含时微扰理论

                     

贡献者： addis

　　

　　 在 “含时微扰理论（束缚态）” 中，我们只讨论了如何用含时微扰理论计算离散的束缚态之间的跃迁。但如果我们要讨论光电离也就是熟知的光电效应，那么我们除了离散本征值的束缚态还需要加入连续本征值的散射态，二者共同作为展开波函数的完备正交归一基底。

1. 薛定谔方程的矩阵形式

　　 本文使用原子单位制。一般三维波函数表示为束缚态的求和以及连续态的积分

其中 $|n⟩$，$|\mathbf{k}⟩$ 一起构成一组正交归一基 为了书写方便我们把式 1 的求和与积分一起记为 $\alpha$ 既包括离散指标 $n$ 又包括连续指标 $\mathbf{k}$。求和积分号 ${\displaystyle \int \sum }$ 对离散指标求和，对连续指标重积分。

　　 无误差的薛定谔方程变为（类比式 8 ）

要得到矩阵形式，投影到 $⟨{\alpha }^{\prime }|$ 后变为（类比式 11 ） 其中 注意这不是一个常规意义的矩阵，因为 $\alpha$ 既有连续也有离散部分。

　　 ${\mathbf{H}}^{\prime }$ “矩阵” 可以想象成是这个样子的

　　 图中方格子代表 $c_{mn}=⟨m|H^{\prime }|n⟩$，横条代表 $H_{m,{\mathbf{k}}^{\prime }}=⟨m\left|H^{\prime }\right|{\mathbf{k}}^{\prime }⟩$， 纵条代表 $H_{\mathbf{k},n}=⟨\mathbf{k}\left|H^{\prime }\right|n⟩$，右下角的连续方块代表 $⟨\mathbf{k}\left|H^{\prime }\right|{\mathbf{k}}^{\prime }⟩$。

2. 含时微扰

　　 薛定谔方程各阶分离后变为（类比式 18 ）

两边对时间积分 具体写出来，就是

3. 简单的一阶微扰

　　 假设初态为 $|\alpha ⟩$，即 $c_{\alpha }=1$，其他系数都为零。令 $H^{\prime }(t)=Wf(t)$，$f(t)$ 的傅里叶变换（式 1 ）记为 $\tilde{f}(\omega )$，那么简单的一阶微扰为

具体到式 1 ，当 ${\alpha }^{\prime }$ 取离散值 $n^{\prime }$ 时，$|c_{n^{\prime }}^{(1)}(+\mathrm{\infty }){|}^2$ 就是跃迁到该离散态的概率，取连续值 $\mathbf{k}$ 时，$|c_{{\mathbf{k}}^{\prime }}^{(1)}(+\mathrm{\infty }){|}^2$ 就是三维 ${\mathbf{k}}^{\prime }$ 空间的概率密度，概率微元是 $|c_{{\mathbf{k}}^{\prime }}^{(1)}(+\mathrm{\infty }){|}^2{\mathrm{d}}^{3}k$。

　　

4. 光电子的能谱

　　 那光电子的什么谱正比于电磁波包的能量谱 ${\left|\tilde{f}\right|}^2$ 呢？如果在某个方向画出 $f(k)={|c_{{\mathbf{k}}^{\prime }}^{(1)}(+\mathrm{\infty })|}^2$ 谱，如果波包带宽足够小可以认为 $⟨{\alpha }^{\prime }\left|W\right|\alpha ⟩$ 几乎不变，那么

这是光电子的一个动量谱，那么对应的能量谱为（见 “随机变量的变换”） 但这同样不是我们想要的，其实我们想要的是 这样，例如 $f(t)$ 是一个高斯波包，那么 $h(E)$ 就近似是高斯波包。若要更精确就乘以跃迁矩阵元 ${\left|⟨{\alpha }^{\prime }\left|W\right|\alpha ⟩\right|}^2$ 的调制。