Galois 扩张

                     

贡献者： JierPeter

预备知识　正规扩张，群作用

　　 完成了对正规扩张和可分扩张的讨论，我们引入极为核心的 Galois 扩域。在上述讨论中，我们时常涉及域自同构，也看到了域自同构和多项式的根之间对应的关系。对域自同构的结构的研究，将把我们引向著名的古典数学难题 “多项式方程的根式解”。

1. Galois 扩张的基本性质

定义 1　Galois 扩张

　　 若域扩张 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是正规且可分的，那么称之为一个伽罗华扩张（Galois extension），或译作伽罗瓦扩张。

　　 此时称 $\mathbb{K}$在$\mathbb{F}$上是 Galois 的（$\mathbb{K}$ is Galois over $\mathbb{F}$）。

　　 由于特征为零的域都是完美域，因此对这类域，正规扩张都是 Galois 扩张。

例 1　

　　 $\mathbb{Q}(2^{1/3})/\mathbb{Q}$ 不是 Galois 扩域，因为它不正规，不包含 $ \operatorname {irr}(2^{1/3}, \mathbb{Q})(x)=x^3-2$ 的两个复数根。

定理 1　

　　 有限域都是其素域的 Galois 扩域。

　　 证明：

　　 有限域是其素域的有限扩张，而有限扩张都是代数扩张（推论 1 ）。

　　 由于有限域都是完美域（推论 4 ），故 $\mathbb{Z}_p$ 的代数扩张都是可分扩张。

　　 参照有限域的讨论可知，有限域都是其素域的分裂域，从而是正规扩张。

　　 证毕。

　　 据正规扩张和可分扩张的知识，我们容易得到 Galois 扩张的几条性质：

定理 2　

　　 设 $\mathbb{K}/\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 是域扩张链，且 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是 Galois 扩张，那么 $\mathbb{K}/\mathbb{M}$ 也是 Galois 扩张。

　　 证明用可分扩张的继承性引理 1 和正规扩张的继承性定理 2 得到。

定理 3　

　　 设 $\mathbb{K}/\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 是域扩张链，其中 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是 Galois 扩张，$\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 是正规扩张，那么 $\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 是 Galois 扩张。

　　 证明：

　　 由定义 4 易得，$\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是可分扩张且 $\mathbb{M}\subseteq\mathbb{K}$，可推得 $\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 也是可分扩张。

　　 证明。

定理 4　

　　 如果 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是 Galois 扩域，且域合成 $\mathbb{EK}$ 存在，那么 $\mathbb{EK}/\mathbb{EF}$ 是 Galois 扩域。

　　 证明：

　　 据定理 3 ，$\mathbb{EK}/\mathbb{EF}$ 是正规扩域。

　　 考虑到 $\mathbb{K}$ 的元素全都是 $\mathbb{F}$ 的可分元素，从而是 $\mathbb{EF}$ 的可分元素，而 $\mathbb{EK}=\mathbb{EF}(\mathbb{K})$，可知 $\mathbb{EK}/\mathbb{EF}$ 是可分扩张。

　　 证毕。

定理 5　

　　 设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 和 $\mathbb{E}/\mathbb{F}$ 都是 Galois 扩域，且域合成 $\mathbb{EK}$ 存在，则 $\mathbb{EK}/\mathbb{F}$ 是 Galois 扩域。

　　 证明：

　　 已知定理 4 成立。

　　 由 $\mathbb{EK}/\mathbb{EF}$ 是正规扩张，及 $\mathbb{F}[x]\subseteq\mathbb{EF}[x]$，知 $\mathbb{EK}/\mathbb{F}$ 是正规扩张。

　　 由可分元素的封闭性推论 4 知 $\mathbb{EK}/\mathbb{F}$ 是可分扩张。

　　 证毕。

定理 6　

　　 域 $\mathbb{K}$ 的 Galois 扩域之交，还是它的 Galois 扩域

　　 证明：

　　 由正规扩张和可分扩张相交还是正规扩张和可分扩张，得证。

　　 证毕。

2. Galois 群

　　 回顾例 6 ，集合间的全体双射配合复合运算能构成群。既然域的自同构也是双射，我们也可以研究这些自同构构成的群。不过，相比于一般的域扩张，我们重点关注性质最良好的 Galois 扩张的情况。

定义 2　Galois 群

　　 给定 Galois 域扩张 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$，称 $\mathbb{K}$ 上全体保 $\mathbb{F}$ 自同构构成的群为该扩张的Galois 群，记为 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$，或 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}:\mathbb{F})$。

