二维波动方程
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假设我们有一个紧绷的橡皮薄膜，单位长度的张力为 $\lambda$。面密度为 $\sigma$，均为常数。取一小块微元进行受力分析，其质量为 $m = \sigma S$。要分析其受力，可以将面元的边界划分成许多小段，每小段给面元施加的竖直方向的力等于 $\lambda$ 乘以法相斜率 $ \boldsymbol\nabla u$ 再乘以该小段长度 $ \,\mathrm{d}{l} $。注意只有再假设其振动幅度很小时这才成立，因为斜率是 $\tan\theta$，而严格来说我们需要 $\sin\theta$，类比同一维波动方程的推导。
\begin{equation}
\frac{\partial^{2}{u}}{\partial{t}^{2}} = \frac{\lambda}{\sigma S}\oint [ \boldsymbol\nabla u( \boldsymbol{\mathbf{r}} )] \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{l} ~,
\end{equation}
$ \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 为边界在 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 处向外的法向量。
当 $S \to 0$，根据散度的定义
\begin{equation}
\frac{1}{S} \oint [ \boldsymbol\nabla u( \boldsymbol{\mathbf{r}} )] \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{n}}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \,\mathrm{d}{l} \to \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} ( \boldsymbol\nabla u) = \boldsymbol{\nabla}^2 u~,
\end{equation}
所以波动方程为
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}^2 u - \frac{\sigma}{\lambda} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{t}^{2}} = 0~,
\end{equation}
其中 $v_0 = \sqrt{\lambda/\sigma}$。
特殊地，当薄膜保持静止不动，我们就得到了拉普拉斯方程。
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