中间部分绝热。求其平衡温度分布。

　　 平衡态热流处处为 $0$，所以 $\nabla^2 T=0$，即 $\partial^2 T/\partial x^2=0$，所以 $T$ 关于 $x$ 的函数是一次函数。

\begin{equation} T(x)=T_1+\frac{T_2-T_1}{L}x \end{equation}

图 1：平衡温度分布

例 2　恒源扩散

　　 一维杆 $0\le x\le +\infty$，初始温度（与无穷远处温度）为 $T_0$，左端与恒温热源 $T_s$ 接触，求杆各处温度随时间的变化。

　　 解微分方程，得

\begin{equation} T(x,t)=T_0+(T_s-T_0)\left(1-erf\left(\frac{x}{2\sqrt{kt}}\right)\right) \end{equation}

其中 $erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int^x_0 e^{-t^2} \,\mathrm{d}{t} $ 被称为高斯误差函数（很遗憾，这个积分没有初等形式的表达式）

图 2：恒源扩散，一个可视化的动图

2. 传递过程

　　 当系统处于非平衡态时，会自发地向平衡态过度，从而产生动量、能量、质量等宏观的流动，这些过程统称为耗散过程。传递过程（也叫输运过程）在微观上就是耗散过程。例如当热学平衡条件不满足时，有温度梯度，从而有热传导方程（能量的传递）；力学平衡条件不满足时，有粘滞现象（动量的传递），从而有牛顿粘滞定律；化学平衡条件不满足时，有扩散现象（质量的传递），从而有菲克（Fick）扩散定律。我们先给出这三个定律的表达式：

　　 其中菲克定律的 $J_M$ 为质量流密度，该方程能很好地解释气体扩散现象，但对于液体并不成立，原因是液体分子不像气体分子那样自由运动。但该方程也能描述液体中粒子的浓度差带来的扩散现象，例如墨汁在水中的扩散，葡萄糖分子在水中的扩散等。

　　 其中牛顿粘滞方程的 $J_p$ 为动量流密度，一些参考文献上将粘滞定律写作 $\tau = -\mu \frac{ \,\mathrm{d}{u} }{ \,\mathrm{d}{z} }$，其中 $\tau$ 为剪应力，该方程则表达了剪应力与流体速度场的梯度成正比。这些方程从直观上是容易想象的，虽然宏观上代表不同的现象，但其方程形式却是相同的。在词条 “气体输运过程”中，我们将发现这三种输运过程在微观上的机制本质是相同的。