这里 $\Delta=\nabla^2 = \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\nabla} =\partial_{x^1}^2+...+\partial_{x^n}^2$ 是梯度的散度，也就是所谓的
. 根据定义，有分配律 $ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\nabla} u) = ( \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\nabla} ) u$。满足拉普拉斯方程的函数叫做
例 2 二维长方形边界问题
未完成：图
如图，二维平面上有一长方形区域，尺寸为 $a\times b$，该区域存在一标量场 $u(x,y)$，且满足
\begin{equation}
\frac{\partial^{2}{u}}{\partial{x}^{2}} + \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{y}^{2}} =0~.
\end{equation}
边界条件为
\begin{equation}
u(0,y)=u(a,y)=u(x,0)=0~,\quad u(x,b)=c~,
\end{equation}
求 $u(x,y)$
解：设 $u(x,y)=X(x)Y(y)$，代入式 6 ，得
\begin{equation}
\frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y}=0~.
\end{equation}
式中，$X''= \frac{\mathrm{d}^{2}{X}}{\mathrm{d}{x}^{2}} ,Y''= \frac{\mathrm{d}^{2}{Y}}{\mathrm{d}{y}^{2}} $。
式 8 左边两项各为 $x$ 和 $y$ 的函数，而其和为常数 0，这说明这两项只能是常数，令
\begin{equation}
\frac{X''}{X}=-k_x^2~,\quad \frac{Y''}{Y}=-k_y^2~.
\end{equation}
由
式 8
\begin{equation}
k_x^2+k_y^2=0~.
\end{equation}
首先解 $X(x)$
\begin{equation}
X''+k_x^2X=0~,
\end{equation}
其通解为
\begin{equation}
X(x)=a_1\sin k_x x+b_1\cos k_x x~.
\end{equation}
边界条件 $u(0,y)=u(a,y)=0$ 相当于 $X(0)=X(a)=0$，代入上式，得
\begin{equation}
b_1=0,\quad k_x=\frac{n\pi}{a} \qquad (n\in \mathbb{Z})~,
\end{equation}
所以
\begin{equation}
X_n(x)=a_1\sin\frac{n\pi x}{a} \qquad (n\in \mathbb{Z})~.
\end{equation}
再解 $Y(y)$
\begin{equation}
Y''+k_y^2Y=0~.
\end{equation}
同样，其通解为
\begin{equation}
Y(y)=a_2\sin k_y y+b_2\cos k_y y~.
\end{equation}
由
式 10 ，$k_y= \mathrm{i} k_x$，代入上式，并由
式 11 和
式 12 ，得
\begin{equation}
Y(y)= \mathrm{i} a_2\sinh k_x y+b_2\cosh k_x y~.
\end{equation}
同样，边界条件 $u(x,0)=0$ 相当于 $Y(0)=0$，代入上式，得
\begin{equation}
Y_n(y)= \mathrm{i} a_2\sinh\frac{n\pi y}{a}\qquad (n\in \mathbb{Z})~,
\end{equation}
所以
\begin{equation}
\begin{aligned}
u_n(x,y)&=X_n(x)Y_n(y)= \mathrm{i} a_1a_2\sin\frac{n\pi x}{a}\sinh\frac{n\pi y}{a}\\
&=C'_n\sin\frac{n\pi x}{a}\sinh\frac{n\pi y}{a} \qquad (n\in\mathbb{Z})~.
\end{aligned}
\end{equation}
由于 $k_x=0$ 的解没有意义（它意味着 $u(x,y)=0$），而且负数解不会给出新的解，因为 $ \sin\left(-x\right) =-\sin x$，而负号可以合并到常数项去，所以可区分的解要求 $n\in\mathbb{Z^+}$.
由线性叠加原理
\begin{equation}
u(x,y)=\sum_n C''_n u_n(x,y)=\sum_n C_n\sin\frac{n\pi x}{a}\sinh\frac{n\pi y}{a} \qquad (n\in\mathbb{Z^+})~.
\end{equation}
现在，我们还差边界条件 $u(x,b)=c$ 未用，代入上式
\begin{equation}
c=\sum_n C_n\sin\frac{n\pi x}{a}\sinh\frac{n\pi b}{a}=\sum_n B_n\sin\frac{n\pi x}{a} \qquad (n\in\mathbb{Z^+})~,
\end{equation}
其中，$B_n=C_n\sinh \frac{n\pi b}{a}$。
利用三角函数的正交性
\begin{equation}
\int_0^a\sin\frac{n\pi x}{a}\sin\frac{m\pi x}{a} \,\mathrm{d}{x} =\left\{\begin{aligned}
&\frac{a}{2}&&(n=m)\\
& 0 &&(n\neq m)~,
\end{aligned}\right.
\end{equation}
得
\begin{equation}
\begin{aligned}
B_n
&=\frac{2c}{a}\int_0^a\sin\frac{n\pi x}{a} \,\mathrm{d}{x} =\frac{2c}{n\pi}(1+(-1)^{n+1})\\
&=\left\{\begin{aligned}
0,&\quad n=2,4,\cdots~\\
\frac{4c}{n\pi},&\quad n=1,3,5,\cdots~
\end{aligned}\right.
\end{aligned}~
\end{equation}
所以
\begin{equation}
C_n=\frac{B_n}{\sinh \frac{n\pi b}{a}}=\frac{4c}{n\pi\sinh \frac{n\pi b}{a}}\qquad
(n=1,3,5,\cdots)~.
\end{equation}
代入
式 20 ，得到
\begin{equation}
u(x,y)=\frac{4c}{\pi}\sum_{n=1,3,5,\cdots} \frac{1}{n\sinh \frac{n\pi b}{a}}\sin\frac{n\pi x}{a}\sinh\frac{n\pi y}{a}~.
\end{equation}