柱坐标系中的拉普拉斯方程

贡献者： addis

预备知识　分离变量法，拉普拉斯方程（直角坐标），柱坐标的拉普拉斯算符

　　拉普拉斯方程

\begin{matrix} (1) & \nabla^{2} u (r) = 0 . \end{matrix}

用柱坐标的拉普拉斯算子表示为

\begin{matrix} (2) & \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial u}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial θ^{2}} + \frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}} = 0 . \end{matrix}

　　使用分离变量法，其通解可以记为

\begin{matrix} (3) & f (r) = \sum_{l, m} [A_{l} J_{l} (k r) + B_{l} Y_{l} (k r)] e^{i m θ} (C_{l} e^{l z} + C_{l} e^{- l z}) . \end{matrix}

其中

A_{l}, B_{l}, C_{l}, D_{l}

是待定常数，所以它们中只有三个自由度。

　　拉普拉斯在柱坐标中分离变量后，径向方程为贝塞尔方程（式 1 ）

\begin{matrix} (4) & x \frac{d}{d x} (x \frac{d y}{d x}) + (x^{2} - m^{2}) y = 0, \end{matrix}

其中

x = l r

。

1. 推导

　　令 $u (r) = R (r) Φ (θ) Z (z)$ ，代入方程得

\begin{matrix} (5) & \frac{1}{r R} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial R}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} Φ} \frac{\partial^{2} Φ}{\partial θ^{2}} + \frac{1}{Z} \frac{\partial^{2} Z}{\partial z^{2}} = 0 . \end{matrix}

前两项只是

r

和

θ

的函数，第三项只是

z

的函数，所以它们分别为常数。令

\begin{matrix} (6) & \frac{1}{Z} \frac{\partial^{2} Z}{\partial z^{2}} = l^{2}, \end{matrix}

则前两项为

\begin{matrix} (7) & \frac{1}{r R} \frac{\partial}{\partial r} (r \frac{\partial R}{\partial r}) + \frac{1}{r^{2} Φ} \frac{\partial^{2} Φ}{\partial θ^{2}} = - l^{2} . \end{matrix}

为了继续分离

r

和

θ

，两边乘以

r^{2}

，则左边第二项只是关于

θ

的函数，剩下的部分只是关于

r

的函数。令

\begin{matrix} (8) & \frac{1}{Φ} \frac{d^{2} Φ}{d θ^{2}} = - m^{2} . \end{matrix}

则剩下的部分为

m^{2}

，即

\begin{matrix} (9) & r \frac{d}{d r} (r \frac{d R}{d r}) + (l^{2} r^{2} - m^{2}) R = 0 . \end{matrix}

　　令 $x = l r$ ， $y (x) = R (r)$ 则

\begin{matrix} (10) & x \frac{d}{d x} (x \frac{d y}{d x}) + (x^{2} - m^{2}) y = 0 . \end{matrix}

到此为止，三个变量已经完全分离，各自的微分方程为式 6 ，式 8 ，式 9 。

　　 $Z (z)$ 的通解为 $C_{1} e^{l z} + C_{2} e^{- l z}$ ， $Φ (θ)$ 的通解为 $e^{i m θ}$ 。式 9 的解不能用有限的初等函数表示，式 10 为贝塞尔方程的标准形式，两个线性无关解是贝塞尔函数 $J_{l} (x), Y_{l} (x)$ 。

　　需要注意的是，贝塞尔函数的阶数 $m$ 是角向方程 $(d^{2} Φ / d θ^{2}) / Φ = - m^{2}$ 的参数，而不是径向方程的参数 $l$ 。参数 $l$ 被包含在自变量 $x$ 中。

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