Galois 扩张

贡献者： JierPeter

　　 完成了对正规扩张和可分扩张的讨论，我们引入极为核心的 Galois 扩域。在上述讨论中，我们时常涉及域自同构，也看到了域自同构和多项式的根之间对应的关系。对域自同构的结构的研究，将把我们引向著名的古典数学难题 “多项式方程的根式解”。

1. Galois 扩张的基本性质

　　 由于特征为零的域都是完美域，因此对这类域，正规扩张都是 Galois 扩张。

　　 证明：

　　 有限域是其素域的有限扩张，而有限扩张都是代数扩张（推论 1 ）。

　　 由于有限域都是完美域（推论 4 ），故 ${\mathbb{Z}}_p$ 的代数扩张都是可分扩张。

　　 参照有限域的讨论可知，有限域都是其素域的分裂域，从而是正规扩张。

　　 证毕。

　　 据正规扩张和可分扩张的知识，我们容易得到 Galois 扩张的几条性质：

　　 证明用可分扩张的继承性引理 1 和正规扩张的继承性定理 2 得到。

　　 证明：

　　 由定义 4 易得，$\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是可分扩张且 $\mathbb{M}\subseteq \mathbb{K}$，可推得 $\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 也是可分扩张。

　　 证明。

　　 证明：

　　 据定理 3 ，$\mathbb{EK}/\mathbb{EF}$ 是正规扩域。

　　 考虑到 $\mathbb{K}$ 的元素全都是 $\mathbb{F}$ 的可分元素，从而是 $\mathbb{EF}$ 的可分元素，而 $\mathbb{EK}=\mathbb{EF}(\mathbb{K})$，可知 $\mathbb{EK}/\mathbb{EF}$ 是可分扩张。

　　 证毕。

　　 证明：

　　 已知定理 4 成立。

　　 由 $\mathbb{EK}/\mathbb{EF}$ 是正规扩张，及 $\mathbb{F}[x]\subseteq \mathbb{EF}[x]$，知 $\mathbb{EK}/\mathbb{F}$ 是正规扩张。

　　 由可分元素的封闭性推论 4 知 $\mathbb{EK}/\mathbb{F}$ 是可分扩张。

　　 证毕。

　　 证明：

　　 由正规扩张和可分扩张相交还是正规扩张和可分扩张，得证。

　　 证毕。

2. Galois 群

　　 回顾例 6 ，集合间的全体双射配合复合运算能构成群。既然域的自同构也是双射，我们也可以研究这些自同构构成的群。不过，相比于一般的域扩张，我们重点关注性质最良好的 Galois 扩张的情况。

　　 随便举一个具体的例子：复数域 $\mathbb{C}$ 之于实数域 $\mathbb{R}$ 是一个 Galois 扩域：正规性来自 $\mathbb{C}=\bar{\mathbb{R}}$ 的事实，可分性是由于 $\mathbb{R}$ 是完美域。那么 $\mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ 是哪个群？或者最基础的问题，这个群有几个元素？

　　 单回答这个问题也许不难，不过我们可以直接得出一般的 Galois 群元素数量规则：

　　 证明：

　　 当 $[\mathbb{K}:\mathbb{F}]$ 有限时，正规扩张等价于分裂域，且由于可分扩张，因此适用定理 5 的等号情况，得证。

　　 当 $[\mathbb{K}:\mathbb{F}]$ 无限时，任取 $n$ 个根在 $\mathbb{K}-\mathbb{F}$ 中的多项式 $f_i\in \mathbb{F}[x]$，得到 $\prod f_i\in \mathbb{F}[x]$ 的分裂域 ${\mathbb{F}}_1$，则 $[\mathbb{K}:\mathbb{F}]>[{\mathbb{F}}_1:\mathbb{F}]>n$。${\mathbb{F}}_1\mathbb{F}$ 适用有限情况，其 Galois 群的元素数量等于其扩张次数，而由于 $[\mathbb{K}:\mathbb{F}]$ 无限，还能再取根在 $\mathbb{K}-{\mathbb{F}}_1$ 中的多项式 $g_i\in \mathbb{F}[x]\subseteq {\mathbb{F}}_1[x]$，构成更大的分裂域，得到更多自同构，因此必有

　　 证毕。

　　 由于 $\mathbb{C}$ 是 $x^2+1\in \mathbb{R}[x]$ 的分裂域，故易证扩张次数为 $2$，结合定理 7 就能确定 $\mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ 只有两个元素。显然，除了恒等映射以外，求共轭映射也是一个保 $\mathbb{R}$ 自同构，那这就已经找全了。

