Galois 扩张

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 正规扩张,群作用

   完成了对正规扩张和可分扩张的讨论,我们引入极为核心的 Galois 扩域.在上述讨论中,我们时常涉及域自同构,也看到了域自同构和多项式的根之间对应的关系.对域自同构的结构的研究,将把我们引向著名的古典数学难题 “多项式方程的根式解”.

1. Galois 扩张的基本性质

定义 1 Galois 扩张

   若域扩张 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是正规可分的,那么称之为一个伽罗华扩张(Galois extension),或译作伽罗瓦扩张

   此时称 $\mathbb{K}$$\mathbb{F}$上是 Galois 的($\mathbb{K}$ is Galois over $\mathbb{F}$).

   由于特征为零的域都是完美域,因此对这类域,正规扩张都是 Galois 扩张.

例 1 

   $\mathbb{Q}(2^{1/3})/\mathbb{Q}$ 不是 Galois 扩域,因为它不正规,不包含 $ \operatorname {irr}(2^{1/3}, \mathbb{Q})(x)=x^3-2$ 的两个复数根.

定理 1 

   有限域都是其素域的 Galois 扩域.

   证明

   有限域是其素域的有限扩张,而有限扩张都是代数扩张(推论 1 ).

   由于有限域都是完美域(推论 4 ),故 $\mathbb{Z}_p$ 的代数扩张都是可分扩张.

   参照有限域的讨论可知,有限域都是其素域的分裂域,从而是正规扩张.

   证毕

   据正规扩张和可分扩张的知识,我们容易得到 Galois 扩张的几条性质:

定理 2 

   设 $\mathbb{K}/\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 是域扩张链,且 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是 Galois 扩张,那么 $\mathbb{K}/\mathbb{M}$ 也是 Galois 扩张.

   证明用可分扩张的继承性引理 1 和正规扩张的继承性定理 2 得到.

定理 3 

   设 $\mathbb{K}/\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 是域扩张链,其中 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是 Galois 扩张,$\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 是正规扩张,那么 $\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 是 Galois 扩张.

   证明

   由定义 4 易得,$\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是可分扩张且 $\mathbb{M}\subseteq\mathbb{K}$,可推得 $\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 也是可分扩张.

   证明

定理 4 

   如果 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是 Galois 扩域,且域合成 $\mathbb{EK}$ 存在,那么 $\mathbb{EK}/\mathbb{EF}$ 是 Galois 扩域.

   证明

   据定理 3 ,$\mathbb{EK}/\mathbb{EF}$ 是正规扩域.

   考虑到 $\mathbb{K}$ 的元素全都是 $\mathbb{F}$ 的可分元素,从而是 $\mathbb{EF}$ 的可分元素,而 $\mathbb{EK}=\mathbb{EF}(\mathbb{K})$,可知 $\mathbb{EK}/\mathbb{EF}$ 是可分扩张.

   证毕

定理 5 

   设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 和 $\mathbb{E}/\mathbb{F}$ 都是 Galois 扩域,且域合成 $\mathbb{EK}$ 存在,则 $\mathbb{EK}/\mathbb{F}$ 是 Galois 扩域.

   证明

   已知定理 4 成立.

   由 $\mathbb{EK}/\mathbb{EF}$ 是正规扩张,及 $\mathbb{F}[x]\subseteq\mathbb{EF}[x]$,知 $\mathbb{EK}/\mathbb{F}$ 是正规扩张.

   由可分元素的封闭性推论 4 知 $\mathbb{EK}/\mathbb{F}$ 是可分扩张.

   证毕

定理 6 

   域 $\mathbb{K}$ 的 Galois 扩域之交,还是它的 Galois 扩域

   证明

   由正规扩张和可分扩张相交还是正规扩张和可分扩张,得证.

   证毕

2. Galois 群

   回顾例 6 ,集合间的全体双射配合复合运算能构成群.既然域的自同构也是双射,我们也可以研究这些自同构构成的群.不过,相比于一般的域扩张,我们重点关注性质最良好的 Galois 扩张的情况.

定义 2 Galois 群

   给定 Galois 域扩张 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$,称 $\mathbb{K}$ 上全体保 $\mathbb{F}$ 自同构构成的群为该扩张的Galois 群,记为 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$,或 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}:\mathbb{F})$.