　　 随便举一个具体的例子：复数域 $\mathbb{C}$ 之于实数域 $\mathbb{R}$ 是一个 Galois 扩域：正规性来自 $\mathbb{C}=\overline{\mathbb{R}}$ 的事实，可分性是由于 $\mathbb{R}$ 是完美域。那么 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ 是哪个群？或者最基础的问题，这个群有几个元素？

　　 单回答这个问题也许不难，不过我们可以直接得出一般的 Galois 群元素数量规则：

定理 7　

　　 如果 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是 Galois 扩域，那么

\begin{equation} \left\lvert \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F}) \right\rvert = [\mathbb{K}:\mathbb{F}]~. \end{equation}

　　 证明：

　　 当 $[\mathbb{K}:\mathbb{F}]$ 有限时，正规扩张等价于分裂域，且由于可分扩张，因此适用定理 5 的等号情况，得证。

　　 当 $[\mathbb{K}:\mathbb{F}]$ 无限时，任取 $n$ 个根在 $\mathbb{K}-\mathbb{F}$ 中的多项式 $f_i\in\mathbb{F}[x]$，得到 $\prod f_i\in\mathbb{F}[x]$ 的分裂域 $\mathbb{F}_1$，则 $[\mathbb{K}:\mathbb{F}]>[\mathbb{F}_1:\mathbb{F}]>n$。$\mathbb{F}_1\mathbb{F}$ 适用有限情况，其 Galois 群的元素数量等于其扩张次数，而由于 $[\mathbb{K}:\mathbb{F}]$ 无限，还能再取根在 $\mathbb{K}-\mathbb{F}_1$ 中的多项式 $g_i\in\mathbb{F}[x]\subseteq \mathbb{F}_1[x]$，构成更大的分裂域，得到更多自同构，因此必有

\begin{equation} \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})> \operatorname {Gal}(\mathbb{F}_1/\mathbb{F})=[\mathbb{F}_1:\mathbb{F}]>n~. \end{equation}
由 $n$ 的任意性，则可知 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})=\infty$。

　　 证毕。

　　 由于 $\mathbb{C}$ 是 $x^2+1\in\mathbb{R}[x]$ 的分裂域，故易证扩张次数为 $2$，结合定理 7 就能确定 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ 只有两个元素。显然，除了恒等映射以外，求共轭映射也是一个保 $\mathbb{R}$ 自同构，那这就已经找全了。

不变子域与 Galois 群

　　 给定 Galois 子域，总能唯一确定一个 Galois 群，其定义见定义 2 。于是，我们得到了从 Galois 子域集合到 Galois 群的一个映射。

　　 给定域的自同构群，总能唯一确定一个不变子域，其定义见定义 3 。于是，我们得到了从自同构集合到 Galois 子域集合的一个映射。

　　 现在的问题是，上述这两个集合映射是不是双射？即 Galois 子域和 Galois 群之间有没有一一对应关系？直觉上好像是的，但我们依然需要严谨的讨论来确认。

定义 3　不变子域

　　 给定域 $\mathbb{F}$，设 $G$ 是 $\mathbb{F}$ 的全体自同构群。

　　 取 $G$ 的子群 $H$，则集合 $\{a\in\mathbb{F}\mid \sigma(a)=a, \forall \sigma\in H\}$ 构成一个域，称为 $\mathbb{F}$ 的 $H$ 不变子域（fixed field of $H$），或译作 $H$ 固定子域，记为 $ \operatorname {Inv}_\mathbb{F}(H)$ 或 $ \operatorname {Fix}_\mathbb{F}(H)$。

　　 如果取 $H= \operatorname {Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$，那么 $ \operatorname {Fix}_{\mathbb{C}}(H)=\mathbb{R}$。同样地，我们也可以直接给出更一般的情况：

定理 8　（Artin）

　　 给定域 $\mathbb{K}$，$G$ 是它的全体自同构群的有限子群。

　　 则 $\mathbb{K}/ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G)$ 是 Galois 扩张，且 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G))=G$。

　　 证明：

　　 任取$\alpha\in\mathbb{K}$。由于 $G$ 是有限群，故其轨道是有限的，不妨记为 $G\alpha=\{\alpha_i\}_{i=1}^n$，其中 $\alpha_1=\alpha$，各 $\alpha_i$ 彼此不等。

