旋度（简明微积分）

贡献者： addis

预备知识　圆周运动的速度，散度，线积分

　　我们在三维空间的矢量场 $F (r)$ 中取一个闭合回路 $L$ 并规定一个正方向，并定义该回路的环流量为矢量场在回路上的线积分

\begin{matrix} (1) & \oint_{L} F (r) \cdot d r . \end{matrix}

以下假设这个矢量场在某个区域内处处具有一阶偏导数。

图 1：面元，法向量为

S

，面积为

| S |

　　现在来定义该矢量场的旋度（curl）。旋度是一个矢量，记为 $\nabla \times F$ 。如图 1 ，在空间某点 $(x, y, z)$ 处选取一个小面元 $S$ （模长为面元的面积，方向为面元的一个法向量），令面元边界构成的回路为 $L$ ，正方向由右手定则判断。要定义旋度 $\nabla \times F$ 在 $x$ 方向的分量，就取 $S$ 与 $x$ 轴单位矢量 $\hat{x}$ 同向，再计算环流量除以面积的极限，即

\begin{matrix} (2) & \hat{x} \cdot (\nabla \times F) = lim_{S \to 0} \frac{1}{S} \oint_{L} F (r) \cdot d r . \end{matrix}

同理，要计算旋度的

y, z

分量就把

S

分别指向单位矢量

\hat{y}, \hat{z}

的方向，再将上式的

\hat{x}

分别替换为

\hat{y}, \hat{z}

。这种定义方法叫做积分—比—极限。

　　可以证明，旋度处处存在且与回路的形状选取无关¹。所以选取任意方向的面元 $S$ ，都有

\begin{matrix} (3) & (\nabla \times F) \cdot \hat{S} = lim_{S \to 0} \frac{1}{S} \oint_{L} F (r) \cdot d r . \end{matrix}

1. 直角坐标系中的旋度

　　在直角坐标系中给出矢量场

\begin{matrix} (4) & F (x, y, z) = F_{x} (x, y, z) \hat{x} + F_{y} (x, y, z) \hat{y} + F_{z} (x, y, z) \hat{z} . \end{matrix}

在点

(x, y, z)

附近，我们可以对场使用微分近似（式 6 ）

\begin{matrix} (5) & F_{i} (x + x^{'}, y + y^{'}, z + z^{'}) = F_{i} (x, y, z) + \frac{\partial F_{i}}{\partial x} x^{'} + \frac{\partial F_{i}}{\partial y} y^{'} + \frac{\partial F_{i}}{\partial z} z^{'} . \end{matrix}

图 2：直角坐标系中旋度的

z

分量

　　要求 $z$ 方向的旋度，令闭合回路为图 2 所示的正方形，延 $x$ 方向的两条边的线积分仅由 $F_{x}$ 贡献，延 $y$ 方向的两条边的线积分仅由 $F_{y}$ 贡献，所以整个环路的线积分为

\begin{matrix} (6) & \begin{aligned} \oint_{L} F \cdot d r & = \int_{0}^{h} (F_{x} + \frac{\partial F_{x}}{\partial x} x^{'}) d x^{'} - \int_{0}^{h} (F_{x} + \frac{\partial F_{x}}{\partial x} x^{'} + \frac{\partial F_{x}}{\partial y} h) d x^{'} \\ + \int_{0}^{h} (F_{y} + \frac{\partial F_{y}}{\partial x} h + \frac{\partial F_{y}}{\partial y} y^{'}) d y^{'} - \int_{0}^{h} (F_{y} + \frac{\partial F_{y}}{\partial y} y^{'}) d y^{'} \\ = h^{2} (\frac{\partial F_{y}}{\partial x} - \frac{\partial F_{x}}{\partial y}), \end{aligned} \end{matrix}

所以旋度的

z

分量为

\begin{matrix} (7) & G_{z} = lim_{h^{2} \to 0} \frac{1}{h^{2}} \oint_{L} F \cdot d r = \frac{\partial F_{y}}{\partial x} - \frac{\partial F_{x}}{\partial y} . \end{matrix}

类似地，我们可得

x, y

分量

\begin{matrix} (8) & G_{x} = \frac{\partial F_{z}}{\partial y} - \frac{\partial F_{y}}{\partial z} G_{y} = \frac{\partial F_{x}}{\partial z} - \frac{\partial F_{z}}{\partial x}, \end{matrix}

所以类似叉乘的行列式表示（式 13 ），我们可以将旋度记为

\begin{matrix} (9) & \nabla \times F = | \begin{matrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\ F_{x} & F_{y} & F_{z} \end{matrix} | . \end{matrix}

现在我们知道为什么旋度要记为

\nabla \times F

了，类比散度，旋度可以从形式上理解为矢量算符

\nabla

与矢量场

F

的叉乘。

　　与梯度和散度不同的是，以上定义的旋度运算只能对三维空间的矢量场作用。

例 1　旋转体速度场的旋度

　　一个物体绕 $z$ 轴旋转，角速度矢量为 $ω = ω \hat{z}$ ，物体上任意一点的位矢为 $r$ ，则速度关于位置的函数 $v (r)$ 构成一个矢量场（式 5 ）

\begin{matrix} (10) & v (r) = ω \times r = ω \hat{z} \times (x \hat{x} + y \hat{y}) = - ω y \hat{x} + ω x \hat{y} . \end{matrix}

使用式 9 计算

v (r)

的旋度，得

\begin{matrix} (11) & \nabla \times v = | \begin{matrix} \hat{x} & \hat{y} & \hat{z} \\ \partial / \partial x & \partial / \partial y & \partial / \partial z \\ - ω y & ω x & 0 \end{matrix} | = 2 ω \hat{z}, \end{matrix}

　　可见该场的旋度是一个 $\hat{ω}$ 方向的常矢量。从这个例子也可以看出，如果一个（三维）矢量场在某个方向上没有分量（即平面场），则其旋度的方向（面元的法向量）必然平行于该方向（选取坐标系时将 $\hat{z}$ 设为该方向即可）。

　　从这里还可以看出，旋度有一这样的物理意义：刚体旋转时，角速度的 $2$ 倍。

例 2　无旋度的旋转场

　　现在我们来看另一个旋转场 $F (r) = \hat{z} \times \hat{r} / r$ ，写成分量的形式就是

\begin{matrix} (12) & F (r) = \hat{z} \times (\frac{x}{x^{2} + y^{2}} \hat{x} + \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \hat{y}) = - \frac{y}{x^{2} + y^{2}} \hat{x} + \frac{x}{x^{2} + y^{2}} \hat{y} . \end{matrix}

由于这个场也是一个

x y

平面场，旋度

\hat{z}

共线，可以直接使用式 7 计算

\begin{matrix} (13) & \nabla \times F = (\frac{\partial F_{y}}{\partial x} - \frac{\partial F_{x}}{\partial y}) \hat{z} = (\frac{1}{r^{2}} - \frac{2 x^{2}}{r^{4}} + \frac{1}{r^{2}} - \frac{2 y^{2}}{r^{4}}) \hat{z} = 0 . \end{matrix}

要注意的是，在原点处由于矢量场不连续（而是出现了无限大的奇点），以上计算在原点处并不成立。

1. ^ 这里暂不作证明

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旋度（简明微积分）

1. 直角坐标系中的旋度

例 1 旋转体速度场的旋度

例 2 无旋度的旋转场

例 1　旋转体速度场的旋度

例 2　无旋度的旋转场