因式分解与一元二次方程（高中）

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预备知识　函数回顾

　　本篇将回顾初中阶段学习的代数运算，包括因式分解（factorization）和一元二次方程（quadratic equation）的内容。这些知识构成了高中数学的重要基础，是理解更复杂代数运算和解析几何的关键。高中学习中，因式分解帮助理解多项式的结构，简化复杂表达式，而一元二次方程则用于解决一系列涉及二次关系的函数、解析几何问题。

1. 因式分解

　　 单项式（monomial）是由常数系数与变量的非负整数次幂的乘积构成的数学表达式。一个单项式可能包含一个变量或多个变量，但它们的幂次必须是非负整数。例如， $3 x^{2} y$ 和 $7 z$ 是单项式，而包含其他运算（如 $\sin x$ 、 $\cos x$ 、 $2^{x}$ ）或非整数次幂（如 $x^{1 / 2} = \sqrt{x}$ 、 $x^{- 1} = \frac{1}{x}$ ）的表达式均不是单项式。多项式（polynomial）是由一个或多个单项式通过加法连接组成的表达式。不含变量的单项式称为常数项，如 $5$ 或 $- 3$ ，这类单项式在表达式中不会随变量的变化而变化。

　　 因式分解（factorization）是将一个多项式分解为多个多项式或单项式的乘积的操作，这些构成乘积的式子称为因式（factor）。因式分解是解决多项式方程的一个重要工具，因为多项式方程可以转化为 “多项式 = 0” 的形式。利用因式分解，方程可以进一步简化为多个因式的乘积等于零，而乘积为零的情况下，任一因式可以等于零，从而降低了方程求解的难度。

　　通常，分解所得的每个因式应为不可约的（irreducible），即不能进一步分解。高中阶段常见的不可约的因式包括：单项式、一次多项式（形如 $a x + b$ ）以及符合条件的二次多项式（形如 $a x^{2} + b x + c$ ）。其余的因式可以通过爱森斯坦判别法（Eisenstein's criterion）来判定：对多项式 $a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{0}$ ，若存在一个素数 $p$ 使得：

$a_{n - 1}, a_{n - 2}, \dots, a_{0}$ 能被 $p$ 整除；
$a_{n}$ 不能被 $p$ 整除；
$a_{0}$ 不能被 $p^{2}$ 整除。

　　则这个多项式在有理数范围内是不可约的。这个判别法本身只作为扩展视野，但它揭示了因式分解与质数计算的重要关系。这使得因式分解本质上和质因数分解分不开，是一个比较困难的问题。在高中阶段一般只会涉及到简单的分解，这是基本功需要非常熟练。因式分解的方法包括：

提取公因式，如： $4 x^{2} + 2 x \to 2 x (2 x + 1)$ ；
分组分解，有时需要添项或拆项，如： $x^{3} + x^{2} + x + 1 \to (x^{3} + x) + (x^{2} + 1) \to (x^{2} + 1) (x + 1)$
十字相乘法
恒等变换公式

　　 十字相乘法（cross method）是一种用于分解三项式的方法。以二次三项式 $a x^{2} + b x + c$ 为例，它的核心在于将 $a, c$ 分别分解成两个数的乘积，然后交叉相乘，使得交叉相乘的结果之和等于中间项的系数 $b$ 。

未完成：原理图

　　它背后的依据是：

\begin{matrix} (1) & (a x + b) (c x + d) = a c x^{2} + (a d + b c) x + b d . \end{matrix}

　　一般地，若 $a, b, c, d$ 分别代表一个单项式而非常数，那么有

\begin{matrix} (2) & a c + (a d + b c) + b d = (a + b) (c + d) . \end{matrix}

这时就可分解二次三项式以外的三项式，如：

3 x^{4} + 7 x^{2} y + 2 y^{2}

，首项分为

3 x^{2}, x^{2}

，末项分为

2 y, y

，从而有

3 x^{2} \cdot 2 y + x^{2} \cdot y = 7 x^{2} y

，因此可以分解为

(3 x^{2} + y) (x^{2} + 2 y)

。

2. 一元二次方程的根

　　一元二次方程指形如

\begin{matrix} (3) & a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0) . \end{matrix}

的方程。从函数的视角来看，如果设函数

y = a x^{2} + b x + c

，那么求解方程

a x^{2} + b x + c = 0

即化为寻找所有使

y = 0

成立的点。式 3 可以通过 “配平方” 得到如下形式：

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} a x^{2} + b x + c = 0 \\ ⟺ & x^{2} + 2 \frac{b}{2 a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = {(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a} \\ ⟺ & {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}} \end{aligned} . \end{matrix}

