静电势的泊松方程

贡献者： _Eden_; addis; suit harry

预备知识 1　电场的高斯定律，拉普拉斯方程

1. 静电势的泊松方程

　　在静电学或静磁学问题中，磁场是不随时间变化的，此时空间中的电势可以由库仑定律轻易地表达为

\begin{matrix} (1) & ϕ (x) = \int d^{3} x^{'} \frac{ρ (x^{'})}{4 π ϵ_{0} | x - x^{'} |} . \end{matrix}

这里我们假设

ρ (x^{'})

为空间中的电荷分布（对于点电荷模型，每一个电荷都对应一处无穷小区域无穷大的电荷密度，即

δ

-函数），并且我们常常假定

ρ (x^{'})

是一个连续函数，因此在三维积分的过程中

x^{'} \to x

时的积分是良定义的，不会出现无穷大的发散¹。那么接下来考虑

ϕ (x)

所满足的性质。我们有以下重要关系式：

\begin{matrix} (2) & \nabla^{2} \frac{1}{| x - x^{'} |} = (\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}) \frac{1}{| x - x^{'} |} = - 4 π δ^{3} (x - x^{'}) . \end{matrix}

这一关系式的物理意义就是，空间中一个

x^{'}

处

+ q

的点电荷会在

x

处造成

1 / (4 π ϵ | x - x^{'} |)

的电势，

\nabla^{2}

被称为拉普拉斯算子。因此当我们将拉普拉斯算子作用于式 1 ，将会得到

\begin{matrix} (3) & \begin{aligned} \nabla^{2} ϕ (x) & = \int d^{3} x^{'} \frac{ρ (x^{'})}{4 π ϵ_{0}} \nabla^{2} \frac{1}{| x - x^{'} |} \\ = \int d^{3} x^{'} \frac{ρ (x^{'})}{4 π ϵ_{0}} (- 4 π δ^{3} (x - x^{'})) \\ = - \frac{ρ (x)}{ϵ_{0}} . \end{aligned} \end{matrix}

2. 从麦克斯韦方程组到泊松方程

预备知识 2　麦克斯韦方程组（介质）

真空中泊松方程

　　利用真空中的麦克斯韦方程组，电场满足以下的方程

\begin{matrix} (4) & \nabla \cdot E = \frac{ρ}{ϵ_{0}}, \nabla \times E = 0 . \end{matrix}

由于

E

无旋，它一定可以表示为一个静电势的梯度

E = - \nabla ϕ

。代入第一个方程，就可以得到泊松方程

\begin{matrix} (5) & \nabla^{2} ϕ = - ρ / ϵ_{0} . \end{matrix}

如果考虑的区域电荷密度

ρ

恒等于

0

，那么静电势满足拉普拉斯方程：

\begin{matrix} (6) & \nabla^{2} ϕ = 0 . \end{matrix}

均匀介质中的泊松方程

　　我们首先考虑均匀、各向同性的线性电介质中的静电问题。设其电容率为 $ϵ$ （即相对介电常数 $ϵ_{r}$ 乘以 $ϵ_{0}$ ）。根据介质中的麦克斯韦方程组，电场与电极化强度需要满足以下方程：

\begin{aligned} (7) & \nabla \cdot D = ρ, \nabla \times E = 0, \\ (8) & D = ϵ E . \end{aligned}

式中

ρ

表示空间的自由电荷密度。由于

E

无旋，我们引入静电势

ϕ

：

\begin{array}{r} (9) & E = - \nabla ϕ . \end{array}

由此可以得到泊松方程：

\begin{array}{r} (10) & \nabla^{2} ϕ (x) = - \frac{ρ (x)}{ϵ} . \end{array}

如果所考虑的区域自由电荷密度

ρ (x) \equiv 0

，那么静电势满足拉普拉斯方程：

\begin{array}{r} (11) & \nabla^{2} ϕ (x) = 0 . \end{array}

1. ^ 注意到，空间中 $x$ 处一个电荷所激发的电场不会对当前位置的电势有贡献。而在此处我们假定了 $ρ$ 是连续函数，因此 $x^{'} \to x$ 时 $ρ / | x - x^{'} |$ 对积分的贡献是趋于 $0$ 的，因此与我们前面的论述不矛盾。

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