不变子域与 Galois 群

　　 给定 Galois 子域，总能唯一确定一个 Galois 群，其定义见定义 2 。于是，我们得到了从 Galois 子域集合到 Galois 群的一个映射。

　　 给定域的自同构群，总能唯一确定一个不变子域，其定义见定义 3 。于是，我们得到了从自同构集合到 Galois 子域集合的一个映射。

　　 现在的问题是，上述这两个集合映射是不是双射？即 Galois 子域和 Galois 群之间有没有一一对应关系？直觉上好像是的，但我们依然需要严谨的讨论来确认。

　　 如果取 $H=\mathrm{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$，那么 ${\mathrm{Fix}}_{\mathbb{C}}(H)=\mathbb{R}$。同样地，我们也可以直接给出更一般的情况：

　　 证明：

　　 任取$\alpha \in \mathbb{K}$。由于 $G$ 是有限群，故其轨道是有限的，不妨记为 $G\alpha =\{{\alpha }_i{\}}_{i=1}^n$，其中 ${\alpha }_1=\alpha$，各 ${\alpha }_i$ 彼此不等。

　　 构造多项式 $f_{\alpha }(x)=\prod _{i=1}^n(x-{\alpha }_i)$。对于任意$\sigma \in G$，都有 $\sigma G=G$，因此 $\sigma (\{{\alpha }_i\})=\{{\alpha }_i\}$，即 $\sigma$ 是 $\{{\alpha }_i\}$ 的一个置换。于是，$f_{\alpha }$ 的各系数都在 $\sigma$ 下不变，即都是 ${\mathrm{Fix}}_{\mathbb{K}}(G)$ 的元素。因此，$f_{\alpha }$ 是 $\alpha$ 在 ${\mathrm{Fix}}_{\mathbb{K}}(G)$ 上的零化多项式。

　　 注意 $\alpha$ 的任意性。因此 $f$ 的最小多项式的根全都在 $\mathbb{K}$ 中，故 $\mathbb{K}/{\mathrm{Fix}}_{\mathbb{K}}(G)$ 是正规扩张。由于各 ${\alpha }_i$ 不相等，故 $\alpha$ 是 ${\mathrm{Fix}}_{\mathbb{K}}(G)$ 的可分元，故 $\mathbb{K}/{\mathrm{Fix}}_{\mathbb{K}}(G)$ 是可分扩张。由此得证$\mathbb{K}/{\mathrm{Fix}}_{\mathbb{K}}(G)$ 是 Galois 扩张。

　　 由不变子域的定义，显然 $G\subseteq \mathrm{Gal}(\mathbb{K}/{\mathrm{Fix}}_{\mathbb{K}}(G))$。

　　 由于任意元素 $\alpha \in \mathbb{K}$ 的轨道中元素数量不会超过 $\left|G\right|$，$f_{\alpha }$ 的次数就是 $\alpha$ 轨道中的元素数量，以及 $f_{\alpha }$ 是 $\alpha$ 的零化多项式，可知任意$\alpha$ 的最小多项式次数不会超过 $\left|G\right|$。因此，应用推论 3 ，可知 $[\mathbb{K}:{\mathrm{Fix}}_{\mathbb{K}}(G)]\le \left|G\right|$。

　　 由定理 7 ，可知 $|\mathrm{Gal}(\mathbb{K}/{\mathrm{Fix}}_{\mathbb{K}}(G))|=[\mathbb{K}:{\mathrm{Fix}}_{\mathbb{K}}(G)]\le \left|G\right|$，从而 $\mathrm{Gal}(\mathbb{K}/{\mathrm{Fix}}_{\mathbb{K}}(G))\subseteq G$。

　　 于是得证$G=\mathrm{Gal}(\mathbb{K}/{\mathrm{Fix}}_{\mathbb{K}}(G))$。

　　 证毕。

　　 定理 8 暗示了自同构群和其不变子域的一一对应关系，即 “给定有限自同构群 $G$，则能被 $G$ 保持不变的元素，就只能被 $G$ 保持不变”——但是只针对 $G$ 有限的情况。这也体现在以下性质中，注意此处不再需要有限性，以及描述反过来了：

　　 证明：

　　 记 $\mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})=G$，其不变子域为 $\mathbb{J}={\mathrm{Fix}}_{\mathbb{K}}(G)$。

　　 由 Galois 群的定义，$\mathbb{F}\subseteq \mathbb{J}$。

　　 任取 $\alpha \in \mathbb{K}-\mathbb{F}$，记 $f_{\alpha }=\mathrm{Irr}(\alpha ,\mathbb{F})$。则 $f_{\alpha }$ 的次数大于 1，且是可分多项式，故 $\alpha$ 有关于 $\mathbb{F}$ 的共轭元 $\beta \ne \alpha$，且正规性保证了 $\beta \in \mathbb{K}$ 中。