   随便举一个具体的例子:复数域 $\mathbb{C}$ 之于实数域 $\mathbb{R}$ 是一个 Galois 扩域:正规性来自 $\mathbb{C}=\overline{\mathbb{R}}$ 的事实,可分性是由于 $\mathbb{R}$ 是完美域.那么 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ 是哪个群?或者最基础的问题,这个群有几个元素?

   单回答这个问题也许不难,不过我们可以直接得出一般的 Galois 群元素数量规则:

定理 7 

   如果 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是 Galois 扩域,那么

\begin{equation} \left\lvert \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F}) \right\rvert = [\mathbb{K}:\mathbb{F}] \end{equation}

   证明

   当 $[\mathbb{K}:\mathbb{F}]$ 有限时,正规扩张等价于分裂域,且由于可分扩张,因此适用定理 5 的等号情况,得证.

   当 $[\mathbb{K}:\mathbb{F}]$ 无限时,任取 $n$ 个根在 $\mathbb{K}-\mathbb{F}$ 中的多项式 $f_i\in\mathbb{F}[x]$,得到 $\prod f_i\in\mathbb{F}[x]$ 的分裂域 $\mathbb{F}_1$,则 $[\mathbb{K}:\mathbb{F}] > [\mathbb{F}_1:\mathbb{F}] > n$.$\mathbb{F}_1\mathbb{F}$ 适用有限情况,其 Galois 群的元素数量等于其扩张次数,而由于 $[\mathbb{K}:\mathbb{F}]$ 无限,还能再取根在 $\mathbb{K}-\mathbb{F}_1$ 中的多项式 $g_i\in\mathbb{F}[x]\subseteq \mathbb{F}_1[x]$,构成更大的分裂域,得到更多自同构,因此必有

\begin{equation} \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F}) > \operatorname {Gal}(\mathbb{F}_1/\mathbb{F})=[\mathbb{F}_1:\mathbb{F}] > n \end{equation}
由 $n$ 的任意性,则可知 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})=\infty$.

   证毕

   由于 $\mathbb{C}$ 是 $x^2+1\in\mathbb{R}[x]$ 的分裂域,故易证扩张次数为 $2$,结合定理 7 就能确定 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$ 只有两个元素.显然,除了恒等映射以外,求共轭映射也是一个保 $\mathbb{R}$ 自同构,那这就已经找全了.

不变子域与 Galois 群

   给定 Galois 子域,总能唯一确定一个 Galois 群,其定义见定义 2 .于是,我们得到了从 Galois 子域集合到 Galois 群的一个映射.

   给定域的自同构群,总能唯一确定一个不变子域,其定义见定义 3 .于是,我们得到了从自同构集合到 Galois 子域集合的一个映射.

   现在的问题是,上述这两个集合映射是不是双射?即 Galois 子域和 Galois 群之间有没有一一对应关系?直觉上好像是的,但我们依然需要严谨的讨论来确认.

定义 3 不变子域

   给定域 $\mathbb{F}$,设 $G$ 是 $\mathbb{F}$ 的全体自同构群.

   取 $G$ 的子群 $H$,则集合 $\{a\in\mathbb{F}\mid \sigma(a)=a, \forall \sigma\in H\}$ 构成一个域,称为 $\mathbb{F}$ 的 $H$ 不变子域(fixed field of $H$,或译作 $H$ 固定子域,记为 $ \operatorname {Inv}_\mathbb{F}(H)$ 或 $ \operatorname {Fix}_\mathbb{F}(H)$.

   如果取 $H= \operatorname {Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})$,那么 $ \operatorname {Fix}_{\mathbb{C}}(H)=\mathbb{R}$.同样地,我们也可以直接给出更一般的情况:

定理 8 (Artin)

   给定域 $\mathbb{K}$,$G$ 是它的全体自同构群的有限子群.

   则 $\mathbb{K}/ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G)$ 是 Galois 扩张,且 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G))=G$.

   证明

   任取$\alpha\in\mathbb{K}$.由于 $G$ 是有限群,故其轨道是有限的,不妨记为 $G\alpha=\{\alpha_i\}_{i=1}^n$,其中 $\alpha_1=\alpha$,各 $\alpha_i$ 彼此不等.

