群

贡献者： addis; JierPeter; 叶月2_

预备知识　逻辑量词，整数，映射

1. 基本概念

　　群是一种描述对称的数学对象，几乎每一个对称现象的背后都有一个群。群论起源于伽罗瓦对于五次以上代数方程求根公式的思考，后被应用到了数学和物理的诸多领域当中。

　　我们在 “映射” 的式 3 中定义了二元运算为映射 $A \times B \to C$ ，如果 $A = B = C$ ，即一个集合中的任意两个元素运算后的结果仍然在这个集合中，那么我们说这个二元运算是封闭的（closed），有的地方也会称作闭合的。二元运算的符号可以任意决定，如果使用 $\cdot$ 作为运算符，那么二元运算就可以简单写为 $a \cdot b = c$ 。注意，这里的 $\cdot$ 只是表示某一个运算，不一定是我们通常的乘法或点乘运算。

定义 1　群

　　一个群 $(G, \cdot)$ 是在集合 $G$ 上赋予了一个二元运算 $\cdot$ 的结构，该运算满足以下要求：

封闭性（closure）： $\forall x, y \in G, x \cdot y \in G$ ，即任意 $G$ 中元素 $x$ , $y$ 满足 $x \cdot y$ 仍是 $G$ 中元素
结合性（associativity）： $\forall x, y, z \in G, x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z$
单位元（identity element）存在性： $\exists e \in G, \forall x \in G, e \cdot x = x \cdot e = x$
逆元（inverse element）存在性： $\forall x \in G, \exists y \in G, x \cdot y = y \cdot x = e$ 。通常我们会把这样的 $y$ 称作 $x$ 的逆元，并记为 $x^{- 1}$

　　严格来说，这样的一个群应该表示为 $(G, \cdot)$ ，而 $G$ 表示的是没有赋予运算的集合。但是为了方便，我们通常也会直接把上述定义的群叫做群 $G$ 。

　　实际上，我们可以用更为弱化的公理系统来定义群，比如第 4 条只要求存在左逆元，即只要求 $\forall x \in G, \exists y \in G, y \cdot x = e$ 。在这种情况下我们仍然可以证明左逆元都是右逆元（定理 3 ）。有很多不同的弱化版本公理系统也能等价地定义出群来，但是为了方便理解，我们用了以上对称的公理系统。

　　集合的元素数量被称为集合的基数或势，而群 $G$ 的元素数量也可以称为群的阶（order），记作 $| G |$ 。阶数有限的群称为有限群。以后如果没有特别说明，默认将群元素 $x$ 的逆元记为 $x^{- 1}$ ，将群的单位元记为 $e$ 。

　　如果群 $G$ 是有限的，那么由封闭性知，对于任意元素 $a$ 都必存在 $n \in N$ ，使得 $a^{n} = e$ ，把最小正整数称之为群元素的阶。关于群元素的阶 $O (a)$ ，有以下命题：

定理 1　

$O (a) = O (a^{- 1})$ 。
设任意 $g \in G$ ，有 $O (g a g^{- 1}) = O (a)$ 。
若 $O (a) = n$ ，则 $O (a^{r}) = \frac{n}{(n, r)}$ ， $(n, r)$ 表示最大公因子。

　　 proof.

　　只证明最后一条。设 $(n, r) = d, O (a^{r}) = k$ 。

　　因为 $a^{\frac{r}{d} n} = e$ ，因此 $k | \frac{n}{d}$ 。要证明 $k = \frac{n}{d}$ ，只需要证明 $\frac{n}{d} | k$ 即可。因为 $a^{r k} = e$ ，则 $n | r k$ ，所以 $\frac{n}{d} | \frac{r}{d} k$ 。又因为 $d$ 是 $n$ 和 $r$ 的最大公因子，所以 $(\frac{n}{d}, \frac{r}{d}) = 1$ ，则 $\frac{n}{d} | k$ ，证毕。

习题 1　

　　证明共轭子群定义 6 的阶和原群相同。

2. 群的例子

习题 2　二元群

　　定义一个只含有两个元素的集合，记为 ${0, 1}$ 。在这个集合上定义运算 “ $+$ ”，由于只有四种运算方式，所以可以通过列举出每一个运算的结果来定义这个运算：

\begin{matrix} (1) & 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0 . \end{matrix}

