格林函数解线性非齐次微分方程

贡献者： addis; 切糕糕

预备知识 1　狄拉克 delta 函数

　　区间 $(a,b)$ 的非齐次线性微分方程可记为

\begin{equation} \hat{Q} y(x) = f(x)~, \end{equation}

其中 $ \hat{Q} $ 是线性微分算符。令格林函数为 $G(x', x)$ 满足

\begin{equation} \hat{Q} G(x', x) = \delta(x - x') \qquad (a < x' < b)~. \end{equation}

那么方程的解为

\begin{equation} y(x) = \int_a^b f(x') G(x', x) \,\mathrm{d}{x'} ~, \end{equation}

证明见下文。

　　对偏微分方程，把以上的 $f(x), y(x)$ 变为多元函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ), y( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$，算符 $ \hat{Q} $ 变为线性偏微分算符，$\delta$ 函数变为多元狄拉克 $\delta$ 函数 $\delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')$，积分变为重积分即可。

1. 例子：弦的受力平衡

预备知识 2　分部积分法，方程 $y^{(N)}=f(x)$

　　一根两端固定的弦两端固定在 $x$ 轴上，区间为 $[0, L]$，张力为 $T$，形状为 $y(x)$，边界条件为 $y(0) = y(L) = 0$。在弦上有 $y$ 方向的连续受力分布，若弦的受力密度函数为 $f(x)$，即单位长度受到的 $y$ 方向的力，那么当 $ \left\lvert f(x) \right\rvert \ll T$ 时有方程（推导过程类比 “一维波动方程”）

\begin{equation} -T y'' = f(x)~. \end{equation}

　　虽然该方程可以直接对两边积分两次得到解（两个积分常数由边界条件确定）

\begin{equation} y(x) = -\frac{1}{T}\iint f(x) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{x} + C_1 x + C_2~, \end{equation}

但为了教学我们用格林函数法。先令格林函数 $G(x', x)$ 满足

\begin{equation} -T G''(x', x) = \delta(x - x') \qquad (0 < x' < L)~, \end{equation}

方程右边是狄拉克 $\delta$ 函数。且同样有边界条件 $G(x', a) = G(x', b) = 0$。这相当于弦上只有一点 $x'$ 受大小为 $F = 1$ 的力。

　　解出格林函数后，$f(x)$ 可以分解为许多不同位置的 $\delta$ 函数的线性组合（积分）

\begin{equation} f(x) = \int_0^L f(x') \delta(x - x') \,\mathrm{d}{x'} ~. \end{equation}

由于式 4 的方程是线性的，那么把 $G(x', x)$ 做同样的线性组合就是满足边界条件的解

\begin{equation} y(x) = \int_0^L f(x') G(x', x) \,\mathrm{d}{x'} ~. \end{equation}

　　现在来解式 6 ，事实上我们可以直接从受力分析上得出格林函数 $G(x', x)$ 是一个三角形，顶点的位置为 $x = x'$，令高为 $h = y(x')$ 由受力分析可得

\begin{equation} T\frac{h}{x'} + T\frac{h}{L - x'} = F = 1~, \end{equation}

图 1：受力分析示意图

　　即

\begin{equation} h = \frac{x' (L - x')}{LT}~. \end{equation}

即格林函数为

\begin{equation} G(x', x) = \left\{\begin{aligned} &\frac{L-x'}{LT}x \qquad (0 < x \le x')\\ &\frac{L-x}{LT}x' \qquad (0 < x \le x') \qquad (x' < x)~. \end{aligned}\right. \end{equation}

代入式 8 得

\begin{equation} y(x) = \int_0^x f(x') \frac{L-x}{LT}x' \,\mathrm{d}{x'} + \int_x^L f(x')\frac{L-x'}{LT}x \,\mathrm{d}{x'} ~, \end{equation}

由分部积分法（对 $f(x')$ 积分，剩下部分求导）可得式 5 。分部积分留做习题，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 的取值需要保证边界条件 $y(0) = y(L) = 0$。

不用受力分析求解格林函数

　　先考虑方程在 $(0,x')$ 区间的解，即

\begin{align} -TG''(x',x) &=0,& G(x',0)&=0~, \end{align}

解得

\begin{equation} G(x',x)=C_1 x~. \end{equation}

再考虑 $(x',L)$ 处的方程，即

\begin{align} -TG''(x',x) &= 0,& G(x',L) &= 0~, \end{align}

解得

\begin{equation} G(x',x) = C_2 (x-L)~. \end{equation}

显然根据实际情况可以知道，方程的解需要连续，那么有

\begin{equation} G(x',x'^-) = C_1x' = G(x',x'^+) = C_2 (x'-L) ~. \end{equation}

对式 6 在 $(x'^-,x'^+)$ 上积分，得到

\begin{equation} G'(x',x'^+)-G'(x',x'^-)=C_2-C_1=1 ~, \end{equation}

联立式 17 和式 18 就可以解出式 10 。

习题 1　受力均匀的弦

　　若式 4 中，$f(x) = 1$，即弦均匀向上受力，求弦的方程 $y(x)$。分别使用式 12 和式 5 两种方法。

　　答案：开口向下的抛物线。

2. 证明

　　要证明式 3 是方程式 1 的解，把前者代入后者，即证

\begin{equation} \hat{Q} \int_a^b f(x') G(x', x) \,\mathrm{d}{x'} = f(x)~. \end{equation}

$ \hat{Q} $ 是关于 $x$ 的微分算符，与 $x'$ 无关，$f(x')$ 对 $ \hat{Q} $ 来说可以看作线性组合的常系数，又由于 $ \hat{Q} $ 是线性算符，可以放到线性组合（积分）内部

\begin{equation} \begin{aligned} & \hat{Q} \int_a^b f(x') G(x', x) \,\mathrm{d}{x'} = \int_a^b f(x') \hat{Q} G(x', x) \,\mathrm{d}{x'} \\ &= \int_a^b f(x') \delta(x - x') \,\mathrm{d}{x'} = f(x)~. \end{aligned} \end{equation}

证毕。

形象的证明

　　若 $G_i(x)$ 是非齐次项 $f_i(x)$ 的解（$i = 1,2,\dots, n$），即

\begin{equation} \hat{Q} G_i(x) = f_i(x)~. \end{equation}

那么因为算符 $ \hat{Q} $ 是线性的，就有

\begin{equation} \hat{Q} \sum_i c_i G_i(x) = \sum_i c_i \hat{Q} G_i(x) = \sum_i c_i f_i(x)~. \end{equation}

如果我们能找到满足条件的 $c_i$ 和 $f_i(x)$ 使得

\begin{equation} f(x) = \sum_i c_i f_i(x)~, \end{equation}

那么根据式 22 ，方程的解就是 $G_i$ 做同样的线性组合

\begin{equation} y(x) = \sum_i c_i G_i(x)~. \end{equation}

　　当我们像定积分那样用许多小长方形来代替函数 $f(x)$：每个 $f_i(x)$ 看成一个宽为 $\Delta x$，中心位置在 $x'$ 的长方形函数，面积为 1。那么方程的解就是每个小长方形对应的解 $G_i(x)$ 做同样的线性组合。当小长方形越来越细，$f_i(x)$ 就变成了 $\delta(x - x')$ 以上的求和就变为了积分。

　　于是式 21 就变为式 2 ，而式 22 和式 23 变为积分就是式 20 。