旋度

             

预备知识 圆周运动的速度,散度,线积分

   我们在三维空间的矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 中取一个闭合回路 $\mathcal L$ 并规定一个正方向,并定义该回路的环流量为矢量场在回路上的线积分

\begin{equation} \oint_{\mathcal L} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \end{equation}
以下假设这个矢量场在某个区域内具有处处具有一阶偏导数.

图
图 1:面元,法向量为 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $,面积为 $ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{S}} \right\rvert $

   现在来定义该矢量场的旋度(curl).旋度是一个矢量,记为 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} $.如图 1 ,在空间某点 $(x,y,z)$ 处选取一个小面元 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $(模长为面元的面积,方向为面元的一个法向量),令面元边界构成的回路为 $\mathcal L$,正方向由右手定则 判断.要定义旋度 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 在 $x$ 方向的分量,就取 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $ 与 $x$ 轴单位矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 同向,再计算换流量除以面积的极限,即

\begin{equation} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} ) = \lim_{S\to 0} \frac 1S \oint_{\mathcal L} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \end{equation}
同理,要计算旋度的 $y, z$ 分量就把 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $ 分别指向单位矢量 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 的方向,再讲上式的 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} $ 分别替换为 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $.这种定义方法叫做 “积分—比—极限”.

   可以证明,旋度处处存在且与回路的形状选取无关1.所以选取任意方向的面元 $ \boldsymbol{\mathbf{S}} $,都有

\begin{equation} ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} ) \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{S}}} = \lim_{S\to 0} \frac 1S \oint_{\mathcal L} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } \end{equation}

1. 直角坐标系中的旋度

   在直角坐标系中给出矢量场

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} (x,y,z) = F_x(x,y,z) \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + F_y(x,y,z) \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} + F_z(x,y,z) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
在点 $(x,y,z)$ 附近,我们可以对场使用微分近似(式 6
\begin{equation} F_i(x+x', y+y', z+z') = F_i(x,y,z) + \frac{\partial F_i}{\partial x} x' + \frac{\partial F_i}{\partial y} y' + \frac{\partial F_i}{\partial z} z' \end{equation}

图
图 2:直角坐标系中旋度的 $z$ 分量

   要求 $z$ 方向的旋度,令闭合回路为图 2 所示的正方形,延 $x$ 方向的两条边的线积分仅由 $F_x$ 贡献,延 $y$ 方向的两条边的线积分仅由 $F_y$ 贡献,所以整个环路的线积分为

\begin{equation} \begin{aligned} \oint_{\mathcal L} \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } &= \int_0^h \left(F_x + \frac{\partial F_x}{\partial x} x' \right) \,\mathrm{d}{x'} - \int_0^h \left(F_x + \frac{\partial F_x}{\partial x} x' + \frac{\partial F_x}{\partial y} h \right) \,\mathrm{d}{x'} \\ &\quad +\int_0^h \left(F_y + \frac{\partial F_y}{\partial x} h + \frac{\partial F_y}{\partial y} y' \right) \,\mathrm{d}{y'} - \int_0^h \left(F_y + \frac{\partial F_y}{\partial y} y' \right) \,\mathrm{d}{y'} \\ &= h^2 \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \end{aligned} \end{equation}
所以旋度的 $z$ 分量为
\begin{equation} G_z = \lim_{h^2\to 0} \frac{1}{h^2} \oint_{\mathcal L} \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \end{equation}
类似地,我们可得 $x, y$ 分量
\begin{equation} G_x = \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \qquad G_y = \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \end{equation}
所以类似叉乘的行列式表示(式 15 ),我们可以将旋度记为
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \begin{vmatrix} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \\ F_x&F_y&F_z\end{vmatrix} \end{equation}
现在我们知道为什么旋度要记为 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 了,类比散度,旋度可以从形式上理解为矢量算符 $ \boldsymbol\nabla $ 与矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 的叉乘.

   与梯度和散度不同的是,以上定义的旋度运算只能对三维空间的矢量场作用.

例 1 旋转体速度场的旋度

   一个物体绕 $z$ 轴旋转,角速度矢量为 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $,物体上任意一点的位矢为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $,则速度关于位置的函数 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 构成一个矢量场(式 5

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{v}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} = \omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \boldsymbol\times (x \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + y \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} ) = -\omega y \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \omega x \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \end{equation}
使用式 9 计算 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 的散度,得
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{v}} = \begin{vmatrix} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} & \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \\ \partial/\partial x & \partial/\partial y & \partial/\partial z \\-\omega y&\omega x& 0\end{vmatrix} = 2\omega \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
可见该场的旋度是一个 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{\omega}}} $ 方向的常矢量.从这个例子也可以看出,如果一个(三维)矢量场在某个方向没有分量(即平面场),则其旋度必然延该方向(即平面的法向量).

例 2 无旋度的旋转场

   现在我们来看另一个旋转场 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} /r$,写成分量的形式就是

\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \boldsymbol\times \left(\frac{x}{x^2 + y^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \frac{y}{x^2 + y^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \right) = -\frac{y}{x^2 + y^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} + \frac{x}{x^2 + y^2} \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} \end{equation}
由于这个场也是一个 $xy$ 平面场,旋度 $ \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} $ 共线,可以直接使用式 7 计算
\begin{equation} \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \left( \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = \left(\frac{1}{r^2} - \frac{2x^2}{r^4} + \frac{1}{r^2} - \frac{2y^2}{r^4} \right) \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
要注意的是,在原点处由于矢量场不连续(而是出现了无限大的奇点),以上计算在原点处并不成立.


1. ^ 本书不作证明

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