存在性判定

　　由于式 4 左侧及右侧分母是一个平方形式，因此 $x$ 的值只与右侧分子的符号相关，定义其为判别式：

\begin{matrix} (5) & Δ = b^{2} - 4 a c . \end{matrix}

　　则：

$Δ > 0$ 时，方程有实数解，为两个不同的实根。
$Δ = 0$ 时，方程有实数解，为两个相同的实根。¹
$Δ < 0$ 时，方程无实数解。

　　从函数的视角看式 4 的变化，其实就是相当于将函数水平平移到了以 $y$ 轴为对称轴的位置上。而方程左侧是一个开口向上，对称轴为 $y$ 轴的二次函数，右侧则是它与 $y$ 轴的交点。那么交点的正负自然意味着函数与 $x$ 轴交点的性质。

图 1：

f (x)

示意图。从左到右为

Δ > 0, Δ = 0, Δ < 0

求根公式

　　对于式 4 ，方程有解时，两个根分别为：

\begin{matrix} (6) & x_{1} = \frac{- b + \sqrt{Δ}}{2 a} x_{2} = \frac{- b - \sqrt{Δ}}{2 a} . \end{matrix}

或统一写作

\begin{matrix} (7) & x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} . \end{matrix}

这被称为二次方程的求根公式（quadratic formula）。

　　式 6 中，若 $Δ = 0$ ，则 $x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a}$ 与之前推理的结论相符。 $x = - \frac{b}{2 a}$ 也正是二次函数的对称轴，两个零点如果存在则一定关于该轴对称。

快速解法

　　求根公式尽管能适用于所有一元二次方程，且形式固定，但由于其计算过程繁琐，实际做题中可以根据具体情况简化操作。

　　对于可以快速因式分解的方程，可直接得到： $k (x - a) (x - b) = 0 \Rightarrow x_{1} = a, x_{2} = b .$

图 2：

f (x) = (x - a) (x - b)

示意图

　　对于 $a = 1$ ， $b = 2 n$ 为偶数的一元二次方程 $x^{2} + 2 n x + c = 0$ ，可以直接配方得到：

\begin{matrix} (8) & (x + n)^{2} = m (m = n^{2} - c) . \end{matrix}

自然两个根就是

\begin{matrix} (9) & x_{1} = \sqrt{m} - n x_{2} = - \sqrt{m} - n . \end{matrix}

这与求根公式的推导过程相同，但计算上利用特殊条件快一些。

3. 韦达定理

　　 韦达定理（Vieta's formulas）是法国数学家弗朗索瓦·韦达（François Viète）发现的一组描述代数方程的根和方程系数的关系的公式，因此也称根与系数关系。

定理 1　韦达定理（二次情况）

　　设方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 的两个根为 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，则它们满足： $\begin{aligned} x_{1} + x_{2} & = - \frac{b}{a}, \\ x_{1} x_{2} & = \frac{c}{a} . \end{aligned}$

　　下面给出证明：

　　对方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ ，设其有两个根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ，则有：

\begin{matrix} (10) & \begin{aligned} a x^{2} + b x + c & = 0 \\ = a (x - x_{1}) (x - x_{2}) \\ = a x^{2} - a (x_{1} + x_{2}) x + a x_{1} x_{2} \end{aligned} . \end{matrix}

由于式 10 为恒成立的代数式，所以两侧对应变量的系数相等，从而有：

\begin{matrix} (11) & {\begin{cases} - a (x_{1} + x_{2}) = b \\ a x_{1} x_{2} = c \end{cases} ⟹ {\begin{cases} x_{1} + x_{2} & = - \frac{b}{a} \\ x_{1} x_{2} & = \frac{c}{a} \end{cases} . \end{matrix}

　　证毕。

　　这是一种常用的证明方法，即恒成立的代数方程，两侧对应位置的系数相等。韦达定理使得面对方程时，即使不求解具体的解的形式，也可以描述两个解之间的关系，这在解析几何部分会有非常重要的应用。另外，对于任意 $n$ 次代数方程的情况，有：

定理 2　韦达定理

　　对于 $n$ 次代数方程 $a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 1} + \dots + a_{n} = 0 (a_{0} \neq 0)$ ，若存在 $n$ 个根 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ ，则有：

\begin{matrix} (12) & \begin{aligned} x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} = - \frac{a_{1}}{a_{0}} \\ (x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + \dots + x_{1} x_{n}) + (x_{2} x_{3} + \dots + x_{2} x_{n}) + \dots + x_{n - 1} x_{n} = \frac{a_{2}}{a_{0}} \\ ⋮ \\ x_{1} x_{2} \dots x_{n} = (- 1)^{n} \frac{a_{n}}{a_{0}} \end{aligned} . \end{matrix}

也可以统一记作²：

\begin{matrix} (13) & \sum_{1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} \leq n} (\prod_{j = 1}^{k} r_{i_{j}}) = (- 1)^{k} \frac{a_{n - k}}{a_{n}} . \end{matrix}

　　它的证明方式与之前完全相同，可以自己尝试做一下，在计数原理部分会有更透彻的讲解。

1. ^ 这里称两个相同实根而非一个实根，是根据代数基本定理。
2. ^ 此处使用的是求和符号和求积符号。如果不理解可以跳过。

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