   构造多项式 $f_\alpha(x)=\prod_{i=1}^n(x-\alpha_i)$.对于任意$\sigma\in G$,都有 $\sigma G=G$,因此 $\sigma(\{\alpha_i\})=\{\alpha_i\}$,即 $\sigma$ 是 $\{\alpha_i\}$ 的一个置换.于是,$f_\alpha$ 的各系数都在 $\sigma$ 下不变,即都是 $ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G)$ 的元素.因此,$f_\alpha$ 是 $\alpha$ 在 $ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G)$ 上的零化多项式.

   注意 $\alpha$ 的任意性.因此 $f$ 的最小多项式的根全都在 $\mathbb{K}$ 中,故 $\mathbb{K}/ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G)$ 是正规扩张.由于各 $\alpha_i$ 不相等,故 $\alpha$ 是 $ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G)$ 的可分元,故 $\mathbb{K}/ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G)$ 是可分扩张.由此得证$\mathbb{K}/ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G)$ 是 Galois 扩张.

   由不变子域的定义,显然 $G\subseteq \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G))$.

   由于任意元素 $\alpha\in\mathbb{K}$ 的轨道中元素数量不会超过 $ \left\lvert G \right\rvert $,$f_\alpha$ 的次数就是 $\alpha$ 轨道中的元素数量,以及 $f_\alpha$ 是 $\alpha$ 的零化多项式,可知任意$\alpha$ 的最小多项式次数不会超过 $ \left\lvert G \right\rvert $.因此,应用推论 3 ,可知 $[\mathbb{K}: \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G)]\leq \left\lvert G \right\rvert $.

   由定理 7 ,可知 $ \left\lvert \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G)) \right\rvert =[\mathbb{K}: \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G)]\leq \left\lvert G \right\rvert $,从而 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G))\subseteq G$.

   于是得证$G = \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G))$.

   证毕

   定理 8 暗示了自同构群和其不变子域的一一对应关系,即 “给定有限自同构群 $G$,则能被 $G$ 保持不变的元素,就只能被 $G$ 保持不变”——但是只针对 $G$ 有限的情况.这也体现在以下性质中,注意此处不再需要有限性,以及描述反过来了:

定理 9 

   设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是一个 Galois 扩张.则 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 的不变子域就是 $\mathbb{F}$.

   证明

   记 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})=G$,其不变子域为 $\mathbb{J}= \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(G)$.

   由 Galois 群的定义,$\mathbb{F}\subseteq\mathbb{J}$.

   任取 $\alpha\in\mathbb{K}-\mathbb{F}$,记 $f_\alpha= \operatorname {Irr}(\alpha, \mathbb{F})$.则 $f_\alpha$ 的次数大于 1,且是可分多项式,故 $\alpha$ 有关于 $\mathbb{F}$ 的共轭元 $\beta\neq \alpha$,且正规性保证了 $\beta\in\mathbb{K}$ 中.

   因此由定理 5 第 2 条可知,存在 $\sigma\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 使得 $\sigma(\alpha)=\beta$.于是 $\alpha\not\in \mathbb{J}$.因此 $\mathbb{J}\subseteq\mathbb{F}$.

   综上,$\mathbb{J}=\mathbb{F}$.

   证毕

   定理 9 可以简述为:“给定子域 $\mathbb{F}$,全体保 $\mathbb{F}$ 不变的同构,只能保 $\mathbb{F}$ 不变”.

总结

   我们归纳一下前面说到的两个定理.

   定理 8 是说 “给定有限自同构群 $G$,则 $G$ 的不变子域的 Galois 群就是 $G$”.

   定理 9 是说 “给定子域 $\mathbb{F}$,则 $\mathbb{F}$ 的 Galois 群的不变子域就是 $\mathbb{F}$”.

   这两句话,都没有完整指出 Galois 群和不变子域的一一对应关系.如果取无限自同构真子群 $G$,而它的不变子域的 Galois 群严格大于 $G$,这不违反以上两句话.

3. Galois 理论基本定理

   这一小节中,我们深入讨论上一小节引出的 “自同构群与不变子域的对应关系”.

引理 1 

   给定 Galois 扩张 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$,取它的三个中间域 $\mathbb{M}_1, \mathbb{M}_2, \mathbb{M}_3$,并令 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M}_i)=H_i$.则下列命题成立:

   1.$\mathbb{M}_1\subseteq \mathbb{M}_2 \iff H_1\supseteq H_2$;

   2.$\mathbb{M}_1=\mathbb{M}_2\mathbb{M}_3 \iff H_1=H_2\cap H_3$.

