解析几何

                     

贡献者: 雪名残Remake.Ver

  • 本文处于草稿阶段。
\begin{aligned} 解析几何初步 \end{aligned}

   本章我将会在高中教材的基础上,探究在平面直角坐标系上,直线、圆、和圆锥曲线的一些性质,并解决部分中、高考问题

\begin{aligned} 1.一次函数与直线方程 \end{aligned}

例 1 

  • 在平面直角坐标系中画出 y=3x+1 的图像
  • 用方程表示平面直角坐标系中过点(1,1),(3,2)的直线

   初中课本曾用描点法刻画了一次函数的图像,在这里我将用另外的方法刻画一次函数图像(此时我们不知道一次函数图像是一条直线)

   解:(1)令 $y=0$ 得 $x=-\frac{1}{3}$,因此图像过点 A:($-\frac{1}{3}$,0) 设一点 P:($x_0$,$y_0$)是图像上异于($-\frac{1}{3}$,0)的点,所以 $y_0=3x_0+1\Rightarrow \frac{y_0}{x_0-\frac{1}{3}}=3$,当 $y_0>0$ 时,$tan\angle PAO=3$,当 $y_0<0$ 时,$tan\angle PAO=-3$ 由此可知,无论 $x_0$ 取任何实数值,P 都在一条固定的直线上,于是作过点($-\frac{1}{3}$,0)、(0,1)的直线即为 y=3x+1 的图像

   (2)设点 Q:($x_0$,$y_0$)在该直线上.点 M:(1,1)、N:(3,2).由向量三点共线公式:$\overrightarrow{OQ}=\lambda \overrightarrow{OM}+(1-\lambda)\overrightarrow{ON}$
$\left\{\begin{aligned} & x_0=\lambda+3(1-\lambda)\\ & y_0=\lambda+2(1-\lambda) \end{aligned}\right.$
$\therefore \left\{\begin{aligned} &x_0=3-2\lambda\\ &y_0=2-\lambda \end{aligned}\right.$
$\therefore y_0=\frac{1}{2}x_0+\frac{1}{2}$
由于 Q 可以是直线上任意一点,所以所有该直线上的点,都应满足方程:$y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}$
$\star$(图一、图二暂定)$\star$

   上面我用了两种方法实现了平面直角坐标系中直线和方程的转化,除此之外,我们还可以用 “变化率”(其实就是导数,这里只作简单论述)来解释,如(1)中 y=3x+1,每当 x 增加 $\Delta x$ 时,y 都会同时增加 $\Delta y=3\Delta x$,在我对于(1)的论证中则表现为 “$y_0>0$ 时 $tan\angle PAO=3$”,即倾斜角正切值(或斜率)为 3.

   下面介绍直线方程的不同形式

   上述四个式子是中学最常见的表示直线的式子,还有一些不太常见的,如法线式、参数式、行列式等,这里不作介绍.

   需要注意的是,这四个式子中,只有一般式可以代表平面内所有直线,一、二受到斜率限制,无法表示垂直于 x 轴的直线(那样的话 k=$\pm \infty$),而三受分母的限制,无法表示过原点 O 的直线和垂直或平行于 x 轴的直线.

   $\star$ 存档线----------------------

习题 1 几种直线方程的利用

   1.求过点(6,2)且斜率为 4 的直线方程

   2.求直线 $\frac{x}{7}+\frac{y}{6}=1$ 斜率

   3.两直线 $l_1:x+my+6=0,l_2:(m-2)x+3y+2m=0,$ 求当 m____时,$l_1$、$l_2$ 相交.

   $\star$ 存档线---------

   直线系方程 我们一般把具有同等性质的直线的集合(如过同一个点、斜率相同等)称为一个直线系,下介绍四种常见的直线系方程.

  1. 定点直线系方程:经过定点 $P_0(x_0,y_0)$ 的直线系方程为 $A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$
  2. 共点直线系方程:经过两直线 $l_1:A_1x+B_1y+C_1=0,l_2:A_2x+B_2y+C_2=0$ 的交点的直线系方程为 $m(A_1x+B_1y+C_1)+n(A_2x+B_2y+C_2)=0$
  3. 平行直线系方程:与直线 $Ax+Bx+C=0$ 平行的直线系方程是 $Ax+Bx+\lambda=0$
  4. 垂直直线系方程:与直线 $Ax+Bx+C=0$(A、B 至少有一个不等于 0)垂直的直线系方程为 $Bx-Ay+\lambda$($\lambda$ 是参变量)

   上述几个直线系方程的公式背下来当然最好,但不要机械记忆.

例 2 不同的直线系方程的推导

   (1)求到直线 $l:Ax+By+C=0$ 的角为 $-\frac{\pi}{4}$ 的直线系方程
(注:直线 $l_1$ 到直线 $l_2$ 的角表示 $l_1$ 开始逆时针旋转到 $l_2$ 的大于 0 小于 $\pi$ 的角)

   (2)求与直线 $l:Ax+Bx+C=0$ 关于直线 y=x 对称的直线系方程

   解:(1)该直线可看作直线 l 绕某点逆时针旋转 $\frac{\pi}{4}$,设该点($x_0,y_0$),有 $Ax_0+By_0+C=0$,设旋转后直线为 $m(x-x_0)=n(y-y_0)$ 斜率为 $\frac{m}{n}$.又因为 l 斜率为 $-\frac{A}{B}$


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