　　 因此由定理 5 第 2 条可知，存在 $\sigma \in \mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 使得 $\sigma (\alpha )=\beta$。于是 $\alpha \notin \mathbb{J}$。因此 $\mathbb{J}\subseteq \mathbb{F}$。

　　 综上，$\mathbb{J}=\mathbb{F}$。

　　 证毕。

　　 定理 9 可以简述为：“给定子域 $\mathbb{F}$，全体保 $\mathbb{F}$ 不变的同构，只能保 $\mathbb{F}$ 不变”。

总结

　　 我们归纳一下前面说到的两个定理。

　　 定理 8 是说 “给定有限自同构群 $G$，则 $G$ 的不变子域的 Galois 群就是 $G$”。

　　 定理 9 是说 “给定子域 $\mathbb{F}$，则 $\mathbb{F}$ 的 Galois 群的不变子域就是 $\mathbb{F}$”。

　　 这两句话，都没有完整指出 Galois 群和不变子域的一一对应关系。如果取无限自同构真子群 $G$，而它的不变子域的 Galois 群严格大于 $G$，这不违反以上两句话。

3. Galois 理论基本定理

　　 这一小节中，我们深入讨论上一小节引出的 “自同构群与不变子域的对应关系”。

　　 证明：

　　 1。

　　 ${\mathbb{M}}_1\subseteq {\mathbb{M}}_2⟺$ 保 ${\mathbb{M}}_2$ 不变的同构也必保 ${\mathbb{M}}_1$ 不变 $⟺H_1\supseteq H_2$。

　　 2。

　　 ${\mathbb{M}}_1={\mathbb{M}}_2{\mathbb{M}}_3⟹{\mathbb{M}}_1\supseteq {\mathbb{M}}_2\cup {\mathbb{M}}_3⟹H_1\subseteq H_2\cap H_3$。

　　 ${\mathbb{M}}_1={\mathbb{M}}_2{\mathbb{M}}_3⟹$ 保 ${\mathbb{M}}_2$ 和 ${\mathbb{M}}_3$ 都不变的同构，必保 ${\mathbb{M}}_1$ 不变 $⟹H_2\cap H_3\subseteq H_1$。

　　 综合这两条逻辑链，得 ${\mathbb{M}}_1={\mathbb{M}}_2{\mathbb{M}}_3⟹H_1=H_2\cap H_3$。

　　 $H_1=H_2\cap H_3⟺$“自同构保 ${\mathbb{M}}_1$ 不变当且仅当它保 ${\mathbb{M}}_2$ 和 ${\mathbb{M}}_3$ 都不变”$⟹{\mathbb{M}}_1\subseteq {\mathbb{M}}_2{\mathbb{M}}_3$¹。

　　 $H_1=H_2\cap H_3⟺$“自同构保 ${\mathbb{M}}_1$ 不变当且仅当它保 ${\mathbb{M}}_2$ 和 ${\mathbb{M}}_3$ 都不变”$⟹{\mathbb{M}}_1\supseteq {\mathbb{M}}_2{\mathbb{M}}_3$²。

　　 综合这两条逻辑链，得 $H_1=H_2\cap H_3⟹{\mathbb{M}}_1={\mathbb{M}}_2{\mathbb{M}}_3$。

　　 证毕。

　　 证明：

　　 1。

　　 由于 $H_1$ 和 $H_2$ 中的同构都能保 ${\mathbb{M}}_1$ 和 ${\mathbb{M}}_2$ 不变，故 $\mathrm{Gal}(\mathbb{K}/{\mathbb{M}}_1\cap {\mathbb{M}}_2)\supseteq <H_1,H_2>$。

　　 由于是有限扩张及可分扩张，故据推论 2 ，${\mathbb{M}}_i={\mathbb{M}}_1\cap {\mathbb{M}}_2({\alpha }_i)$。显然，${\alpha }_2\notin {\mathbb{M}}_1$。

　　 设 $f\in \mathrm{Gal}(\mathbb{K}/{\mathbb{M}}_1\cap {\mathbb{M}}_2)$，再任取 $h\in \mathrm{Gal}(\mathbb{K}/{\mathbb{M}}_1)$，则据定理 6 ，$h$ 可开拓为 $\mathbb{K}\to \mathbb{K}$ 的保 ${\mathbb{M}}_1$ 自同构，其中 $h({\alpha }_2)=f({\alpha }_2)$。于是 $h^{-1}\circ f\in \mathrm{Gal}(\mathbb{K}/{\mathbb{M}}_2)$。因此，$f$ 必定是 $\mathrm{Gal}(\mathbb{K}/{\mathbb{M}}_i)$ 中元素相乘的结果。