   证明

   1.

   $\mathbb{M}_1\subseteq\mathbb{M}_2 \iff$ 保 $\mathbb{M}_2$ 不变的同构也必保 $\mathbb{M}_1$ 不变 $\iff H_1\supseteq H_2$.

   2.

   $\mathbb{M}_1=\mathbb{M}_2\mathbb{M}_3\implies \mathbb{M}_1\supseteq\mathbb{M}_2\cup\mathbb{M}_3\implies H_1\subseteq H_2\cap H_3$.

   $\mathbb{M}_1=\mathbb{M}_2\mathbb{M}_3\implies$ 保 $\mathbb{M}_2$ 和 $\mathbb{M}_3$ 都不变的同构,必保 $\mathbb{M}_1$ 不变 $\implies H_2\cap H_3\subseteq H_1$.

   综合这两条逻辑链,得 $\mathbb{M}_1=\mathbb{M}_2\mathbb{M}_3 \implies H_1=H_2\cap H_3$.

   $H_1=H_2\cap H_3\iff$“自同构保 $\mathbb{M}_1$ 不变当且仅当它保 $\mathbb{M}_2$ 和 $\mathbb{M}_3$ 都不变”$\implies \mathbb{M}_1\subseteq\mathbb{M}_2\mathbb{M}_3$1

   $H_1=H_2\cap H_3\iff$“自同构保 $\mathbb{M}_1$ 不变当且仅当它保 $\mathbb{M}_2$ 和 $\mathbb{M}_3$ 都不变”$\implies \mathbb{M}_1\supseteq\mathbb{M}_2\mathbb{M}_3$2

   综合这两条逻辑链,得 $H_1=H_2\cap H_3 \implies \mathbb{M}_1=\mathbb{M}_2\mathbb{M}_3$.

   证毕

定理 10 

   给定有限Galois 扩张 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$,取它的两个中间域 $\mathbb{M}_1, \mathbb{M}_2$,并令 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M}_i)=H_i$.则下列命题成立:

   1.$ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M}_1\cap\mathbb{M}_2)= < H_1, H_2 > $3

   2.$\mathbb{M}_1$ 和 $\mathbb{M}_2$ 关于 $\mathbb{F}$ 共轭 $\iff H_1$ 和 $H_2$ 在 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 中共轭.

   证明

   1.

   由于 $H_1$ 和 $H_2$ 中的同构都能保 $\mathbb{M}_1$ 和 $\mathbb{M}_2$ 不变,故 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M}_1\cap\mathbb{M}_2)\supseteq < H_1, H_2 > $.

   由于是有限扩张及可分扩张,故据推论 2 ,$\mathbb{M}_i=\mathbb{M}_1\cap\mathbb{M}_2(\alpha_i)$.显然,$\alpha_2\not\in\mathbb{M}_1$.

   设 $f\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M}_1\cap\mathbb{M}_2)$,再任取 $h\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M}_1)$,则据定理 6 ,$h$ 可开拓为 $\mathbb{K}\to\mathbb{K}$ 的保 $\mathbb{M}_1$ 自同构,其中 $h(\alpha_2)=f(\alpha_2)$.于是 $h^{-1}\circ f\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M}_2)$.因此,$f$ 必定是 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M}_i)$ 中元素相乘的结果.

   2.

   $\implies$:

   由题设,存在 $\sigma\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$,使得 $\sigma \mathbb{M}_1=\mathbb{M}_2$.

   任取 $f\in H_1$,则易证 $\sigma f\sigma^{-1}\in H_2$.因此 $\sigma H_1\sigma^{-1}=H_2$4

   $\impliedby$:

   由题设,存在 $\sigma\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$,使得 $\sigma H_1\sigma^{-1}=H_2$.

   任取 $a\in\mathbb{M}_{1}$,则 $H_2 \sigma a=\sigma H_1\sigma^{-1}\sigma a=\sigma H_1 a=\sigma a$.因此,$\sigma a\in \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(H_2)$,或者说 $\sigma\mathbb{M}_1\subseteq \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(H_2)$.由定理 9 ,$ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(H_2)=\mathbb{M}_2$.

   故 $\sigma\mathbb{M}_1\subseteq\mathbb{M}_2$.

   对偶地,可证得 $\mathbb{M}_1\supseteq\sigma^{-1}\mathbb{M}_2$.

