一种矢量算符的运算方法

                     

贡献者: addis

预备知识 矢量算符,连续叉乘的化简

   声明:本文中的方法是笔者原创,使用的下标符号也是笔者自己定义的。

   在用 $ \boldsymbol\nabla $ 算符计算梯度,散度和旋度时,我们几乎可以将其看作一个矢量进行运算,唯一的区别就是我们需要明确每一项中的偏微分是对哪些变量进行的。例如

\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} (U \boldsymbol{\mathbf{A}} ) = \frac{\partial}{\partial{x}} (UA_x) + \frac{\partial}{\partial{y}} (UA_y) + \frac{\partial}{\partial{z}} (UA_z)~, \end{equation}
\begin{equation} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) U = A_x \frac{\partial U}{\partial x} + A_y \frac{\partial U}{\partial y} + A_z \frac{\partial U}{\partial z} ~. \end{equation}
如果以上两式中把 $ \boldsymbol\nabla $ 符号替换成一个普通的矢量,两式将没有任何区别。可见 $ \boldsymbol\nabla $ 符号包含了另一层信息,这个信息通过 $ \boldsymbol\nabla $ 所在的位置来体现,但我们希望能定义一种新的符号 $[\dots]_{\dots}$,把偏导算符的作用对象在方括号的角标中声明,而在方括号内的 $ \boldsymbol\nabla $ 可以像普通矢量一样进行运算,例如
\begin{equation} [ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} (U \boldsymbol{\mathbf{A}} )]_{A\partial U} \equiv [ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla U]_{A\partial U} \equiv [U \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} ]_{A\partial U} \equiv \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla U~. \end{equation}
又如,利用矢量公式 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{B}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{C}} ) = \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{C}} ) - \boldsymbol{\mathbf{C}} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} )$,有
\begin{equation} [ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{A}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{B}} )]_{\partial (AB)} = [ \boldsymbol{\mathbf{A}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{B}} ) + \boldsymbol{\mathbf{B}} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{A}} )]_{\partial (AB)}~. \end{equation}
另外,由乘法的求导法则,有
\begin{equation} [\dots]_{\partial (AB)} = [\dots]_{B\partial A} + [\dots]_{A\partial B}~. \end{equation}
使用这个新符号,我们可以化简许多常用的矢量公式。

例 1 

   证明 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} (U \boldsymbol{\mathbf{A}} ) = ( \boldsymbol\nabla U) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} + U \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} $。

\begin{equation} \begin{aligned} {}[ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} (U \boldsymbol{\mathbf{A}} )]_{\partial(UA)} &= [ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} (U \boldsymbol{\mathbf{A}} )]_{A\partial U} + [ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} (U \boldsymbol{\mathbf{A}} )]_{U\partial A}\\ &= [( \boldsymbol\nabla U) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} ]_{A\partial U} + [U \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ]_{U\partial A}\\ &= ( \boldsymbol\nabla U) \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{A}} + U \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{A}} ~, \end{aligned} \end{equation}
证毕。

例 2 

   化简 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} )$。

\begin{equation} {}[ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{E}} )]_{\partial^2 E} = [ \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) - \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{E}} ]_{\partial^2 E} = \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{E}} ) - \boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\mathbf{E}} ~. \end{equation}

例 3 

   证明 $ \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{G}} ) = \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{G}} ) + \boldsymbol{\mathbf{G}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} { \boldsymbol{\mathbf{F}} }) + ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{G}} + ( \boldsymbol{\mathbf{G}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{F}} $。

   从右向左证明,上式等于

\begin{equation} \begin{aligned} &\quad [ \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{G}} )]_{F\partial G} + [ \boldsymbol{\mathbf{G}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} { \boldsymbol{\mathbf{F}} })]_{G\partial F} + [( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{G}} ]_{F\partial G} + [( \boldsymbol{\mathbf{G}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{F}} ]_{G\partial F}\\ &= [ \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{G}} ) - ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{G}} ]_{F\partial G} +[ \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{G}} ) - ( \boldsymbol{\mathbf{G}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{F}} ]_{G\partial F} \\ & \qquad + [( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{G}} ]_{F\partial G} + [( \boldsymbol{\mathbf{G}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \boldsymbol{\mathbf{F}} ]_{G\partial F}\\ &= [ \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{G}} )]_{F\partial G} + [ \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{G}} )]_{F\partial G}\\ &= [ \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{G}} )]_{\partial (FG)} = \boldsymbol\nabla ( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{G}} )~, \end{aligned} \end{equation}
证毕。


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