拉普拉斯方程

                     

贡献者: 零穹; addis

预备知识 梯度,散度,分离变量法解偏微分方程

   设 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 是区域,$u$ 是 $\Omega$ 上的实值函数。如下偏微分方程称为拉普拉斯方程(laplacian equation):

\begin{equation} \Delta u = 0~, \end{equation}
这里 $\Delta=\nabla^2 = \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\nabla} =\partial_{x^1}^2+...+\partial_{x^n}^2$ 是梯度的散度,也就是所谓的拉普拉斯算子(Laplacian). 根据定义,有分配律 $ \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\nabla} u) = ( \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\nabla} ) u$。满足拉普拉斯方程的函数叫做调和函数(harmonic function)

   从物理上看,二元函数的拉普拉斯方程可以理解为一片静止的,不受外力的薄膜所满足的方程。要得到方程的解,我们需要规定一些边界条件。常见的条件是给定一个区域,然后给出 $u( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 在边界上的函数值。

1. 直角坐标系中的拉普拉斯方程

   直角坐标系中的拉普拉斯方程 $\nabla^2u=0$ 为

\begin{equation} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{x}^{2}} + \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{y}^{2}} + \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{z}^{2}} =0~. \end{equation}
拉普拉斯方程还可化为柱坐标系中的拉普拉斯方程球坐标系中的拉普拉斯方程

2. 一些例子

例 1 

   在静电学问题中,电势能满足泊松方程,在没有电荷分布的区域,泊松方程变为拉普拉斯方程

\begin{equation} \Delta V=0~. \end{equation}
我们来计算 $V$ 仅依赖于 $r$($r$ 为到原点的距离)的情况。采用球坐标,拉普拉斯方程使用式 4 写为
\begin{equation} \frac{1}{r^2} \frac{\mathrm{d}{}}{\mathrm{d}{r}} \left(r^2 \frac{\mathrm{d}{V}}{\mathrm{d}{r}} \right) =0~, \end{equation}
\begin{equation} r^2 \frac{\mathrm{d}{V}}{\mathrm{d}{r}} =c\Rightarrow \frac{\mathrm{d}{V}}{\mathrm{d}{r}} =\frac{c}{r^2}~. \Rightarrow V(r)=-\frac{c}{r}+c'~, \end{equation}
其中,$c$、$c'$ 为常数。

例 2 二维长方形边界问题

  

未完成:图
如图,二维平面上有一长方形区域,尺寸为 $a\times b$,该区域存在一标量场 $u(x,y)$,且满足
\begin{equation} \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{x}^{2}} + \frac{\partial^{2}{u}}{\partial{y}^{2}} =0~. \end{equation}
边界条件为
\begin{equation} u(0,y)=u(a,y)=u(x,0)=0~,\quad u(x,b)=c~, \end{equation}
求 $u(x,y)$

   解:设 $u(x,y)=X(x)Y(y)$,代入式 6 ,得

\begin{equation} \frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y}=0~. \end{equation}
式中,$X''= \frac{\mathrm{d}^{2}{X}}{\mathrm{d}{x}^{2}} ,Y''= \frac{\mathrm{d}^{2}{Y}}{\mathrm{d}{y}^{2}} $。 式 8 左边两项各为 $x$ 和 $y$ 的函数,而其和为常数 0,这说明这两项只能是常数,令
\begin{equation} \frac{X''}{X}=-k_x^2~,\quad \frac{Y''}{Y}=-k_y^2~. \end{equation}
式 8
\begin{equation} k_x^2+k_y^2=0~. \end{equation}
首先解 $X(x)$
\begin{equation} X''+k_x^2X=0~, \end{equation}
其通解为
\begin{equation} X(x)=a_1\sin k_x x+b_1\cos k_x x~. \end{equation}
边界条件 $u(0,y)=u(a,y)=0$ 相当于 $X(0)=X(a)=0$,代入上式,得
\begin{equation} b_1=0,\quad k_x=\frac{n\pi}{a} \qquad (n\in \mathbb{Z})~, \end{equation}
所以
\begin{equation} X_n(x)=a_1\sin\frac{n\pi x}{a} \qquad (n\in \mathbb{Z})~. \end{equation}
再解 $Y(y)$
\begin{equation} Y''+k_y^2Y=0~. \end{equation}
同样,其通解为
\begin{equation} Y(y)=a_2\sin k_y y+b_2\cos k_y y~. \end{equation}
式 10 ,$k_y= \mathrm{i} k_x$,代入上式,并由式 11 式 12 ,得
\begin{equation} Y(y)= \mathrm{i} a_2\sinh k_x y+b_2\cosh k_x y~. \end{equation}
同样,边界条件 $u(x,0)=0$ 相当于 $Y(0)=0$,代入上式,得
\begin{equation} Y_n(y)= \mathrm{i} a_2\sinh\frac{n\pi y}{a}\qquad (n\in \mathbb{Z})~, \end{equation}
所以
\begin{equation} \begin{aligned} u_n(x,y)&=X_n(x)Y_n(y)= \mathrm{i} a_1a_2\sin\frac{n\pi x}{a}\sinh\frac{n\pi y}{a}\\ &=C'_n\sin\frac{n\pi x}{a}\sinh\frac{n\pi y}{a} \qquad (n\in\mathbb{Z})~. \end{aligned} \end{equation}
由于 $k_x=0$ 的解没有意义(它意味着 $u(x,y)=0$),而且负数解不会给出新的解,因为 $ \sin\left(-x\right) =-\sin x$,而负号可以合并到常数项去,所以可区分的解要求 $n\in\mathbb{Z^+}$.

   由线性叠加原理

\begin{equation} u(x,y)=\sum_n C''_n u_n(x,y)=\sum_n C_n\sin\frac{n\pi x}{a}\sinh\frac{n\pi y}{a} \qquad (n\in\mathbb{Z^+})~. \end{equation}
现在,我们还差边界条件 $u(x,b)=c$ 未用,代入上式
\begin{equation} c=\sum_n C_n\sin\frac{n\pi x}{a}\sinh\frac{n\pi b}{a}=\sum_n B_n\sin\frac{n\pi x}{a} \qquad (n\in\mathbb{Z^+})~, \end{equation}
其中,$B_n=C_n\sinh \frac{n\pi b}{a}$。 利用三角函数的正交性
\begin{equation} \int_0^a\sin\frac{n\pi x}{a}\sin\frac{m\pi x}{a} \,\mathrm{d}{x} =\left\{\begin{aligned} &\frac{a}{2}&&(n=m)\\ & 0 &&(n\neq m)~, \end{aligned}\right. \end{equation}
\begin{equation} \begin{aligned} B_n &=\frac{2c}{a}\int_0^a\sin\frac{n\pi x}{a} \,\mathrm{d}{x} =\frac{2c}{n\pi}(1+(-1)^{n+1})\\ &=\left\{\begin{aligned} 0,&\quad n=2,4,\cdots~\\ \frac{4c}{n\pi},&\quad n=1,3,5,\cdots~ \end{aligned}\right. \end{aligned}~ \end{equation}
所以
\begin{equation} C_n=\frac{B_n}{\sinh \frac{n\pi b}{a}}=\frac{4c}{n\pi\sinh \frac{n\pi b}{a}}\qquad (n=1,3,5,\cdots)~. \end{equation}
式 24 代入式 20 ,得到
\begin{equation} u(x,y)=\frac{4c}{\pi}\sum_{n=1,3,5,\cdots} \frac{1}{n\sinh \frac{n\pi b}{a}}\sin\frac{n\pi x}{a}\sinh\frac{n\pi y}{a}~. \end{equation}


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