二次方程求根公式

                     

贡献者: ACertainUser

1. 求根公式

   解决二次方程最常规的方法是运用求根公式。 对于二次方程 $$ax^2+bx+c=0 \qquad (a\neq 0)~,$$ 定义判别式 $$\Delta = b^2-4ac~,$$ 那么方程的两个根分别为 $$ \begin{aligned} x_1&=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}~,\\ x_2&=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}~. \end{aligned} $$ 可见,当 $$ \begin{aligned} \Delta &> 0 \Rightarrow \text{方程有两个不同的根}\\ \Delta &= 0 \Rightarrow \text{方程有两个相同的根}\\ \Delta &< 0 \Rightarrow \text{方程无实数根(但有两个共轭的复数根)}\\ \end{aligned}~ $$

几何含义

   假设 $f(x)=ax^2+bx+c$,那么求解方程 $ax^2+bx+c=0$ 即化为寻找函数 $f(x)$ 的所有零点 $f(x)=0$。

图
图 1:$f(x)$ 示意图。从左到右为 $\Delta > 0, \Delta = 0, \Delta < 0$

   可见,$x=-\frac{b}{2a}$ 为函数 $f(x)$ 的对称轴,两个零点(如果存在)关于该轴对称。

2. 配方法

   对于一些特定的问题,可以将方程配方并求解,有时这比直接使用求根公式更为简便。

   例如,可以将方程配方为如下形式: $$(x-a)(x-b)=0\Rightarrow x_1=a, x_2=b~.$$

图
图 2:$f(x)=(x-a)(x-b)$ 示意图

   或者 $$(x-a)^2=b\Rightarrow x_1=\sqrt{b}+a, x_2=-\sqrt{b}+a~.$$


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元,我们一周就能脱离亏损, 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利