电磁波包的能谱

贡献者： addis

预备知识 1　傅里叶变换（指数），平面电磁波的能量叠加

　　对于真空中的平面波电磁波，沿 $x$ 轴传播，波速恒定为 $c$ ，如果知道某点 $x_{0}$ 处的电场—时间关系 $g (t)$ ，如何求波函数 $f (x - c t)$ 呢？代入 $x = x_{0}$ 可知 $g (t) = f (x_{0} - c t)$ ，所以

\begin{matrix} (1) & f (x) = g (\frac{x_{0} - x}{c}) . \end{matrix}

　　当这个波包完整穿过一个 $y$ - $z$ 平面后，穿过平面的能量面密度 $σ_{E}$ 等于能量体密度（式 5 ）在传播方向的积分（积分上下限为 $\pm \infty$ ）

\begin{matrix} (2) & σ_{E} = ϵ_{0} \int f (x)^{2} d x = ϵ_{0} \int g^{2} (\frac{x_{0} - x}{c}) d x = c ϵ_{0} \int g^{2} (u) d u . \end{matrix}

另一种方法是把坡印廷矢量对时间积分，同样能得到该式。

1. 能量的频率分布

　　根据傅里叶变换的归一化不变性（式 16 ），若令 $g$ 的傅里叶变换为 $\tilde{g}$ 则¹

\begin{matrix} (3) & σ_{E} = c ϵ_{0} \int_{- \infty}^{+ \infty} {| \tilde{g} (ω) |}^{2} d ω = 2 c ϵ_{0} \int_{0}^{+ \infty} {| \tilde{g} (ω) |}^{2} d ω . \end{matrix}

这相当于把波包看作是许多不同频率简谐波的叠加，总能量面密度是每个简谐波的能量面密度叠加。所以能量面密度的频率分布，即单位频率的能量面密度为²

\begin{matrix} (4) & s (ω) = 2 c ϵ_{0} {| \tilde{g} (ω) |}^{2} . \end{matrix}

考虑到光子能量为

E = ω ℏ

，光子能量分布为

\begin{matrix} (5) & s (E) = \frac{2 c ϵ_{0}}{ℏ} {| \tilde{g} (\frac{E}{ℏ}) |}^{2} . \end{matrix}

用矢势表示

预备知识 2　库仑规范（电动力学）

　　在库仑规范下，矢势为 $A (t)$ ，对于波包有（式 7 ）

\begin{matrix} (6) & g (t) = - \frac{d A (t)}{d t} . \end{matrix}

由傅里叶变换的求导公式（式 18 ）得

\begin{matrix} (7) & \tilde{g} (ω) = - i ω \tilde{A} (ω) . \end{matrix}

代入式 4 得

\begin{matrix} (8) & s (ω) = 2 c ϵ_{0} ω^{2} {| \tilde{A} (ω) |}^{2}, \end{matrix}

若使用高斯单位制，有

\begin{matrix} (9) & s (ω) = \frac{ω^{2}}{2 π c} {| \tilde{A} (ω) |}^{2} (高斯单位制) . \end{matrix}

1. ^ 第二个等号中，由式 4 得 ${| \tilde{g} (- ω) |}^{2} = {| \tilde{g} (ω) |}^{2}$ ，所以负半轴的积分与正半轴相等。
2. ^ 原子单位制： $s (ω) = c {| \tilde{g} (ω) |}^{2} / (2 π)$

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