拉普拉斯方程

贡献者：零穹; addis

预备知识　梯度，散度，分离变量法解偏微分方程

　　设 $Ω \subset R^{n}$ 是区域， $u$ 是 $Ω$ 上的实值函数。如下偏微分方程称为拉普拉斯方程（laplacian equation）:

\begin{matrix} (1) & Δ u = 0, \end{matrix}

这里

Δ = \nabla^{2} = \nabla \cdot \nabla = \partial_{x^{1}}^{2} + . . . + \partial_{x^{n}}^{2}

是梯度的散度，也就是所谓的拉普拉斯算子（Laplacian）. 根据定义，有分配律

\nabla \cdot (\nabla u) = (\nabla \cdot \nabla) u

。满足拉普拉斯方程的函数叫做调和函数（harmonic function）。

　　从物理上看，二元函数的拉普拉斯方程可以理解为一片静止的，不受外力的薄膜所满足的方程。要得到方程的解，我们需要规定一些边界条件。常见的条件是给定一个区域，然后给出 $u (r)$ 在边界上的函数值。

1. 直角坐标系中的拉普拉斯方程

　　直角坐标系中的拉普拉斯方程 $\nabla^{2} u = 0$ 为

\begin{matrix} (2) & \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} = 0 . \end{matrix}

拉普拉斯方程还可化为柱坐标系中的拉普拉斯方程与球坐标系中的拉普拉斯方程。

2. 一些例子

例 1　

　　在静电学问题中，电势能满足泊松方程，在没有电荷分布的区域，泊松方程变为拉普拉斯方程。

\begin{matrix} (3) & Δ V = 0 . \end{matrix}

我们来计算

V

仅依赖于

r

（

r

为到原点的距离）的情况。采用球坐标，拉普拉斯方程使用式 4 写为

\begin{matrix} (4) & \frac{1}{r^{2}} \frac{d}{d r} (r^{2} \frac{d V}{d r}) = 0, \end{matrix}

则

\begin{matrix} (5) & r^{2} \frac{d V}{d r} = c \Rightarrow \frac{d V}{d r} = \frac{c}{r^{2}} . \Rightarrow V (r) = - \frac{c}{r} + c^{'}, \end{matrix}

其中，

c

、

c^{'}

为常数。

例 2　二维长方形边界问题

未完成：图

如图，二维平面上有一长方形区域，尺寸为

a \times b

，该区域存在一标量场

u (x, y)

，且满足

\begin{matrix} (6) & \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}} = 0 . \end{matrix}

边界条件为

\begin{matrix} (7) & u (0, y) = u (a, y) = u (x, 0) = 0, u (x, b) = c, \end{matrix}

求

u (x, y)

　　解：设 $u (x, y) = X (x) Y (y)$ ，代入式 6 ，得

\begin{matrix} (8) & \frac{X^{″}}{X} + \frac{Y^{″}}{Y} = 0 . \end{matrix}

式中，

X^{″} = \frac{d^{2} X}{d x^{2}}, Y^{″} = \frac{d^{2} Y}{d y^{2}}

。式 8 左边两项各为

x

和

y

的函数，而其和为常数 0，这说明这两项只能是常数，令

\begin{matrix} (9) & \frac{X^{″}}{X} = - k_{x}^{2}, \frac{Y^{″}}{Y} = - k_{y}^{2} . \end{matrix}

由式 8

\begin{matrix} (10) & k_{x}^{2} + k_{y}^{2} = 0 . \end{matrix}

首先解

X (x)

\begin{matrix} (11) & X^{″} + k_{x}^{2} X = 0, \end{matrix}

其通解为

\begin{matrix} (12) & X (x) = a_{1} \sin k_{x} x + b_{1} \cos k_{x} x . \end{matrix}

边界条件

u (0, y) = u (a, y) = 0

相当于

X (0) = X (a) = 0

，代入上式，得

\begin{matrix} (13) & b_{1} = 0, k_{x} = \frac{n π}{a} (n \in Z), \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (14) & X_{n} (x) = a_{1} \sin \frac{n π x}{a} (n \in Z) . \end{matrix}

再解

Y (y)

\begin{matrix} (15) & Y^{″} + k_{y}^{2} Y = 0 . \end{matrix}

同样，其通解为

\begin{matrix} (16) & Y (y) = a_{2} \sin k_{y} y + b_{2} \cos k_{y} y . \end{matrix}

由式 10 ，

k_{y} = i k_{x}

，代入上式，并由式 11 和式 12 ，得

\begin{matrix} (17) & Y (y) = i a_{2} \sinh k_{x} y + b_{2} \cosh k_{x} y . \end{matrix}

同样，边界条件

u (x, 0) = 0

相当于

Y (0) = 0

，代入上式，得

\begin{matrix} (18) & Y_{n} (y) = i a_{2} \sinh \frac{n π y}{a} (n \in Z), \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (19) & \begin{aligned} u_{n} (x, y) & = X_{n} (x) Y_{n} (y) = i a_{1} a_{2} \sin \frac{n π x}{a} \sinh \frac{n π y}{a} \\ = C_{n}^{'} \sin \frac{n π x}{a} \sinh \frac{n π y}{a} (n \in Z) . \end{aligned} \end{matrix}

由于

k_{x} = 0

的解没有意义（它意味着

u (x, y) = 0

），而且负数解不会给出新的解，因为

\sin (- x) = - \sin x

，而负号可以合并到常数项去，所以可区分的解要求

n \in Z^{+}

　　由线性叠加原理

\begin{matrix} (20) & u (x, y) = \sum_{n} C_{n}^{″} u_{n} (x, y) = \sum_{n} C_{n} \sin \frac{n π x}{a} \sinh \frac{n π y}{a} (n \in Z^{+}) . \end{matrix}

现在，我们还差边界条件

u (x, b) = c

未用，代入上式

\begin{matrix} (21) & c = \sum_{n} C_{n} \sin \frac{n π x}{a} \sinh \frac{n π b}{a} = \sum_{n} B_{n} \sin \frac{n π x}{a} (n \in Z^{+}), \end{matrix}

其中，

B_{n} = C_{n} \sinh \frac{n π b}{a}

。利用三角函数的正交性

\begin{matrix} (22) & \int_{0}^{a} \sin \frac{n π x}{a} \sin \frac{m π x}{a} d x = {\begin{aligned} \frac{a}{2} & (n = m) \\ 0 & (n \neq m), \end{aligned} \end{matrix}

得

\begin{matrix} (23) & \begin{aligned} B_{n} & = \frac{2 c}{a} \int_{0}^{a} \sin \frac{n π x}{a} d x = \frac{2 c}{n π} (1 + (- 1)^{n + 1}) \\ = {\begin{aligned} 0, & n = 2, 4, \dots \\ \frac{4 c}{n π}, & n = 1, 3, 5, \dots \end{aligned} \end{aligned} \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (24) & C_{n} = \frac{B_{n}}{\sinh \frac{n π b}{a}} = \frac{4 c}{n π \sinh \frac{n π b}{a}} (n = 1, 3, 5, \dots) . \end{matrix}

式 24 代入式 20 ，得到

\begin{matrix} (25) & u (x, y) = \frac{4 c}{π} \sum_{n = 1, 3, 5, \dots} \frac{1}{n \sinh \frac{n π b}{a}} \sin \frac{n π x}{a} \sinh \frac{n π y}{a} . \end{matrix}

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。

拉普拉斯方程

1. 直角坐标系中的拉普拉斯方程

2. 一些例子

例 1

例 2 二维长方形边界问题

例 1　

例 2　二维长方形边界问题