静电势的泊松方程

                     

贡献者: _Eden_; addis; suit harry

预备知识 电场的高斯定律,拉普拉斯方程

1. 静电势的泊松方程

   在静电学静磁学问题中,磁场是不随时间变化的,此时空间中的电势可以由库仑定律轻易地表达为

\begin{equation} \phi( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) = \int \,\mathrm{d}^{3}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} '} \frac{\rho(x')}{4\pi \epsilon_0| \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} '|} \end{equation}
这里我们假设 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{x}} ')$ 为空间中的电荷分布(对于点电荷模型,每一个电荷都对应一处无穷小区域无穷大的电荷密度,即 $\delta$-函数),并且我们常常假定 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{x}} ')$ 是一个连续函数,因此在三维积分的过程中 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} '\rightarrow \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 时的积分是良定义的,不会出现无穷大的发散1.那么接下来考虑 $\phi( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 所满足的性质.我们有以下重要关系式:
\begin{equation} \nabla^2 \frac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} '|} = \left( \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial{y}^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial{z}^{2}} \right) \frac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} '|}= -4\pi\delta^3( \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} ') \end{equation}
这一关系式的物理意义就是,空间中一个 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} '$ 处 $+q$ 的点电荷会在 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 处造成 $1/(4\pi\epsilon | \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} '|)$ 的电势,$\nabla^2$ 被称为拉普拉斯算子.因此当我们将拉普拉斯算子作用于式 1 ,将会得到
\begin{equation} \begin{aligned} \nabla^2\phi( \boldsymbol{\mathbf{x}} ) &= \int \,\mathrm{d}^{3}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} '} \frac{\rho(x')}{4\pi \epsilon_0} \nabla^2 \frac{1}{| \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} '|} \\ &= \int \,\mathrm{d}^{3}{ \boldsymbol{\mathbf{x}} '} \frac{\rho(x')}{4\pi \epsilon_0} ( -4\pi\delta^3( \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} '))\\ &= -\frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{x}} )}{\epsilon_0} \end{aligned} \end{equation}

2. 从麦克斯韦方程组到泊松方程

预备知识 麦克斯韦方程组,麦克斯韦方程组(介质)

真空中泊松方程

   利用真空中的麦克斯韦方程组,电场满足以下的方程

\begin{equation} \nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{E}} =\frac{\rho}{\epsilon_0},\ \nabla\times \boldsymbol{\mathbf{E}} =0 \end{equation}
由于 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 无旋,它一定可以表示为一个静电势的梯度 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} =-\nabla \phi$.代入第一个方程,就可以得到泊松方程
\begin{equation} \nabla^2\phi=-\rho/\epsilon_0 \end{equation}
如果考虑的区域电荷密度 $\rho$ 恒等于 $0$,那么静电势满足拉普拉斯方程:
\begin{equation} \nabla^2\phi=0 \end{equation}

均匀介质中的泊松方程

   我们首先考虑均匀、各向同性的线性电介质中的静电问题.设其电容率为 $\epsilon$(即相对介电常数 $\epsilon_r$ 乘以 $\epsilon_0$).根据介质中的麦克斯韦方程组 ,电场与电极化强度需要满足以下方程:

\begin{align} &\nabla \cdot \boldsymbol{\mathbf{D}} = \rho,\ \ \nabla \times \boldsymbol{\mathbf{E}} = 0,\\ & \boldsymbol{\mathbf{D}} =\epsilon \boldsymbol{\mathbf{E}} \end{align}
式中 $\rho$ 表示空间的自由电荷密度.由于 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 无旋,我们引入静电势 $\phi$:
\begin{align} E=-\nabla \phi \end{align}
由此可以得到泊松方程:
\begin{align} \nabla^2 \phi( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=-\frac{\rho( \boldsymbol{\mathbf{x}} )}{\epsilon} \end{align}
如果所考虑的区域自由电荷密度 $\rho( \boldsymbol{\mathbf{x}} )\equiv 0$,那么静电势满足拉普拉斯方程:
\begin{align} \nabla^2 \phi( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=0 \end{align}


1. ^ 注意到,空间中 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 处一个电荷所激发的电场不会对当前位置的电势有贡献.而在此处我们假定了 $\rho$ 是连续函数,因此 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} '\rightarrow \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 时 $\rho/| \boldsymbol{\mathbf{x}} - \boldsymbol{\mathbf{x}} '|$ 对积分的贡献是趋于 $0$ 的,因此与我们前面的论述不矛盾.


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