含时微扰理论

                     

贡献者: addis

预备知识 含时微扰理论(束缚态),一维散射态的正交归一化

   在 “含时微扰理论(束缚态)” 中,我们只讨论了如何用含时微扰理论计算离散的束缚态之间的跃迁.但如果我们要讨论光电离也就是熟知的光电效应,那么我们除了离散本征值的束缚态还需要加入连续本征值的散射态,二者共同作为展开波函数的完备正交归一基底.

1. 薛定谔方程的矩阵形式

   本文使用原子单位制.一般三维波函数表示为束缚态的求和以及连续态的积分

\begin{equation} \left\lvert \Psi(t) \right\rangle = \sum_n c_n(t) \left\lvert n \right\rangle \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega_n t} + \int c_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }(t) \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} k^2 t/2} \,\mathrm{d}^{3}{k} \end{equation}
其中 $ \left\lvert n \right\rangle $,$ \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle $ 一起构成一组正交归一基
\begin{equation} \left\langle m \middle| n \right\rangle = \delta_{m,n}~, \qquad \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \middle| \boldsymbol{\mathbf{k}} \right\rangle = \delta( \boldsymbol{\mathbf{k}} ' - \boldsymbol{\mathbf{k}} )~, \qquad \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| n \right\rangle = 0 \end{equation}
为了书写方便我们把式 1 的求和与积分一起记为
\begin{equation} \left\lvert \Psi(t) \right\rangle = \int\kern-1.4em\sum _\alpha c_\alpha(t) \left\lvert \alpha(t) \right\rangle = \int\kern-1.4em\sum _\alpha c_\alpha(t) \left\lvert \alpha \right\rangle \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \omega_\alpha t} \end{equation}
$\alpha$ 既包括离散指标 $n$ 又包括连续指标 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $.求和积分号 $ \int\kern-1.4em\sum $ 对离散指标求和,对连续指标重积分.

   无误差的薛定谔方程变为(类比式 8

\begin{equation} \int\kern-1.4em\sum _\alpha c_\alpha(t) H'(t) \left\lvert \alpha(t) \right\rangle = \mathrm{i} \int\kern-1.4em\sum _\alpha \dot c_\alpha(t) \left\lvert \alpha(t) \right\rangle \end{equation}
要得到矩阵形式,投影到 $ \left\langle \alpha' \right\rvert $ 后变为(类比式 11
\begin{equation} \int\kern-1.4em\sum _\alpha \left\langle \alpha' \middle| H'(t) \middle| \alpha \right\rangle \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega_{\alpha'\alpha} t} c_\alpha(t) = \mathrm{i} \dot c_{\alpha'} (t) \end{equation}
注意这不是一个常规意义的矩阵,因为 $\alpha$ 既有连续也有离散部分.

   $ \boldsymbol{\mathbf{H}} '$ “矩阵” 可以想象成是这个样子的

图
图 1:$ \boldsymbol{\mathbf{H}} '$ 矩阵的结构

   图中方格子代表 $c_{mn} = \left\langle m \right\rvert H' \left\lvert n \right\rangle $,横条代表 $H_{m, \boldsymbol{\mathbf{k}} '} = \left\langle m \middle| H' \middle| \boldsymbol{\mathbf{k}} ' \right\rangle $, 纵条代表 $H_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} , n} = \left\langle \boldsymbol{\mathbf{k}} \middle| H' \middle| n \right\rangle $.

2. 含时微扰

   薛定谔方程各阶分离后变为(类比式 18

\begin{equation} \dot c_{\alpha'}^{(n)}(t) = - \mathrm{i} \int\kern-1.4em\sum _\alpha \left\langle \alpha' \middle| H'(t) \middle| \alpha \right\rangle \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega_{\alpha'\alpha} t} c_{\alpha}^{(n-1)}(t) \end{equation}
两边对时间积分
\begin{equation} c_{\alpha'}^{(n)}(t) = - \mathrm{i} \int^t \int\kern-1.4em\sum _\alpha \left\langle \alpha' \middle| H'(t) \middle| \alpha \right\rangle \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \omega_{\alpha'\alpha} t} c_{\alpha}^{(n-1)}(t) \,\mathrm{d}{t} \end{equation}
具体写出来,就是
\begin{equation} c_i^{(n + 1)}(t) = \frac{1}{ \mathrm{i} \hbar} \int \,\mathrm{d}{t'} \left(\sum_{j \ne i} H'_{i,j} c_j^{(n)} + \int H_{i, \boldsymbol{\mathbf{k}} '} \phi ^{(n)}( \boldsymbol{\mathbf{k}} ') \,\mathrm{d}^{3}{k'} \right) \end{equation}
\begin{equation} c^{(n+1)}_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} }(t) = \frac{1}{ \mathrm{i} \hbar} \int \,\mathrm{d}{t'} \left(\sum_j H'_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} ,j} c_j^{(n)} + \int H_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} , \boldsymbol{\mathbf{k}} '} \phi ^{(n)}( \boldsymbol{\mathbf{k}} ') \,\mathrm{d}^{3}{k'} \right) \end{equation}

3. 简单的一阶微扰

   假设初态为 $ \left\lvert \alpha \right\rangle $,即 $c_\alpha = 1$,其他系数都为零.令 $H'(t) = W f(t)$,$f(t)$ 的傅里叶变换(式 1 )记为 $\tilde f(\omega)$,那么简单的一阶微扰为

\begin{equation} c_{\alpha'}^{(1)}(+\infty) = - \mathrm{i} \sqrt{2\pi} \left\langle \alpha' \middle| W \middle| \alpha \right\rangle \tilde f(-\omega_{\alpha'\alpha}) \end{equation}
具体到式 1 ,当 $\alpha'$ 取离散值 $n'$ 时,$|c_{n'}^{(1)}(+\infty)|^2$ 就是跃迁到该离散态的概率,取连续值 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 时,$|c_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} '}^{(1)}(+\infty)|^2$ 就是三维 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} '$ 空间的概率密度,概率微元是 $|c_{ \boldsymbol{\mathbf{k}} '}^{(1)}(+\infty)|^2 \,\mathrm{d}^{3}{k} $.

  

未完成:举例:引用氢原子的单电离,不要直接写在这里


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