贡献者： addis
我们在三维空间的矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 中取一个闭合回路 $\mathcal L$ 并规定一个正方向，并定义该回路的环流量为矢量场在回路上的线积分
\begin{equation}
\oint_{\mathcal L} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } ~.
\end{equation}
以下假设这个矢量场在某个区域内处处具有一阶偏导数。
图 1：面元，法向量为 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $，面积为 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{S}} \right\rvert $
现在来定义该矢量场的旋度（curl）。旋度是一个矢量，记为 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} $。如图 1 ，在空间某点 $(x,y,z)$ 处选取一个小面元 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $（模长为面元的面积，方向为面元的一个法向量），令面元边界构成的回路为 $\mathcal L$，正方向由右手定则 判断。要定义旋度 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 在 $x$ 方向的分量，就取 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $ 与 $x$ 轴单位矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 同向，再计算环流量除以面积的极限，即
\begin{equation}
\hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} ) = \lim_{S\to 0} \frac 1S \oint_{\mathcal L} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } ~.
\end{equation}
同理，要计算旋度的 $y, z$ 分量就把 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $ 分别指向单位矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 的方向，再将上式的 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 分别替换为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $。这种定义方法叫做
积分—比—极限。
可以证明，旋度处处存在且与回路的形状选取无关1。所以选取任意方向的面元 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $，都有
\begin{equation}
( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} ) \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{S}}} = \lim_{S\to 0} \frac 1S \oint_{\mathcal L} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } ~.
\end{equation}
1. 直角坐标系中的旋度
在直角坐标系中给出矢量场
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} (x,y,z) = F_x(x,y,z) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + F_y(x,y,z) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + F_z(x,y,z) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~.
\end{equation}
在点 $(x,y,z)$ 附近，我们可以对场使用微分近似（
式 6 ）
\begin{equation}
F_i(x+x', y+y', z+z') = F_i(x,y,z) + \frac{\partial F_i}{\partial x} x' + \frac{\partial F_i}{\partial y} y' + \frac{\partial F_i}{\partial z} z'~.
\end{equation}
图 2：直角坐标系中旋度的 $z$ 分量
要求 $z$ 方向的旋度，令闭合回路为图 2 所示的正方形，延 $x$ 方向的两条边的线积分仅由 $F_x$ 贡献，延 $y$ 方向的两条边的线积分仅由 $F_y$ 贡献，所以整个环路的线积分为
\begin{equation} \begin{aligned}
\oint_{\mathcal L} \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }
&= \int_0^h \left(F_x + \frac{\partial F_x}{\partial x} x' \right) \,\mathrm{d}{x'} - \int_0^h \left(F_x + \frac{\partial F_x}{\partial x} x' + \frac{\partial F_x}{\partial y} h \right) \,\mathrm{d}{x'} \\
&\quad +\int_0^h \left(F_y + \frac{\partial F_y}{\partial x} h + \frac{\partial F_y}{\partial y} y' \right) \,\mathrm{d}{y'} - \int_0^h \left(F_y + \frac{\partial F_y}{\partial y} y' \right) \,\mathrm{d}{y'} \\
&= h^2 \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) ~,
\end{aligned} \end{equation}
所以旋度的 $z$ 分量为
\begin{equation}
G_z = \lim_{h^2\to 0} \frac{1}{h^2} \oint_{\mathcal L} \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} ~.
\end{equation}
类似地，我们可得 $x, y$ 分量
\begin{equation}
G_x = \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \qquad G_y = \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} ~,
\end{equation}
所以类似叉乘的行列式表示（
式 13 ），我们可以将旋度记为
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \begin{vmatrix} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \\ F_x&F_y&F_z\end{vmatrix} ~.
\end{equation}
现在我们知道为什么旋度要记为 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 了，类比散度，旋度可以从形式上理解为矢量算符 $ \boldsymbol\nabla $ 与矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 的叉乘。
与梯度和散度不同的是，以上定义的旋度运算只能对三维空间的矢量场作用。
例 1 旋转体速度场的旋度
一个物体绕 $z$ 轴旋转，角速度矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $，物体上任意一点的位矢为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $，则速度关于位置的函数 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 构成一个矢量场（式 5 ）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} = \omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \boldsymbol\times (x \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + y \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} )
= -\omega y \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \omega x \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ~.
\end{equation}
使用
式 9 计算 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 的旋度，得
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \begin{vmatrix} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \\-\omega y&\omega x& 0\end{vmatrix} = 2\omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} ~,
\end{equation}
可见该场的旋度是一个 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\omega}}} $ 方向的常矢量。从这个例子也可以看出，如果一个（三维）矢量场在某个方向上没有分量（即平面场），则其旋度的方向（面元的法向量）必然平行于该方向（选取坐标系时将 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 设为该方向即可）。
从这里还可以看出，旋度有一这样的物理意义：刚体旋转时，角速度的 $2$ 倍。
例 2 无旋度的旋转场
现在我们来看另一个旋转场 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} /r$，写成分量的形式就是
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \boldsymbol\times \left(\frac{x}{x^2 + y^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \frac{y}{x^2 + y^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \right) = -\frac{y}{x^2 + y^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \frac{x}{x^2 + y^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ~.
\end{equation}
由于这个场也是一个 $xy$ 平面场，旋度 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 共线，可以直接使用
式 7 计算
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = \left(\frac{1}{r^2} - \frac{2x^2}{r^4} + \frac{1}{r^2} - \frac{2y^2}{r^4} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} ~.
\end{equation}
要注意的是，在原点处由于矢量场不连续（而是出现了无限大的奇点），以上计算在原点处并不成立。
1. ^ 这里暂不作证明
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。