　　 2。

　　 $⟹$：

　　 由题设，存在 $\sigma \in \mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$，使得 $\sigma {\mathbb{M}}_1={\mathbb{M}}_2$。

　　 任取 $f\in H_1$，则易证 $\sigma f{\sigma }^{-1}\in H_2$。因此 $\sigma H_1{\sigma }^{-1}=H_2$⁴。

　　 $⟸$：

　　 由题设，存在 $\sigma \in \mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$，使得 $\sigma H_1{\sigma }^{-1}=H_2$。

　　 任取 $a\in {\mathbb{M}}_1$，则 $H_2\sigma a=\sigma H_1{\sigma }^{-1}\sigma a=\sigma H_{1}a=\sigma a$。因此，$\sigma a\in {\mathrm{Fix}}_{\mathbb{K}}(H_2)$，或者说 $\sigma {\mathbb{M}}_1\subseteq {\mathrm{Fix}}_{\mathbb{K}}(H_2)$。由定理 9 ，${\mathrm{Fix}}_{\mathbb{K}}(H_2)={\mathbb{M}}_2$。

　　 故 $\sigma {\mathbb{M}}_1\subseteq {\mathbb{M}}_2$。

　　 对偶地，可证得 ${\mathbb{M}}_1\supseteq {\sigma }^{-1}{\mathbb{M}}_2$。

　　 因此 $\sigma {\mathbb{M}}_1={\mathbb{M}}_2$。

　　 证毕。

　　 接下来的性质，和群同态基本定理非常相似。

　　 证明：

　　 $\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 是正规扩张 $⟺$ 对于任意 $\sigma \in \mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$，都有 $\sigma \mathbb{M}=\mathbb{M}$ $⟺$ 对于任意 $f\in \mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$，都有 $\sigma f{\sigma }^{-1}\in \mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$⁵ $⟺\mathrm{Gal}(\mathbb{K}\mathbb{/}\mathbb{M})⊲\mathrm{Gal}(\mathbb{K}\mathbb{/}\mathbb{F})$。

　　 利用映射的限制，构造 $\mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})\to \mathrm{Gal}(\mathbb{M}/\mathbb{F})$ 的映射，记为 $\phi$，其定义为：$\phi (\sigma )=\sigma {\mid }_{\mathbb{M}}$。显然，由于是限制映射，$\phi$ 是一个群同态。

　　 取 $\sigma \in \mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$，则 $\phi (\sigma )=\mathrm{id}{\mid }_{\mathbb{M}}$ 当且仅当 $\sigma$ 保 $\mathbb{M}$ 不变，即 $\sigma \in \mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$。因此，$\ker \phi =\mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$。

　　 于是得证 $\mathrm{Gal}(\mathbb{M}/\mathbb{F})\cong \mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})/\mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$。

　　 证毕。

　　 注意一点：由定理 3 ，$\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 是正规扩张 $⟺$ $\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 是Galois扩张。

　　 证明：

　　 由推论 2 ，有限 Galois 扩张都是单代数扩张。由定理 2 ，$\mathbb{K}/\mathbb{M}$ 也是有限 Galois 扩张。

　　 设 $\mathbb{K}=\mathbb{F}(\alpha )$，则 $\mathbb{K}=\mathbb{M}(\alpha )$。记 $f=\mathrm{Irr}(\alpha ,\mathbb{F})$，$h=\mathrm{Irr}(\alpha ,\mathbb{M})$。

　　 由定理 5 ，$|\mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})|=\mathrm{deg}f$，$|\mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})|=\mathrm{deg}h$。

　　 由定理 2 ，$[\mathbb{K}:\mathbb{F}]=\mathrm{deg}f$，$[\mathbb{K}:\mathbb{F}]=\mathrm{deg}h$。又由定理 4 ，$[\mathbb{M}:\mathbb{F}]=[\mathbb{K}/\mathbb{F}]/[\mathbb{K}/\mathbb{M}]$。

