二维波动方程

                     

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预备知识 一维波动方程,梯度,散度

   假设我们有一个紧绷的橡皮薄膜,单位长度的张力为 λ。面密度为 σ,均为常数。取一小块微元进行受力分析,其质量为 m=σS。要分析其受力,可以将面元的边界划分成许多小段,每小段给面元施加的竖直方向的力等于 λ 乘以法相斜率 u 再乘以该小段长度 dl。注意只有再假设其振动幅度很小时这才成立,因为斜率是 tanθ,而严格来说我们需要 sinθ,类比同一维波动方程的推导

(1)2ut2=λσS[u(r)]n^(r)dl ,
n^(r) 为边界在 r 处向外的法向量。

   当 S0,根据散度的定义

(2)1S[u(r)]n^(r)dl(u)=2u ,
所以波动方程为
(3)2uσλ2ut2=0 ,
其中 v0=λ/σ

   特殊地,当薄膜保持静止不动,我们就得到了拉普拉斯方程


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