　　 构造多项式 $f_\alpha(x)=\prod_{i=1}^n(x-\alpha_i)$。对于任意$\sigma\in G$，都有 $\sigma G=G$，因此 $\sigma(\{\alpha_i\})=\{\alpha_i\}$，即 $\sigma$ 是 $\{\alpha_i\}$ 的一个置换。于是，$f_\alpha$ 的各系数都在 $\sigma$ 下不变，即都是 $ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G)$ 的元素。因此，$f_\alpha$ 是 $\alpha$ 在 $ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G)$ 上的零化多项式。

　　 注意 $\alpha$ 的任意性。因此 $f$ 的最小多项式的根全都在 $\mathbb{K}$ 中，故 $\mathbb{K}/ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G)$ 是正规扩张。由于各 $\alpha_i$ 不相等，故 $\alpha$ 是 $ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G)$ 的可分元，故 $\mathbb{K}/ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G)$ 是可分扩张。由此得证$\mathbb{K}/ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G)$ 是 Galois 扩张。

　　 由不变子域的定义，显然 $G\subseteq \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G))$。

　　 由于任意元素 $\alpha\in\mathbb{K}$ 的轨道中元素数量不会超过 $ \left\lvert G \right\rvert $，$f_\alpha$ 的次数就是 $\alpha$ 轨道中的元素数量，以及 $f_\alpha$ 是 $\alpha$ 的零化多项式，可知任意$\alpha$ 的最小多项式次数不会超过 $ \left\lvert G \right\rvert $。因此，应用推论 3 ，可知 $[\mathbb{K}: \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G)]\leq \left\lvert G \right\rvert $。

　　 由定理 7 ，可知 $ \left\lvert \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G)) \right\rvert =[\mathbb{K}: \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G)]\leq \left\lvert G \right\rvert $，从而 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G))\subseteq G$。

　　 于是得证$G = \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G))$。

　　 证毕。

　　 定理 8 暗示了自同构群和其不变子域的一一对应关系，即 “给定有限自同构群 $G$，则能被 $G$ 保持不变的元素，就只能被 $G$ 保持不变”——但是只针对 $G$ 有限的情况。这也体现在以下性质中，注意此处不再需要有限性，以及描述反过来了：

定理 9　

　　 设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是一个 Galois 扩张。则 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 的不变子域就是 $\mathbb{F}$。

　　 证明：

　　 记 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})=G$，其不变子域为 $\mathbb{J}= \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G)$。

　　 由 Galois 群的定义，$\mathbb{F}\subseteq\mathbb{J}$。

　　 任取 $\alpha\in\mathbb{K}-\mathbb{F}$，记 $f_\alpha= \operatorname {Irr}(\alpha, \mathbb{F})$。则 $f_\alpha$ 的次数大于 1，且是可分多项式，故 $\alpha$ 有关于 $\mathbb{F}$ 的共轭元 $\beta\neq \alpha$，且正规性保证了 $\beta\in\mathbb{K}$ 中。

　　 因此由定理 5 第 2 条可知，存在 $\sigma\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 使得 $\sigma(\alpha)=\beta$。于是 $\alpha\not\in \mathbb{J}$。因此 $\mathbb{J}\subseteq\mathbb{F}$。

　　 综上，$\mathbb{J}=\mathbb{F}$。

　　 证毕。

　　 定理 9 可以简述为：“给定子域 $\mathbb{F}$，全体保 $\mathbb{F}$ 不变的同构，只能保 $\mathbb{F}$ 不变”。

总结

　　 我们归纳一下前面说到的两个定理。

　　 定理 8 是说 “给定有限自同构群 $G$，则 $G$ 的不变子域的 Galois 群就是 $G$”。

　　 定理 9 是说 “给定子域 $\mathbb{F}$，则 $\mathbb{F}$ 的 Galois 群的不变子域就是 $\mathbb{F}$”。

　　 这两句话，都没有完整指出 Galois 群和不变子域的一一对应关系。如果取无限自同构真子群 $G$，而它的不变子域的 Galois 群严格大于 $G$，这不违反以上两句话。

3. Galois 理论基本定理

　　 这一小节中，我们深入讨论上一小节引出的 “自同构群与不变子域的对应关系”。

引理 1　

　　 给定 Galois 扩张 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$，取它的三个中间域 $\mathbb{M}_1, \mathbb{M}_2, \mathbb{M}_3$，并令 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M}_i)=H_i$。则下列命题成立：

