预备知识 逻辑量词,整数,映射

1. 基本概念

   群是一种描述对称的数学对象,几乎每一个对称现象的背后都有一个群.群论起源于伽罗瓦对于五次以上代数方程求根公式的思考,后被应用到了数学和物理的诸多领域当中.

   我们在 “映射” 的式 3 中定义了二元运算为 $A \times B \to C$,如果 $A = B = C$,即一个集合中的任意两个元素运算后的结果仍然在这个集合中,那么我们说这个二元运算是封闭的(closed),有的地方也会称作 “闭合的”.二元运算的符号可以任意决定,如果使用 $\cdot$ 作为运算符,那么二元运算就可以简单写为 $a \cdot b=c$.注意,这里的 $\cdot$ 只是表示某一个运算,不一定是我们通常的乘法或点乘运算.

定义 1 群

   一个群 $(G, \cdot)$ 是在集合 $G$ 上赋予了一个二元运算 $\cdot$ 的结构,该运算满足以下要求:

  1. 封闭性(closure):$\forall x, y\in G, x\cdot y\in G$,即任意 $G$ 中元素 $x$,$y$ 满足 $x\cdot y$ 仍是 $G$ 中元素
  2. 结合性(associativity):$\forall x, y, z\in G, x\cdot(y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$
  3. 单位元(identity element)存在性:$\exists e\in G, \forall x\in G, e\cdot x=x\cdot e=x$
  4. 逆元(inverse element)存在性:$\forall x\in G, \exists y\in G, x\cdot y=y\cdot x=e$.通常我们会把这样的 $y$ 称作 $x$ 的逆元,并记为 $x^{-1}$

   严格来说,这样的一个群应该表示为 $(G,\cdot)$,而 $G$ 表示的是没有赋予运算的集合.但是为了方便讨论,我们通常也会直接用定义群的这个集合来称呼这个群,比如简单地把上述定义的群叫做群 $G$.

   实际上,我们可以用更为弱化的公理系统来定义群,比如第 4 条只要求存在左逆元,即只要求 $\forall x\in G, \exists y\in G, y\cdot x=e$.在这种情况下我们仍然可以证明左逆元都是右逆元(定理 2 ).有很多不同的弱化版本公理系统也能等价地定义出群来,但是为了方便理解,我们用了以上对称的公理系统.

   集合的元素数量被称为集合的基数,而群 $G$ 的元素数量也可以称为群的阶(order),记作 $|G|$.阶数有限的群称为有限群.以后如果没有特别说明,默认将群元素 $x$ 的逆元记为 $x^{-1}$,将群的单位元记为 $e$.

2. 群的例子

习题 1 二元群

   定义一个只含有两个元素的集合,记为 $\{0, 1\}$.在这个集合上定义运算 “$+$”,由于只有四种运算方式,所以可以通过列举出每一个运算的结果来定义这个运算:

\begin{equation} 0+0=0 \qquad 0+1=1 \qquad 1+0=1 \qquad 1+1=0 \end{equation}

  • 请用一个 $2\times2$ 的表格表示运算规则
  • 请根据定义 1 验证这个二元集合配上运算 $+$ 构成一个群

   在以上例子中,0 可以理解为 “偶数”,1 可以理解为 “奇数”,而群的运算可以理解为奇数加奇数等于偶数加偶数是偶数,而奇数加偶数是奇数.另外,注意尽管 $0+1=1+0$,我依然把它们分别单独写了出来,这是因为群的定义不要求交换律成立,也就是说,群运算允许 $x\cdot y\neq y\cdot x$.群元素选为 $0$ 和 $1$ 没有特殊原因,只是代表这是群里两个不同的元素而已,任何由两个元素构成的群我们都看作同一个.运算满足交换律的群被称为阿贝尔群(abelian group)交换群(commutative group),否则称为非阿贝尔群(non-abelian group)非交换群(non-commutative group).习惯上,我们把阿贝尔群的运算叫做加法,记为 “$+$”,而把非阿贝尔群的运算叫做乘法,记为 “$\cdot$”,甚至简化为没有符号,比如 $ab\not= ba$.不过,即使是非阿贝尔群中也可能存在两个元素 $a$ 和 $b$,使得 $ab=ba$;这时我们说 $a$ 和 $b$ 交换(commute)

