电磁波包的能谱

             

预备知识 傅里叶变换(指数),平面电磁波的能量叠加

   对于真空中的平面波电磁波,波速恒定为 $c$,如果知道某点 $x_0$ 处的电场—时间关系 $g(t)$,如何求波函数 $f(x - ct)$ 呢?代入 $x = x_0$ 可知 $g(t) = f(x_0 - ct)$,所以

\begin{equation} f(x) = g \left(\frac{x_0 - x}{c} \right) \end{equation}

   当这个波包完整经过一个平面后,穿过平面的能量面密度等于能量体密度(式 4 )在传播方向的积分(积分上下限为 $\pm\infty$)

\begin{equation} \sigma_E = \epsilon_0 \int f(x)^2 \,\mathrm{d}{x} = \epsilon_0 \int g^2 \left(\frac{x_0 - x}{c} \right) \,\mathrm{d}{x} = c\epsilon_0 \int g^2(u) \,\mathrm{d}{u} \end{equation}
另一种方法是把坡印廷矢量对时间积分,同样能得到该式.

1. 能量的频率分布

   根据傅里叶变换的归一化不变性(式 14 ),所以若令 $g$ 的傅里叶变换为 $\tilde g$ 则1

\begin{equation} \sigma_E = c\epsilon_0 \int_{-\infty}^{+\infty} \left\lvert \tilde g(\omega) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{\omega} = 2c\epsilon_0 \int_{0}^{+\infty} \left\lvert \tilde g(\omega) \right\rvert ^2 \,\mathrm{d}{\omega} \end{equation}
这相当于把波包看作是许多不同频率简谐波的叠加,总能量面密度是每个简谐波的能量面密度叠加.所以能量面密度的频率分布为2
\begin{equation} s(\omega) = 2c\epsilon_0 \left\lvert \tilde g(\omega) \right\rvert ^2 \end{equation}
考虑到光子能量为 $E = \omega\hbar$,光子能量分布为
\begin{equation} s(E) = \frac{2c\epsilon_0}{\hbar} \left\lvert \tilde g(\omega) \right\rvert ^2 \left(\frac{E}{\hbar} \right) \end{equation}

用矢势表示

   在库仑规范下,矢势为 $A(t)$ 对于波包有

\begin{equation} g(t) = - \frac{\mathrm{d}{A(t)}}{\mathrm{d}{t}} \end{equation}
由傅里叶变换的求导公式(式 16 )得
\begin{equation} \tilde g(\omega) = - \mathrm{i} \omega \tilde A(\omega) \end{equation}
代入式 4
\begin{equation} s(\omega) = 2c\epsilon_0 \omega^2 \left\lvert \tilde A(\omega) \right\rvert ^2 \end{equation}
若使用高斯单位制,$s(\omega) = \omega^2 \left\lvert \tilde A \right\rvert ^2/(2\pi c)$.


1. ^ 第二个等号中,由式 4 得 $ \left\lvert \tilde g(-\omega) \right\rvert ^2 = \left\lvert \tilde g(\omega) \right\rvert ^2$,所以负半轴的积分与正半轴相等.
2. ^ 原子单位:$s(\omega) = c \left\lvert \tilde g(\omega) \right\rvert ^2/(2\pi)$

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