格林函数解线性非齐次微分方程

             

预备知识 狄拉克 delta 函数

   区间 $(a,b)$ 的非齐次线性微分方程可记为

\begin{equation} \hat{Q} y(x) = f(x) \end{equation}
其中 $ \hat{Q} $ 是线性微分算符.令格林函数为 $G(x', x)$ 满足
\begin{equation} \hat{Q} G(x', x) = \delta(x - x') \qquad (a < x' < b) \end{equation}
那么方程的解为
\begin{equation} y(x) = \int_a^b f(x') G(x', x) \,\mathrm{d}{x'} \end{equation}
证明见下文.

   对偏微分方程,把以上的 $f(x), y(x)$ 变为多元函数 $f( \boldsymbol{\mathbf{r}} ), y( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$,算符 $ \hat{Q} $ 变为线性偏微分算符,$\delta$ 函数变为多元狄拉克 $\delta$ 函数 $\delta( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ')$,积分变为重积分即可.

1. 例子:弦的受力平衡

预备知识 分部积分法,方程 $y^{(N)}=f(x)$

   一根两端固定的弦两端固定在 $x$ 轴上,区间为 $[0, L]$,张力为 $T$,形状为 $y(x)$,边界条件为 $y(0) = y(L) = 0$.在弦上有 $y$ 方向的连续受力分布,若弦的受力密度函数为 $f(x)$,即单位长度受到的 $y$ 方向的力,那么当 $ \left\lvert f(x) \right\rvert \ll T$ 时有方程(推导过程类比 “一维波动方程”)

\begin{equation} -T y'' = f(x) \end{equation}

   虽然该方程可以直接对两边积分两次得到解(两个积分常数由边界条件确定)

\begin{equation} y(x) = -\frac{1}{T}\iint f(x) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{x} + C_1 x + C_2 \end{equation}
但为了教学我们用格林函数法.先令格林函数 $G(x', x)$ 满足
\begin{equation} -T G''(x', x) = \delta(x - x') \qquad (0 < x' < L) \end{equation}
方程右边是狄拉克 $\delta$ 函数.且同样有边界条件 $G(x', a) = G(x', b) = 0$.这相当于弦上只有一点 $x'$ 受大小为 $F = 1$ 的力.

   解出格林函数后,$f(x)$ 可以分解为许多不同位置的 $\delta$ 函数的线性组合(积分)

\begin{equation} f(x) = \int_0^L f(x') \delta(x - x') \,\mathrm{d}{x'} \end{equation}
由于式 4 的方程是线性的,那么把 $G(x', x)$ 做同样的线性组合就是满足边界条件的解
\begin{equation} y(x) = \int_0^L f(x') G(x', x) \,\mathrm{d}{x'} \end{equation}

   现在来解式 6 ,事实上我们可以直接从受力分析上得出格林函数 $G(x', x)$ 是一个三角形,顶点的位置为 $x = x'$,令高为 $h = y(x')$ 由受力分析可得

\begin{equation} T\frac{h}{x'} + T\frac{h}{L - x'} = F = 1 \end{equation}

图
图 1:受力分析示意图

   即

\begin{equation} h = \frac{x' (L - x')}{LT} \end{equation}
即格林函数为
\begin{equation} G(x', x) = \left\{\begin{aligned} &\frac{L-x'}{LT}x \qquad (0 < x \le x')\\ &\frac{L-x}{LT}x' \qquad (0 < x \le x') \qquad (x' < x) \end{aligned}\right. \end{equation}
代入式 8
\begin{equation} y(x) = \int_0^x f(x') \frac{L-x}{LT}x' \,\mathrm{d}{x'} + \int_x^L f(x')\frac{L-x'}{LT}x \,\mathrm{d}{x'} \end{equation}
由分部积分法(对 $f(x')$ 积分,剩下部分求导)可得式 5 .分部积分留做习题,其中 $C_1$ 和 $C_2$ 的取值需要保证边界条件 $y(0) = y(L) = 0$.

不用受力分析求解格林函数

   对式 6 在 $(0, x')$ 做两次定积分可以得到一条以 $(0,0)$ 为起点的斜线,同理,在 $(x', L)$ 两次定积分可以得到以 $(L, 0)$ 为终点的斜线.而在 $(x-\epsilon, x+\epsilon)$ 积分 并取 $\epsilon\to 0$ 可以得到斜率 $y'$ 在 $x'$ 左侧到右侧的变化

\begin{equation} -T\Delta y' = 1 \Longrightarrow \Delta y' = -\frac{1}{T} \end{equation}
解三角形可得式 10

习题 1 受力均匀的弦

   若式 4 中,$f(x) = 1$,即弦均匀向上受力,求弦的方程 $y(x)$.分别使用式 12 式 5 两种方法.

   答案:开口向下的抛物线.

2. 证明

   要证明式 3 是方程式 1 的解,把前者代入后者,即证

\begin{equation} \hat{Q} \int_a^b f(x') G(x', x) \,\mathrm{d}{x'} = f(x) \end{equation}
$ \hat{Q} $ 是关于 $x$ 的微分算符,与 $x'$ 无关,$f(x')$ 对 $ \hat{Q} $ 来说可以看作线性组合的常系数,又由于 $ \hat{Q} $ 是线性算符,可以放到线性组合(积分)内部
\begin{equation} \begin{aligned} & \hat{Q} \int_a^b f(x') G(x', x) \,\mathrm{d}{x'} = \int_a^b f(x') \hat{Q} G(x', x) \,\mathrm{d}{x'} \\ &= \int_a^b f(x') \delta(x - x') \,\mathrm{d}{x'} = f(x) \end{aligned} \end{equation}
证毕.

形象的证明

   若 $G_i(x)$ 是非齐次项 $f_i(x)$ 的解($i = 1,2,\dots, n$),即

\begin{equation} \hat{Q} G_i(x) = f_i(x) \end{equation}
那么因为算符 $ \hat{Q} $ 是线性的,就有
\begin{equation} \hat{Q} \sum_i c_i G_i(x) = \sum_i c_i \hat{Q} G_i(x) = \sum_i c_i f_i(x) \end{equation}
如果我们能找到满足条件的 $c_i$ 和 $f_i(x)$ 使得
\begin{equation} f(x) = \sum_i c_i f_i(x) \end{equation}
那么根据式 17 ,方程的解就是 $G_i$ 做同样的线性组合
\begin{equation} y(x) = \sum_i c_i G_i(x) \end{equation}

   当我们像定积分那样用许多小长方形来代替函数 $f(x)$:每个 $f_i(x)$ 看成一个宽为 $\Delta x$,中心位置在 $x'$ 的长方形函数,面积为 1.那么方程的解就是每个小长方形对应的解 $G_i(x)$ 做同样的线性组合.当小长方形越来越细,$f_i(x)$ 就变成了 $\delta(x - x')$ 以上的求和就变为了积分.

   于是式 16 就变为式 2 ,而式 17 式 18 变为积分就是式 15

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利