   因此 $\sigma\mathbb{M}_1=\mathbb{M}_2$.

   证毕

   接下来的性质,和群同态基本定理非常相似.

定理 11 

   设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是Galois 扩张(不要求有限),且存在中间域 $\mathbb{M}$.

   则 $\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 是正规扩张 $\iff$ $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K/\mathbb{M}})\vartriangleleft \operatorname {Gal}(\mathbb{K/\mathbb{F}})$,且 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{M}/\mathbb{F})\cong \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})/ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$.

   证明

   $\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 是正规扩张 $\iff$ 对于任意 $\sigma\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$,都有 $\sigma\mathbb{M}=\mathbb{M}$ $\iff$ 对于任意 $f\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$,都有 $\sigma f \sigma^{-1}\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$5 $\iff \operatorname {Gal}(\mathbb{K/\mathbb{M}})\vartriangleleft \operatorname {Gal}(\mathbb{K/\mathbb{F}})$.

   利用映射的限制,构造 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})\to \operatorname {Gal}(\mathbb{M}/\mathbb{F})$ 的映射,记为 $\varphi$,其定义为:$\varphi(\sigma) = \sigma\mid_{\mathbb{M}}$.显然,由于是限制映射,$\varphi$ 是一个群同态.

   取 $\sigma\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$,则 $\varphi(\sigma)= \operatorname {id}\mid_{\mathbb{M}}$ 当且仅当 $\sigma$ 保 $\mathbb{M}$ 不变,即 $\sigma\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$.因此,$ \operatorname {ker}\varphi= \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$.

   于是得证 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{M}/\mathbb{F})\cong \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})/ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$.

   证毕

   注意一点:由定理 3 ,$\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 是正规扩张 $\iff$ $\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 是Galois扩张.

定理 12 

   设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是有限Galois 扩张,且存在中间域 $\mathbb{M}$.

   则 $ \left\lvert \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F}) \right\rvert / \left\lvert \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M}) \right\rvert =[\mathbb{M}:\mathbb{F}]$.

   证明

   由推论 2 ,有限 Galois 扩张都是单代数扩张.由定理 2 ,$\mathbb{K}/\mathbb{M}$ 也是有限 Galois 扩张.

   设 $\mathbb{K}=\mathbb{F}(\alpha)$,则 $\mathbb{K}=\mathbb{M}(\alpha)$.记 $f= \operatorname {Irr}(\alpha, \mathbb{F})$,$h= \operatorname {Irr}(\alpha, \mathbb{M})$.

   由定理 5 ,$ \left\lvert \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F}) \right\rvert =\deg f$,$ \left\lvert \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F}) \right\rvert =\deg h$.

   由定理 2 ,$[\mathbb{K}:\mathbb{F}]=\deg f$,$[\mathbb{K}:\mathbb{F}]=\deg h$.又由定理 4 ,$[\mathbb{M}:\mathbb{F}]=[\mathbb{K}/\mathbb{F}]/[\mathbb{K}/\mathbb{M}]$.

   综上,

\begin{equation} \left\lvert \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F}) \right\rvert / \left\lvert \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M}) \right\rvert =\deg f/\deg h=[\mathbb{M}:\mathbb{F}] \end{equation}

   证毕

   定理 12 实际上可以去掉 “有限” 的要求,参见引理 2

定理 13 

   设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是有限Galois 扩张,$\mathbb{E}/\mathbb{F}$ 是域扩张,且域合成 $\mathbb{KE}$ 存在.

   则 $\mathbb{KE}/\mathbb{E}$ 和 $\mathbb{K}/\mathbb{K}\cap\mathbb{E}$ 都是有限 Galois 扩张,且 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{KE}/\mathbb{E})\cong \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{K}\cap\mathbb{E})$.

   证明

   由于 $\mathbb{E}\mathbb{F}=\mathbb{E}$,据定理 4 ,知 $\mathbb{KE}/\mathbb{E}$ 是 Galois 扩域.设 $\{\alpha_i\}_{i=1}^n$ 是 $\mathbb{K}$ 作为 $\mathbb{F}$ 上线性空间的基,即 $\mathbb{K}$ 中元素都形如 $\sum c_i\alpha_i$,其中 $c_i\in\mathbb{F}$;那么 $\mathbb{KE}$ 中元素都形如 $\sum e_ic_i\alpha_i$,其中 $e_i\in\mathbb{E}$;且有 $e_ic_i\in\mathbb{E}$.于是,$\{\alpha_i\}_{i=1}^n$ 也是 $\mathbb{K}$ 作为 $\mathbb{E}$ 上线性空间的基,从而得证有限性.