请用一个 $2 \times 2$ 的表格表示运算规则
请根据定义 1 验证这个二元集合配上运算 $+$ 构成一个群

　　在以上例子中，0 可以理解为 “偶数”，1 可以理解为 “奇数”，而群的运算可以理解为奇数加奇数=偶数加偶数=偶数，而奇数加偶数=奇数。另外，注意尽管 $0 + 1 = 1 + 0$ ，我依然把它们分别单独写了出来，这是因为群的定义不要求交换律成立，也就是说，群运算允许 $x \cdot y \neq y \cdot x$ 。群元素选为 $0$ 和 $1$ 没有特殊原因，只是代表这是群里两个不同的元素而已，任何由两个元素构成的群我们都看作同一个。运算满足交换律的群被称为阿贝尔群（abelian group）或交换群（commutative group），否则称为非阿贝尔群（non-abelian group）或非交换群（non-commutative group）。习惯上，我们把阿贝尔群的运算叫做加法，记为 “ $+$ ”，而把非阿贝尔群的运算叫做乘法，记为 “ $\cdot$ ”，甚至简化为没有符号，比如 $a b \neq b a$ 。不过，即使是非阿贝尔群中也可能存在两个元素 $a$ 和 $b$ ，使得 $a b = b a$ ；这时我们说 $a$ 和 $b$ 交换（commute）。

　　一般地，由于在朴素集合论中我们最多只讨论了集合的基数问题，集合中的元素具体如何命名是没有约束的，因此在集合论意义下元素数目相同的集合都看作同一个。比如说，我们认为 ${Δ, 3, K}$ 和 ${1, 2, 3}$ 是同一个集合。而现在在集合上定义了一个群运算以后所得到的群，即使构成它们的集合相同，群也可能由群运算的不同而产生不同的结构，从而被看作是不同的群。

例 1　整数加法群

　　所有整数的集合 $Z$ ，配合通常的整数加法运算构成一个群。

例 2　 $n$ 元循环群

　　取一个由 $n$ 个元素组成的集合 $G$ ，由于集合元素命名的任意性，不妨把 $G$ 记为 ${0, 1, \dots n - 1}$ ，定义运算为模 $n$ 的加法，即在一个有 $n$ 个整点的钟表上的加法（见 “整数”）。那么这个运算构成 $G$ 上的一个群运算，所构成的群 $G$ 称为 $n$ 元循环群（n-element cyclic group），通常记为 $C_{n}$ 或者 $Z / n Z$ 。

　　命名为 $C_{n}$ 是取 “cyclic” 的含义，而命名为 $Z / n Z$ 是为了说明循环群是整数加法群 $Z$ 的商群（例 1 ），而商群是将来会提到的重要概念。

例 3　 $n$ 元置换群

　　首先给定一个 $n$ 元集合，记作 $K = {1, 2, \dots, n}$ ，并将 $K$ 中的元素按现有的顺序编号。把 $K$ 看作是 $n$ 个桶中分别装了 1 个写着编号的球，初始状态下球的编号和桶的编号一致。我们可以把球从桶里面拿出来并进行任意的置换，保持每个桶里还是只有一个球，但是球的编号不一定和桶的编号一致了。每一个置换可以详细描述为 “把 1 号桶的球和 2 号桶的球交换”，“把 1 号桶的球放入 3 号桶，3 号桶的放入 4 号桶，4 号桶的放入 1 号桶” 等等。

　　我们用全体 “置换” 动作，即所有 $K$ 到自身的一一映射，来作为元素，构成一个集合，称作 $n$ 个元素的置换集合（ $n$ 元置换集），记为 $S_{n}$ 。 $S_{n}$ 一共有 $n!$ 个元素¹。从原始状态进行任意置换，所得到的结果状态和置换是一一对应的，所以我们也可以用 “从原始状态进行置换 $f$ 所得的结果” 来表示置换 $f$ 本身。

　　置换之间可以定义一个运算 “ $\circ$ ”，被称为置换间的复合，它是这样定义的：如果 $f$ 和 $g$ 是两个置换，那么 $g \circ f$ 就是先进行 $f$ 置换，再进行 $g$ 置换。注意先后次序是从右到左进行的。