　　 1。$\mathbb{M}_1\subseteq \mathbb{M}_2 \iff H_1\supseteq H_2$；

　　 2。$\mathbb{M}_1=\mathbb{M}_2\mathbb{M}_3 \iff H_1=H_2\cap H_3$。

　　 证明：

　　 1。

　　 $\mathbb{M}_1\subseteq\mathbb{M}_2 \iff$ 保 $\mathbb{M}_2$ 不变的同构也必保 $\mathbb{M}_1$ 不变 $\iff H_1\supseteq H_2$。

　　 2。

　　 $\mathbb{M}_1=\mathbb{M}_2\mathbb{M}_3\implies \mathbb{M}_1\supseteq\mathbb{M}_2\cup\mathbb{M}_3\implies H_1\subseteq H_2\cap H_3$。

　　 $\mathbb{M}_1=\mathbb{M}_2\mathbb{M}_3\implies$ 保 $\mathbb{M}_2$ 和 $\mathbb{M}_3$ 都不变的同构，必保 $\mathbb{M}_1$ 不变 $\implies H_2\cap H_3\subseteq H_1$。

　　 综合这两条逻辑链，得 $\mathbb{M}_1=\mathbb{M}_2\mathbb{M}_3 \implies H_1=H_2\cap H_3$。

　　 $H_1=H_2\cap H_3\iff$“自同构保 $\mathbb{M}_1$ 不变当且仅当它保 $\mathbb{M}_2$ 和 $\mathbb{M}_3$ 都不变”$\implies \mathbb{M}_1\subseteq\mathbb{M}_2\mathbb{M}_3$1。

　　 $H_1=H_2\cap H_3\iff$“自同构保 $\mathbb{M}_1$ 不变当且仅当它保 $\mathbb{M}_2$ 和 $\mathbb{M}_3$ 都不变”$\implies \mathbb{M}_1\supseteq\mathbb{M}_2\mathbb{M}_3$2。

　　 综合这两条逻辑链，得 $H_1=H_2\cap H_3 \implies \mathbb{M}_1=\mathbb{M}_2\mathbb{M}_3$。

　　 证毕。

定理 10　

　　 给定有限Galois 扩张 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$，取它的两个中间域 $\mathbb{M}_1, \mathbb{M}_2$，并令 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M}_i)=H_i$。则下列命题成立：

　　 1。$ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M}_1\cap\mathbb{M}_2)=< H_1, H_2>$3。

　　 2。$\mathbb{M}_1$ 和 $\mathbb{M}_2$ 关于 $\mathbb{F}$ 共轭 $\iff H_1$ 和 $H_2$ 在 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 中共轭。

　　 证明：

　　 1。

　　 由于 $H_1$ 和 $H_2$ 中的同构都能保 $\mathbb{M}_1$ 和 $\mathbb{M}_2$ 不变，故 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M}_1\cap\mathbb{M}_2)\supseteq< H_1, H_2>$。

　　 由于是有限扩张及可分扩张，故据推论 2 ，$\mathbb{M}_i=\mathbb{M}_1\cap\mathbb{M}_2(\alpha_i)$。显然，$\alpha_2\not\in\mathbb{M}_1$。

　　 设 $f\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M}_1\cap\mathbb{M}_2)$，再任取 $h\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M}_1)$，则据定理 6 ，$h$ 可开拓为 $\mathbb{K}\to\mathbb{K}$ 的保 $\mathbb{M}_1$ 自同构，其中 $h(\alpha_2)=f(\alpha_2)$。于是 $h^{-1}\circ f\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M}_2)$。因此，$f$ 必定是 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M}_i)$ 中元素相乘的结果。

　　 2。

　　 $\implies$：

　　 由题设，存在 $\sigma\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$，使得 $\sigma \mathbb{M}_1=\mathbb{M}_2$。

　　 任取 $f\in H_1$，则易证 $\sigma f\sigma^{-1}\in H_2$。因此 $\sigma H_1\sigma^{-1}=H_2$4。

　　 $\impliedby$：

　　 由题设，存在 $\sigma\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$，使得 $\sigma H_1\sigma^{-1}=H_2$。

　　 任取 $a\in\mathbb{M}_{1}$，则 $H_2 \sigma a=\sigma H_1\sigma^{-1}\sigma a=\sigma H_1 a=\sigma a$。因此，$\sigma a\in \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(H_2)$，或者说 $\sigma\mathbb{M}_1\subseteq \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(H_2)$。由定理 9 ，$ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(H_2)=\mathbb{M}_2$。