   $\mathbb{K}\cap\mathbb{E}$ 是 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 的中间域,故由定理 2 知 $\mathbb{K}/\mathbb{K}\cap\mathbb{E}$ 是 Galois 扩张,由定理 4 知有限性.

   下证 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{KE}/\mathbb{E})\cong \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{K}\cap\mathbb{E})$.

   注意 $\mathbb{KE}\cap \mathbb{K}=\mathbb{K}$.构造群同态$\varphi: \operatorname {Gal}(\mathbb{KE}/\mathbb{E})\to \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{K}\cap\mathbb{E})$,定义为 $\varphi (\sigma) = \sigma\mid_{\mathbb{K}}$.显然这是一个满同态

   如果存在 $\sigma_1, \sigma_2\in \operatorname {Gal}(\mathbb{KE}/\mathbb{E})$,使得 $\varphi(\sigma_1)=\varphi(\sigma_2)$,则 $\sigma_1\sigma_2^{-1}$ 保 $\mathbb{K}$ 不变.又因为 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 都保 $\mathbb{E}$ 不变,故 $\sigma_1\sigma_2^{-1}$ 保 $\mathbb{KE}$ 不变.由此可知,$\sigma_1=\sigma_2$.因此 $\varphi$ 是单同态

   综上,$\varphi$ 是一个群同构.

   证毕

定理 14 Galois 理论基本定理(Fundamental Theorem of Galois Theory)

  

   设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是一个有限的 Galois 扩张,则以下命题成立:

   1.设存在中间域 $\mathbb{M}$,则 $\mathbb{K}/\mathbb{M}$ 也是有限 Galois 扩张,且 $\mathbb{M}= \operatorname {Fix}_\mathbb{K}( \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M}))$.

   2.设 $H$ 是 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 的子群,则 $\mathbb{M}= \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(H)$ 是 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 的中间域,且 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})=H$.

   证明

   1.

   据定理 13 ,取 $\mathbb{M}=\mathbb{E}$ 即得 $\mathbb{K}/\mathbb{M}$ 是有限 Galois 扩张.又由定理 9 ,得 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$ 的不变子域就是 $\mathbb{M}$.

   2.

   显然,$H$ 保 $\mathbb{F}$ 不变,所以 $H$ 的不变子域包含 $\mathbb{F}$,从而 $ \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(H)$ 是 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 的中间域.

   由推论 2 ,存在 $\alpha\in\mathbb{K}$ 使得 $\mathbb{K}=\mathbb{F}(\alpha)$.又由定理 4 定理 5 知,$ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 本身就是有限群,因此适用 Artin定理 8 ,从而得证.

   证毕


1. ^ 最后这个箭头是因为,如果存在 $\alpha\in\mathbb{M}_1-\mathbb{M}_2\mathbb{M}_3$,那么由可分性,$\alpha$ 必有关于 $\mathbb{M}_2\mathbb{M}_3$ 的共轭,那么存在一个保 $\mathbb{M}_2\mathbb{M}_3$ 的同构,将 $\alpha$ 映射到它的共轭上,从而该同构不保 $\mathbb{M}_1$ 不变,即 $H_1\subsetneq H_2\cap H_3$.因此,$\alpha$ 不存在.
2. ^ 道理和前一条类似,不能存在 $\alpha\in\mathbb{M}_2\mathbb{M}_3-\mathbb{M}_1$,否则可以构造出保 $\mathbb{M}_1$ 但不保 $\mathbb{M}_2\mathbb{M}_3$ 的同构,使得 $H_1\supsetneq H_2\cap H_3$.
3. ^ $ < H_1, H_2 > $ 即由 $H_1\cup H_2$ 生成的 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 的子群.
4. ^ 看起来,$\sigma f\sigma^{-1}\in H_2$ 比 $\sigma H_1\sigma^{-1}=H_2$ 更强,实际上在 Galois 理论范围内这二者是等价的(?),原因正是 Galois 群和不变子域的对应性.
5. ^ 因为任取 $a\in\mathbb{M}$,都有 $\sigma f \sigma^{-1} a=a$.


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