二维波动方程
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假设我们有一个紧绷的橡皮薄膜,单位长度的张力为 。面密度为 ,均为常数。取一小块微元进行受力分析,其质量为 。要分析其受力,可以将面元的边界划分成许多小段,每小段给面元施加的竖直方向的力等于 乘以法相斜率 再乘以该小段长度 。注意只有再假设其振动幅度很小时这才成立,因为斜率是 ,而严格来说我们需要 ,类比同一维波动方程的推导。
为边界在 处向外的法向量。
当 ,根据散度的定义
所以波动方程为
其中 。
特殊地,当薄膜保持静止不动,我们就得到了拉普拉斯方程。
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