跃迁概率（一阶微扰）

                     

贡献者： addis

　　 本文使用原子单位制。一阶微扰理论就是单光子电离，即两能级之间的能量等于单个光子的能量。

1. 长度规范下的微扰跃迁理论

　　 含时微扰理论（式 11 ）为

$|i⟩,|j⟩$ 可以是束缚态或者散射态，需要正交归一化。长度规范中，使用偶极子近似后电磁波哈密顿为（式 8 ） $\mathcal{E}$ 只是 $t$ 的函数，可以分离 令电场的傅里叶变换（式 1 ）为 则式 3 代入式 1 得 令 $\tilde{\mathcal{E}}(\omega )=\tilde{\mathcal{E}}(\omega )\hat{\mathbf{e}}$，跃迁概率为 使用能量面密度的频率分布（式 4 ） 得 对于束缚态 $|i⟩$，$P_{ij}$ 是从 $|j⟩$ 跃迁到 $|i⟩$ 的概率；而对于连续态的 $|i⟩$（如原子电离），若 $|i⟩$ 对应出射方向的渐进动量 $\mathbf{k}$，那么 $P_{ij}$ 是 $\mathbf{k}$ 空间的三维概率密度分布函数。

　　 另外注意只有电磁波包中频率为 ${\omega }_{ij}$ 的平面波分量对跃迁有贡献，所以我们也可以直接将能量差 ${\omega }_{ij}$ 替换为 $\omega$。

　　 对氢原子的具体计算见式 3 。

2. 速度规范下的微扰跃迁理论

　　¹速度规范中，

$\mathbf{A}$ 只是 $t$ 的函数，可以分离 令矢势的傅里叶变换为 代入式 1 得 令 $\tilde{\mathbf{A}}(\omega )=\tilde{A}(\omega )\hat{\mathbf{e}}$，则跃迁概率为 结合波包的频谱公式（式 8 变为原子单位） 对于束缚态 $|i⟩$，$P_{ij}$ 是从 $|j⟩$ 跃迁到 $|i⟩$ 的概率；而对于连续态的 $|i⟩$（如原子电离），若 $|i⟩$ 对应出射方向的渐进动量 $\mathbf{k}$，那么 $P_{ij}$ 是 $\mathbf{k}$ 空间的三维概率密度分布函数。

　　 另外注意只有电磁波包中频率为 ${\omega }_{ij}$ 的平面波分量对跃迁有贡献，所以我们也可以直接将能量差 ${\omega }_{ij}$ 替换为 $\omega$。

两种规范比较

　　 注意 $|i⟩,|j⟩$ 是没有电磁场时的能量本征态，波函数与规范无关。把式 2 和式 7 带入式 12 可以证明两种规范等效（式 5 等于式 12 ）。但是如果例如 $|i⟩$ 是平面波，则不同规范结果不同。

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1. ^ 参考 [1] 含时微扰相关章节。

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[1] ^ Eugen Merzbacher. Quantum Mechanics 3ed