　　我们也可以这样来理解一个置换：原始状态下， $n$ 号桶中的小球为 $n$ 。进行一次 $f$ 置换后， $n$ 号桶中的小球就变成了 $f (n)$ ，再进行一次 $g$ 置换，那么 $n$ 号桶中现在装的小球就变为 $g (f (n))$ 。这个过程也可以看成是进行了一次 $g \circ f$ 运算，让 $n$ 号桶中的小球变成 $g \circ f (n)$ 。

　　现在我们有了一个由置换组成的集合以及置换之间的运算，我们来验证在这个运算下，所有的置换构成一个群：

显然，任意两个置换的复合还是一个置换，因此该运算是封闭的。
映射的符合满足结合律可以通过带入任何一个 $K$ 中的数字来验证。
单位元素是恒等映射，即保持所有数字不动的映射。
任意一个置换 $f$ 由于是满射，所以对于每一个 $K$ 中的数字 $i$ ,都存在原像 $j$ 满足 $f (j) = i$ ，又因为 $f$ 是单射，所以原像唯一。定义 $f^{- 1} : K \to K$ 把每一个 $i$ 对应到它的唯一的原像。可以验证，这样定义了 $f$ 的逆元。

　　因此， $(S_{n}, \circ)$ 是一个群。注意当 $n > 2$ 时 $S_{n}$ 是不交换（非阿贝尔）的。

　　在以上两个例子中可以看到，尽管元素数量一样， $Z_{24}$ 和 $S_{4}$ 的元素数量都是 24，但是前者是阿贝尔群，后者则不交换，显然两个群的运算结构不可能一样。这是一个集合论意义上等价但群论意义上不等价的例子，换句话说，同一个集合上有时可以定义多个不同的运算使之成为不同的群。

例 4　二面体群

　　对称性的意思，是在某种变换（通常是翻转变换或者旋转变换）下保持不变的性质。比如说，平面上的一个正方形，绕着几何中心旋转角度为 $π / 4$ （即角度制下的 $90^{\circ}$ ）的时候和没有旋转是完全重合的，那么我们就说正方形是关于角度为 $π / 4$ 的旋转对称的。所有能够使得这个正方形不变的平面变换，比如特定角度的旋转、关于特定轴的翻转，配上变换间的复合运算（即先进行一个变换，再进行另一个），构成了一个 8 阶群（其元素构成为恒等变换， $π / 4$ 的倍数的旋转和沿着四条对称轴的翻转），称为这个正方形的二面体群（dihedral group）记为 $D_{8}$ 。感兴趣的读者可以尝试验证这些变换的复合是封闭的。一般的，对于任意一个正多边形，保持其位置不变的旋转和翻转都会构成的一个群，统称为二面体群，记作 $D_{n}$ 。

　　对称群的概念非常重要且常见。只要有 “不变性” 概念存在的地方就可能存在对称群。一个事物的对称群的结构揭示了这个事物的不变性的特点。

习题 3　

　　证明

实数集 $R$ 以及通常的加法构成一个群。
实数集 $R$ 除去 $0$ 的集合，以及通常的乘法构成一个群。

例 5　 $n$ 阶可逆方阵群

　　给定域 $F$ 上，全体 $n \times n$ 可逆矩阵构成的集合，配上矩阵乘法就构成了一个非阿贝尔群。

　　这样的群被简记为 $G L (n, F)$ 。当不至于混淆时，这里的 $F$ 一般会指全体实数或者全体复数，这时也会把该群简记为 $G L (n)$ 。多数情况下， $G L (n)$ 也是不交换的。

例 6　映射群

　　给定两个集合 $S$ 和 $T$ ，考虑从 $S$ 到 $T$ 的所有映射构成的集合，记为 $M$ 。映射之间有复合运算， $M$ 配上复合以后，构成一个半群（其准确定义见下）。

　　 $M$ 中全体双射构成的集合，在复合运算下构成群。

习题 4　

　　考虑实函数构成的集合 $R$ ，记 $R^{*}$ 是全体恒不等于零的函数的集合。对于两个实函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ ，定义它们的加法为： $(f + g) (x) = f (x) + g (x)$ ；定义乘法为： $(f \times g) (x) = f (x) g (x)$ 。

