二次方程求根公式

                     

贡献者: ACertainUser

1. 求根公式

   解决二次方程最常规的方法是运用求根公式. 对于二次方程$$ax^2+bx+c=0 \qquad a\neq 0$$,定义判别式$$\Delta = b^2-4ac$$,那么方程的两个根分别为$$ \begin{aligned} x_1&=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\ x_2&=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} \end{aligned} $$

   可见,当 $$ \begin{aligned} \Delta & > 0 \Rightarrow \text{方程有两个不同的根}\\ \Delta &= 0 \Rightarrow \text{方程有两个相同的根}\\ \Delta & < 0 \Rightarrow \text{方程无实数根(但有两个共轭的复数根)}\\ \end{aligned} $$

几何含义

   假设 $f(x)=ax^2+bx+c$,那么 $ax^2+bx+c=0$ 即化为二次函数 $f(x)=0$ 的零点问题.

图
图 1:$f(x)$ 示意图.从左到右为 $\Delta > 0, \Delta = 0, \Delta < 0$

   $x=-\frac{b}{2a}$ 为二次函数 $f(x)$ 的对称轴.

2. 配方法

   对于一些特定的问题,可以将方程配方并求解,有时这比直接使用求根公式更为简便.

   例如,可以将方程配方为如下形式: $$(x-a)(x-b)=0\Rightarrow x_1=a, x_2=b$$

图
图 2:$f(x)=(x-a)(x-b)$ 示意图

   或者 $$(x-a)^2=b\Rightarrow x_1=\sqrt{b}+a, x_2=-\sqrt{b}+a$$


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