   一般地,由于在朴素集合论中我们最多只讨论了集合的基数问题,集合中的元素具体如何命名是没有约束的,因此在集合论意义下元素数目相同的集合都看作同一个.比如说,我们认为 $\{\Delta,3, K\}$ 和 $\{1,2,3\} $ 是同一个集合.而现在在集合上定义了一个群运算以后所得到的群,即使构成它们的集合相同,群也可能由群运算的不同而产生不同的结构,从而被看作是不同的群.

例 1 整数加法群

   所有整数的集合 $\mathbb Z$,配合通常的整数加法运算构成一个群.

例 2 $n$ 元循环群

   取一个由 $n$ 个元素组成的集合 $G$,由于集合元素命名的任意性,不妨把 $G$ 记为 $\{0, 1, \cdots n-1\}$,定义运算为模 $n$ 的加法,即在一个有 $n$ 个整点的钟表上的加法(见 “整数”).那么这个运算构成 $G$ 上的一个群运算,所构成的群 $G$ 称为 $n$ 元循环群(n-element cyclic group),通常记为 $C_n$ 或者 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

   命名为 $C_n$ 是取 “cyclic” 的含义,而命名为 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是为了说明循环群是整数加法群 $\mathbb{Z}$ 的商群(例 1 ),而商群是将来会提到的重要概念.

例 3 $n$ 元置换群

   首先给定一个 $n$ 元集合,记作 $K=\{1,2, \cdots, n\}$,并将 $K$ 中的元素按现有的顺序编号.把 $K$ 看作是 $n$ 个桶中分别装了 1 个写着编号的球,初始状态下球的编号和桶的编号一致.我们可以把球从桶里面拿出来并进行任意的置换,保持每个桶里还是只有一个球,但是球的编号不一定和桶的编号一致了.每一个置换可以详细描述为 “把 1 号桶的球和 2 号桶的球交换”,“把 1 号桶的球放入 3 号桶,3 号桶的放入 4 号桶,4 号桶的放入 1 号桶” 等等.

   我们用全体 “置换” 动作,即所有 $K$ 到自身的一一映射,来作为元素,构成一个集合,称作 $n$ 个元素的置换集合($n$ 元置换集),记为 $S_n$.$S_n$ 一共有 $n!$ 个元素1从原始状态进行任意置换,所得到的结果状态和置换是一一对应的,所以我们也可以用 “从原始状态进行置换 $f$ 所得的结果” 来表示置换 $f$ 本身.

   置换之间可以定义一个运算 “$\circ$”,被称为置换间的复合,它是这样定义的:如果 $f$ 和 $g$ 是两个置换,那么 $g\circ f$ 就是先进行 $f$ 置换,再进行 $g$ 置换.注意先后次序是从右到左进行的.

   我们也可以这样来理解一个置换:原始状态下,$n$ 号桶中的小球为 $n$.进行一次 $f$ 置换后,$n$ 号桶中的小球就变成了 $f(n)$,再进行一次 $g$ 置换,那么 $n$ 号桶中现在装的小球就变为 $g(f(n))$.这个过程也可以看成是进行了一次 $g\circ f$ 运算,让 $n$ 号桶中的小球变成 $g\circ f(n)$.

   现在我们有了一个由置换组成的集合以及置换之间的运算,我们来验证在这个运算下,所有的置换构成一个群:

  • 显然,任意两个置换的复合还是一个置换,因此该运算是封闭的.
  • 映射的符合满足结合律可以通过带入任何一个 $K$ 中的数字来验证.
  • 单位元素是恒等映射,即保持所有数字不动的映射.
  • 任意一个置换 $f$ 由于是满射,所以对于每一个 $K$ 中的数字 $i$,都存在原像 $j$ 满足 $f(j)=i$,又因为 $f$ 是单射,所以原像唯一.定义 $f^{-1}:K\rightarrow K$ 把每一个 $i$ 对应到它的唯一的原像.可以验证,这样定义了 $f$ 的逆元.