　　证明 $(R, +)$ 和 $(R^{*}, \times)$ 都是阿贝尔群。

　　证明 $(R^{*} \cup {0}, +)$ 也构成阿贝尔群。

3. 半群与幺半群

　　群的一种扩展是半群。较群而言，半群只要求封闭性和结合性，而抛弃了单位元存在性和逆元存在性。其严格定义如下：

定义 2　半群

　　一个半群 $(G, \cdot)$ 是在集合 $G$ 上赋予了一个二元运算 $\cdot$ 的结构，该运算满足封闭性和结合性。

　　显然群是一种特殊的半群，而半群不一定为群。特别地，有着单位元的半群叫作幺半群，其定义如下：

定义 3　幺半群

　　若一个半群 $(G, \cdot)$ 满足： $\exists e \in G, \forall x \in G, e \cdot x = x \cdot e = x$ ，则称其为幺半群，其中 $e$ 称为它的幺元或单位元。

例 7　自然数加法幺半群

　　自然数集 $N = {0, 1, 2, \dots}$ ，配合通常的加法运算构成一个幺半群。

例 8　形如 $x^{2} + d y^{2}$ 的整数幺半群

　　任给整数 $d$ ，所有形如 $x^{2} + d y^{2} (x, y \in Z)$ 按通常的乘法构成幺半群。注意它对乘法封闭： $(x^{2} + d y^{2}) (u^{2} + d v^{2}) = x^{2} u^{2} + d^{2} y^{2} v^{2} + d (x^{2} v^{2} + y^{2} u^{2}) = (u x + d v y)^{2} + d (v x - u y)^{2} .$

4. 唯一性定理

　　群中的单位元和每个元素的逆元都是唯一的：

定理 2　群运算满足消去律

　　给定一个群 $G$ ，若对于 $a, b \in G$ 有某个 $x \in G$ 使得 $a x = b x$ ，那么必然有 $a = b$ ；类似地，如果 $x a = x b$ ，也必然有 $a = b$ 。

　　该定理的证明留作习题²。

　　唯一性是所有群都有的性质，但是等到我们讨论环的时候，由于环的乘法不要求逆元一定存在，我们没法对环证明这个唯一性。事实上，很多环都没有唯一性。

习题 5　单位元的唯一性

　　从定理 2 可知左右单位元分别是唯一的。请证明左单位 $e_{1}$ 元等于右单位元 $e_{2}$ （提示：将它们相乘）。

定理 3　逆元的唯一性

　　在一个群中，对任意 $x$ ，假设它存在一个左逆元 $a$ ，那么我们必然有 $a x = e$ 。考虑结合性可知， $a e = a = e a = (a x) a = a (x a)$ ，于是 $x a = e$ ，即 $a$ 也是 $x$ 的右逆元。也就是说，一个群里的元素只要有左逆元，那么右逆元也存在，并且等于左逆元。反之亦然。

习题 6　

　　证明 $(a b)^{- 1} = b^{- 1} a^{- 1}$

1. ^ $n$ 个桶各里装了 1 个小球，1 号桶有 $n$ 种装球的可能性，2 号桶因此还剩下 $n - 1$ 中可能性，以此类推，这 $n$ 个桶一共有 $n \times (n - 1) \times \dots \times 1$ 种装球的可能性，每种可能性对应一个从初始状态而来的置换方式。因此，置换的数量一共有 $n \times (n - 1) \times \dots \times 1 = n!$ 种
2. ^ 提示：用 $x^{- 1}$ 去参与运算试试

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群

1. 基本概念

定义 1 群

定理 1

习题 1

2. 群的例子

习题 2 二元群

例 1 整数加法群

例 2 n 元循环群

例 3 n 元置换群

例 4 二面体群

习题 3

例 5 n 阶可逆方阵群

例 6 映射群

习题 4

3. 半群与幺半群

定义 2 半群

定义 3 幺半群

例 7 自然数加法幺半群

例 8 形如 x2+dy2 的整数幺半群

4. 唯一性定理

定理 2 群运算满足消去律

习题 5 单位元的唯一性

定理 3 逆元的唯一性

习题 6

定义 1　群

定理 1　

习题 1　

习题 2　二元群

例 1　整数加法群

例 2　 $n$ 元循环群

例 3　 $n$ 元置换群

例 4　二面体群

习题 3　

例 5　 $n$ 阶可逆方阵群

例 6　映射群

习题 4　

定义 2　半群

定义 3　幺半群

例 7　自然数加法幺半群

例 8　形如 $x^{2} + d y^{2}$ 的整数幺半群

定理 2　群运算满足消去律

习题 5　单位元的唯一性

定理 3　逆元的唯一性

习题 6　