　　 综上，

　　 证毕。

　　 定理 12 实际上可以去掉 “有限” 的要求，参见引理 2 。

　　 证明：

　　 由于 $\mathbb{E}\mathbb{F}=\mathbb{E}$，据定理 4 ，知 $\mathbb{KE}/\mathbb{E}$ 是 Galois 扩域。设 $\{{\alpha }_i{\}}_{i=1}^n$ 是 $\mathbb{K}$ 作为 $\mathbb{F}$ 上线性空间的基，即 $\mathbb{K}$ 中元素都形如 $\sum c_i{\alpha }_i$，其中 $c_i\in \mathbb{F}$；那么 $\mathbb{KE}$ 中元素都形如 $\sum e_i{c}_i{\alpha }_i$，其中 $e_i\in \mathbb{E}$；且有 $e_i{c}_i\in \mathbb{E}$。于是，$\{{\alpha }_i{\}}_{i=1}^n$ 也是 $\mathbb{K}$ 作为 $\mathbb{E}$ 上线性空间的基，从而得证有限性。

　　 $\mathbb{K}\cap \mathbb{E}$ 是 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 的中间域，故由定理 2 知 $\mathbb{K}/\mathbb{K}\cap \mathbb{E}$ 是 Galois 扩张，由定理 4 知有限性。

　　 下证 $\mathrm{Gal}(\mathbb{KE}/\mathbb{E})\cong \mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{K}\cap \mathbb{E})$。

　　 注意 $\mathbb{KE}\cap \mathbb{K}=\mathbb{K}$。构造群同态$\phi :\mathrm{Gal}(\mathbb{KE}/\mathbb{E})\to \mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{K}\cap \mathbb{E})$，定义为 $\phi (\sigma )=\sigma {\mid }_{\mathbb{K}}$。显然这是一个满同态。

　　 如果存在 ${\sigma }_1,{\sigma }_2\in \mathrm{Gal}(\mathbb{KE}/\mathbb{E})$，使得 $\phi ({\sigma }_1)=\phi ({\sigma }_2)$，则 ${\sigma }_1{\sigma }_2^{-1}$ 保 $\mathbb{K}$ 不变。又因为 ${\sigma }_1$ 和 ${\sigma }_2$ 都保 $\mathbb{E}$ 不变，故 ${\sigma }_1{\sigma }_2^{-1}$ 保 $\mathbb{KE}$ 不变。由此可知，${\sigma }_1={\sigma }_2$。因此 $\phi$ 是单同态。

　　 综上，$\phi$ 是一个群同构。

　　 证毕。

　　 证明：

　　 1。

　　 据定理 13 ，取 $\mathbb{M}=\mathbb{E}$ 即得 $\mathbb{K}/\mathbb{M}$ 是有限 Galois 扩张。又由定理 9 ，得 $\mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$ 的不变子域就是 $\mathbb{M}$。

　　 2。

　　 显然，$H$ 保 $\mathbb{F}$ 不变，所以 $H$ 的不变子域包含 $\mathbb{F}$，从而 ${\mathrm{Fix}}_{\mathbb{K}}(H)$ 是 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 的中间域。

　　 由推论 2 ，存在 $\alpha \in \mathbb{K}$ 使得 $\mathbb{K}=\mathbb{F}(\alpha )$。又由定理 4 和定理 5 知，$\mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 本身就是有限群，因此适用 Artin定理 8 ，从而得证。

　　 证毕。

1. ^ 最后这个箭头是因为，如果存在 $\alpha \in {\mathbb{M}}_1-{\mathbb{M}}_2{\mathbb{M}}_3$，那么由可分性，$\alpha$ 必有关于 ${\mathbb{M}}_2{\mathbb{M}}_3$ 的共轭，那么存在一个保 ${\mathbb{M}}_2{\mathbb{M}}_3$ 的同构，将 $\alpha$ 映射到它的共轭上，从而该同构不保 ${\mathbb{M}}_1$ 不变，即 $H_1⊊H_2\cap H_3$。因此，$\alpha$ 不存在。
2. ^ 道理和前一条类似，不能存在 $\alpha \in {\mathbb{M}}_2{\mathbb{M}}_3-{\mathbb{M}}_1$，否则可以构造出保 ${\mathbb{M}}_1$ 但不保 ${\mathbb{M}}_2{\mathbb{M}}_3$ 的同构，使得 $H_1⊋H_2\cap H_3$。
3. ^ $<H_1,H_2>$ 即由 $H_1\cup H_2$ 生成的 $\mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 的子群。
4. ^ 看起来，$\sigma f{\sigma }^{-1}\in H_2$ 比 $\sigma H_1{\sigma }^{-1}=H_2$ 更强，实际上在 Galois 理论范围内这二者是等价的（？），原因正是 Galois 群和不变子域的对应性。
5. ^ 因为任取 $a\in \mathbb{M}$，都有 $\sigma f{\sigma }^{-1}a=a$。