   因此,$(S_n, \circ)$ 是一个群.注意当 $n > 2$ 时 $S_n$ 是不交换(非阿贝尔)的.

   在以上两个例子中可以看到,尽管元素数量一样,$\mathbb{Z}_{24}$ 和 $S_4$ 的元素数量都是 24,但是前者是阿贝尔群,后者则不交换,显然两个群的运算结构不可能一样.这是一个集合论意义上等价但群论意义上不等价的例子,换句话说,同一个集合上有时可以定义多个不同的运算使之成为不同的群.

例 4 二面体群

   对称性的意思,是在某种变换(通常是翻转变换或者旋转变换)下保持不变的性质.比如说,平面上的一个正方形,绕着几何中心旋转角度为 $\pi/4$(即角度制下的 $90^\circ$)的时候和没有旋转是完全重合的,那么我们就说正方形是关于角度为 $\pi/4$ 的旋转对称的.所有能够使得这个正方形不变的平面变换,比如特定角度的旋转、关于特定轴的翻转,配上变换间的复合运算(即先进行一个变换,再进行另一个),构成了一个 8 阶群(其元素构成为恒等变换,$\pi/4$ 的倍数的旋转和沿着四条对称轴的翻转),称为这个正方形的二面体群(dihedral group)记为 $D_8$.感兴趣的读者可以尝试验证这些变换的复合是封闭的.一般的,对于任意一个正多边形,保持其位置不变的旋转和翻转都会构成的一个群,统称为二面体群,记作 $D_n$.

   对称群的概念非常重要且常见.只要有 “不变性” 概念存在的地方就可能存在对称群.一个事物的对称群的结构揭示了这个事物的不变性的特点.

习题 2 

   证明

  • 实数集 $\mathbb R$ 以及通常的加法构成一个群.
  • 实数集 $\mathbb R$ 除去 $0$ 的集合,以及通常的乘法构成一个群.

例 5 $n$ 阶可逆方阵群

   给定域 $F$ 上,全体 $n\times n$ 可逆矩阵构成的集合,配上矩阵乘法就构成了一个非阿贝尔群.

   这样的群被简记为 $GL(n, F)$.当不至于混淆时,这里的 $F$ 一般会指全体实数或者全体复数,这时也会把该群简记为 $GL(n)$.多数情况下,$GL(n)$ 也是不交换的.

3. 唯一性定理

   群中的单位元和每个元素的逆元都是唯一的:

定理 1 群运算满足消去律

   给定一个群 $G$,若 对于 $ a, b\in G$ 有某个 $x\in G$ 使得 $ax=bx$,那么必然有 $a=b$;类似地,如果 $xa=xb$,也必然有 $a=b$.

   该定理的证明留作习题2

   唯一性是所有群都有的性质,但是等到我们讨论环的时候,由于环的乘法不要求逆元一定存在,我们没法对环证明这个唯一性.事实上,很多环都没有唯一性.

习题 3 单位元的唯一性

   从定理 1 可知左右单位元分别是唯一的.请证明左单位 $e_1$ 元等于右单位元 $e_2$(提示:将它们相乘).

定理 2 逆元的唯一性

   对任意 $x$,假设它存在一个左逆元 $a$,那么我们必然有 $ax=e$.考虑结合性可知,$ae=a=ea=(ax)a=a(xa)$,于是 $xa=e$,即 $a$ 也是 $x$ 的右逆元.也就是说,只要左逆元存在,那么右逆元也存在,并且等于左逆元.反之亦然.

习题 4 

   证明 $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$


1. ^ $n$ 个桶各里装了 1 个小球,1 号桶有 $n$ 种装球的可能性,2 号桶因此还剩下 $n-1$ 中可能性,以此类推,这 $n$ 个桶一共有 $n\times(n-1)\times\cdots\times1$ 种装球的可能性,每种可能性对应一个从初始状态而来的置换方式.因此,置换的数量一共有 $n\times(n-1)\times\cdots\times1=n!$ 种
2. ^ 提示:用 $x^{-1}$ 去参与运算试试

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