拉普拉斯方程

             

预备知识 梯度,散度,分离变量法解偏微分方程

   设 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 是区域, $u$ 是 $\Omega$ 上的实值函数. 如下偏微分方程称为拉普拉斯方程(laplacian equation):

\begin{equation} \Delta u = 0, \end{equation}
这里 $\Delta= \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\nabla} =\partial_{x^1}^2+...+\partial_{x^n}^2$ 是梯度的散度, 也就是所谓的拉普拉斯算子(Laplacian). 根据定义,有分配律 $ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\nabla} u) = ( \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\nabla} ) u$.满足拉普拉斯方程的函数叫做调和函数(harmonic function)

   从物理上看,二元函数的拉普拉斯方程可以理解为一片静止的,不受外力的薄膜所满足的方程.要得到方程的解,我们需要规定一些边界条件.常见的条件是给定一个区域,然后给出 $u( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 在边界上的函数值.

例 1 

   在静电学问题中,电势能满足泊松方程,在没有电荷分布的区域,泊松方程变为拉普拉斯方程

\begin{equation} \Delta V=0 \end{equation}
我们来计算 $V$ 仅依赖于 $r$($r$ 为到原点的距离)的情况.采用球坐标,拉普拉斯方程使用式 4 写为
\begin{equation} \frac{1}{r^2} \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{r}} \left(r^2 \frac{\mathrm{d}{V}}{\mathrm{d}{r}} \right) =0 \end{equation}
\begin{equation} r^2 \frac{\mathrm{d}{V}}{\mathrm{d}{r}} =c\Rightarrow \frac{\mathrm{d}{V}}{\mathrm{d}{r}} =\frac{c}{r^2} \Rightarrow V(r)=-\frac{c}{r}+c' \end{equation}
其中,$c$、$c'$ 为常数.

例 2 二维长方形边界问题

  

未完成:图
如图,二维平面上有一长方形区域,尺寸为 $a\times b$,该区域存在一标量场 $u(x,y)$,且满足
\begin{equation} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{x}^{2}} + \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{y}^{2}} =0 \end{equation}
边界条件为
\begin{equation} u(0,y)=u(a,y)=u(x,0)=0,\quad u(x,b)=c \end{equation}
求 $u(x,y)$

   解:设 $u(x,y)=X(x)Y(y)$,代入式 5 ,得

\begin{equation} \frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y}=0 \end{equation}
式中,$X''= \frac{\mathrm{d}^{2}{X}}{\mathrm{d}{x}^{2}} ,Y''= \frac{\mathrm{d}^{2}{Y}}{\mathrm{d}{y}^{2}} $. 式 7 左边两项各为 $x$ 和 $y$ 的函数,而其和为常数 0,这说明这两项只能是常数,令
\begin{equation} \frac{X''}{X}=-k_x^2,\quad \frac{Y''}{Y}=-k_y^2 \end{equation}
式 7
\begin{equation} k_x^2+k_y^2=0 \end{equation}
首先解 $X(x)$
\begin{equation} X''+k_x^2X=0 \end{equation}
其通解为
\begin{equation} X(x)=a_1\sin k_x x+b_1\cos k_x x \end{equation}
边界条件 $u(0,y)=u(a,y)=0$ 相当于 $X(0)=X(a)=0$,代入上式,得
\begin{equation} b_1=0,\quad k_x=\frac{n\pi}{a} \qquad (n\in \mathbb{Z}) \end{equation}
所以
\begin{equation} X_n(x)=a_1\sin\frac{n\pi x}{a} \qquad (n\in \mathbb{Z}) \end{equation}
再解 $Y(y)$
\begin{equation} Y''+k_y^2Y=0 \end{equation}
同样,其通解为
\begin{equation} Y(y)=a_2\sin k_y y+b_2\cos k_y y \end{equation}
式 9 ,$k_y= \mathrm{i} k_x$,代入上式,并由式 11 式 12 ,得
\begin{equation} Y(y)= \mathrm{i} a_2\sinh k_x y+b_2\cosh k_x y \end{equation}
同样,边界条件 $u(x,0)=0$ 相当于 $Y(0)=0$,代入上式,得
\begin{equation} Y_n(y)= \mathrm{i} a_2\sinh\frac{n\pi y}{a} \qquad (n\in \mathbb{Z}) \end{equation}
所以
\begin{equation} \begin{aligned} u_n(x,y)&=X_n(x)Y_n(y)= \mathrm{i} a_1a_2\sin\frac{n\pi x}{a}\sinh\frac{n\pi y}{a}\\ &=C'_n\sin\frac{n\pi x}{a}\sinh\frac{n\pi y}{a} \qquad (n\in\mathbb{Z}) \end{aligned} \end{equation}
由于 $k_x=0$ 的解没有意义(它意味着 $u(x,y)=0$),而且负数解不会给出新的解,因为 $ \sin\left(-x\right) =-\sin x$,而负号可以合并到常数项去,所以可区分的解要求 $n\in\mathbb{Z^+}$.

   由线性叠加原理

\begin{equation} u(x,y)=\sum_n C''_n u_n(x,y)=\sum_n C_n\sin\frac{n\pi x}{a}\sinh\frac{n\pi y}{a} \qquad (n\in\mathbb{Z^+}) \end{equation}
现在,我们还差边界条件 $u(x,b)=c$ 未用,代入上式
\begin{equation} c=\sum_n C_n\sin\frac{n\pi x}{a}\sinh\frac{n\pi b}{a}=\sum_n B_n\sin\frac{n\pi x}{a} \qquad (n\in\mathbb{Z^+}) \end{equation}
其中,$B_n=C_n\sinh \frac{n\pi b}{a}$. 利用三角函数的正交性
\begin{equation} \int_0^a\sin\frac{n\pi x}{a}\sin\frac{m\pi x}{a} \,\mathrm{d}{x} =\left\{\begin{aligned} \frac{a}{2},\quad n=m\\ 0,\quad n\neq m \end{aligned}\right. \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} B_n&=\frac{2c}{a}\int_0^a\sin\frac{n\pi x}{a} \,\mathrm{d}{x} =\frac{2c}{n\pi}(1+(-1)^{n+1})\\ &=\left\{\begin{aligned} 0,&\quad n=2,4,\cdots\\ \frac{4c}{n\pi},&\quad n=1,3,5,\cdots \end{aligned}\right. \end{aligned} \end{equation}
所以
\begin{equation} C_n=\frac{B_n}{\sinh \frac{n\pi b}{a}}=\frac{4c}{n\pi\sinh \frac{n\pi b}{a}}(n=1,3,5,\cdots) \end{equation}
式 23 代入式 19 ,得到
\begin{equation} u(x,y)=\frac{4c}{\pi}\sum_{n=1,3,5,\cdots} \frac{1}{n\sinh \frac{n\pi b}{a}}\sin\frac{n\pi x}{a}\sinh\frac{n\pi y}{a} \end{equation}

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