　　 故 $\sigma\mathbb{M}_1\subseteq\mathbb{M}_2$。

　　 对偶地，可证得 $\mathbb{M}_1\supseteq\sigma^{-1}\mathbb{M}_2$。

　　 因此 $\sigma\mathbb{M}_1=\mathbb{M}_2$。

　　 证毕。

　　 接下来的性质，和群同态基本定理非常相似。

定理 11　

　　 设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是Galois 扩张（不要求有限），且存在中间域 $\mathbb{M}$。

　　 则 $\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 是正规扩张 $\iff$ $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K/\mathbb{M}})\vartriangleleft \operatorname {Gal}(\mathbb{K/\mathbb{F}})$，且 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{M}/\mathbb{F})\cong \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})/ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$。

　　 证明：

　　 $\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 是正规扩张 $\iff$ 对于任意 $\sigma\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$，都有 $\sigma\mathbb{M}=\mathbb{M}$ $\iff$ 对于任意 $f\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$，都有 $\sigma f \sigma^{-1}\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$5 $\iff \operatorname {Gal}(\mathbb{K/\mathbb{M}})\vartriangleleft \operatorname {Gal}(\mathbb{K/\mathbb{F}})$。

　　 利用映射的限制，构造 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})\to \operatorname {Gal}(\mathbb{M}/\mathbb{F})$ 的映射，记为 $\varphi$，其定义为：$\varphi(\sigma) = \sigma\mid_{\mathbb{M}}$。显然，由于是限制映射，$\varphi$ 是一个群同态。

　　 取 $\sigma\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$，则 $\varphi(\sigma)= \operatorname {id}\mid_{\mathbb{M}}$ 当且仅当 $\sigma$ 保 $\mathbb{M}$ 不变，即 $\sigma\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$。因此，$ \operatorname {ker}\varphi= \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$。

　　 于是得证 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{M}/\mathbb{F})\cong \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})/ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$。

　　 证毕。

　　 注意一点：由定理 3 ，$\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 是正规扩张 $\iff$ $\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 是Galois扩张。

定理 12　

　　 设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是有限Galois 扩张，且存在中间域 $\mathbb{M}$。

　　 则 $ \left\lvert \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F}) \right\rvert / \left\lvert \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M}) \right\rvert =[\mathbb{M}:\mathbb{F}]$。

　　 证明：

　　 由推论 2 ，有限 Galois 扩张都是单代数扩张。由定理 2 ，$\mathbb{K}/\mathbb{M}$ 也是有限 Galois 扩张。

　　 设 $\mathbb{K}=\mathbb{F}(\alpha)$，则 $\mathbb{K}=\mathbb{M}(\alpha)$。记 $f= \operatorname {Irr}(\alpha, \mathbb{F})$，$h= \operatorname {Irr}(\alpha, \mathbb{M})$。

　　 由定理 5 ，$ \left\lvert \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F}) \right\rvert =\deg f$，$ \left\lvert \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F}) \right\rvert =\deg h$。

　　 由定理 2 ，$[\mathbb{K}:\mathbb{F}]=\deg f$，$[\mathbb{K}:\mathbb{F}]=\deg h$。又由定理 4 ，$[\mathbb{M}:\mathbb{F}]=[\mathbb{K}/\mathbb{F}]/[\mathbb{K}/\mathbb{M}]$。

　　 综上，

\begin{equation} \left\lvert \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F}) \right\rvert / \left\lvert \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M}) \right\rvert =\deg f/\deg h=[\mathbb{M}:\mathbb{F}]~ \end{equation}

　　 证毕。

　　 定理 12 实际上可以去掉 “有限” 的要求，参见引理 2 。

定理 13　

　　 设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是有限Galois 扩张，$\mathbb{E}/\mathbb{F}$ 是域扩张，且域合成 $\mathbb{KE}$ 存在。

　　 则 $\mathbb{KE}/\mathbb{E}$ 和 $\mathbb{K}/\mathbb{K}\cap\mathbb{E}$ 都是有限 Galois 扩张，且 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{KE}/\mathbb{E})\cong \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{K}\cap\mathbb{E})$。

　　 证明：

　　 由于 $\mathbb{E}\mathbb{F}=\mathbb{E}$，据定理 4 ，知 $\mathbb{KE}/\mathbb{E}$ 是 Galois 扩域。设 $\{\alpha_i\}_{i=1}^n$ 是 $\mathbb{K}$ 作为 $\mathbb{F}$ 上线性空间的基，即 $\mathbb{K}$ 中元素都形如 $\sum c_i\alpha_i$，其中 $c_i\in\mathbb{F}$；那么 $\mathbb{KE}$ 中元素都形如 $\sum e_ic_i\alpha_i$，其中 $e_i\in\mathbb{E}$；且有 $e_ic_i\in\mathbb{E}$。于是，$\{\alpha_i\}_{i=1}^n$ 也是 $\mathbb{K}$ 作为 $\mathbb{E}$ 上线性空间的基，从而得证有限性。

　　 $\mathbb{K}\cap\mathbb{E}$ 是 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 的中间域，故由定理 2 知 $\mathbb{K}/\mathbb{K}\cap\mathbb{E}$ 是 Galois 扩张，由定理 4 知有限性。

　　 下证 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{KE}/\mathbb{E})\cong \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{K}\cap\mathbb{E})$。

　　 注意 $\mathbb{KE}\cap \mathbb{K}=\mathbb{K}$。构造群同态$\varphi: \operatorname {Gal}(\mathbb{KE}/\mathbb{E})\to \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{K}\cap\mathbb{E})$，定义为 $\varphi (\sigma) = \sigma\mid_{\mathbb{K}}$。显然这是一个满同态。

　　 如果存在 $\sigma_1, \sigma_2\in \operatorname {Gal}(\mathbb{KE}/\mathbb{E})$，使得 $\varphi(\sigma_1)=\varphi(\sigma_2)$，则 $\sigma_1\sigma_2^{-1}$ 保 $\mathbb{K}$ 不变。又因为 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 都保 $\mathbb{E}$ 不变，故 $\sigma_1\sigma_2^{-1}$ 保 $\mathbb{KE}$ 不变。由此可知，$\sigma_1=\sigma_2$。因此 $\varphi$ 是单同态。

　　 综上，$\varphi$ 是一个群同构。

　　 证毕。

定理 14　Galois 理论基本定理（Fundamental Theorem of Galois Theory）

　　

　　 设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是一个有限的 Galois 扩张，则以下命题成立：

　　 1。设存在中间域 $\mathbb{M}$，则 $\mathbb{K}/\mathbb{M}$ 也是有限 Galois 扩张，且 $\mathbb{M}= \operatorname {Fix}_\mathbb{K}( \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M}))$。

　　 2。设 $H$ 是 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 的子群，则 $\mathbb{M}= \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(H)$ 是 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 的中间域，且 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})=H$。

　　 证明：

　　 1。

　　 据定理 13 ，取 $\mathbb{M}=\mathbb{E}$ 即得 $\mathbb{K}/\mathbb{M}$ 是有限 Galois 扩张。又由定理 9 ，得 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$ 的不变子域就是 $\mathbb{M}$。

　　 2。

　　 显然，$H$ 保 $\mathbb{F}$ 不变，所以 $H$ 的不变子域包含 $\mathbb{F}$，从而 $ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(H)$ 是 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 的中间域。

　　 由推论 2 ，存在 $\alpha\in\mathbb{K}$ 使得 $\mathbb{K}=\mathbb{F}(\alpha)$。又由定理 4 和定理 5 知，$ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 本身就是有限群，因此适用 Artin定理 8 ，从而得证。

　　 证毕。

1. ^ 最后这个箭头是因为，如果存在 $\alpha\in\mathbb{M}_1-\mathbb{M}_2\mathbb{M}_3$，那么由可分性，$\alpha$ 必有关于 $\mathbb{M}_2\mathbb{M}_3$ 的共轭，那么存在一个保 $\mathbb{M}_2\mathbb{M}_3$ 的同构，将 $\alpha$ 映射到它的共轭上，从而该同构不保 $\mathbb{M}_1$ 不变，即 $H_1\subsetneq H_2\cap H_3$。因此，$\alpha$ 不存在。
2. ^ 道理和前一条类似，不能存在 $\alpha\in\mathbb{M}_2\mathbb{M}_3-\mathbb{M}_1$，否则可以构造出保 $\mathbb{M}_1$ 但不保 $\mathbb{M}_2\mathbb{M}_3$ 的同构，使得 $H_1\supsetneq H_2\cap H_3$。
3. ^ $< H_1, H_2>$ 即由 $H_1\cup H_2$ 生成的 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 的子群。
4. ^ 看起来，$\sigma f\sigma^{-1}\in H_2$ 比 $\sigma H_1\sigma^{-1}=H_2$ 更强，实际上在 Galois 理论范围内这二者是等价的（？），原因正是 Galois 群和不变子域的对应性。
5. ^ 因为任取 $a\in\mathbb{M}$，都有 $\sigma f \sigma^{-1} a=a$。


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