贡献者： addis; JierPeter; 叶月2_
1. 基本概念
群是一种描述对称的数学对象，几乎每一个对称现象的背后都有一个群。群论起源于伽罗瓦对于五次以上代数方程求根公式的思考，后被应用到了数学和物理的诸多领域当中。
我们在 “映射” 的式 3 中定义了二元运算为映射 $A \times B \to C$，如果 $A = B = C$，即一个集合中的任意两个元素运算后的结果仍然在这个集合中，那么我们说这个二元运算是封闭的（closed），有的地方也会称作闭合的。二元运算的符号可以任意决定，如果使用 $\cdot$ 作为运算符，那么二元运算就可以简单写为 $a \cdot b=c$。注意，这里的 $\cdot$ 只是表示某一个运算，不一定是我们通常的乘法或点乘运算。
定义 1 群
一个群 $(G, \cdot)$ 是在集合 $G$ 上赋予了一个二元运算 $\cdot$ 的结构，该运算满足以下要求：
- 封闭性（closure）：$\forall x, y\in G, x\cdot y\in G$，即任意 $G$ 中元素 $x$,$y$ 满足 $x\cdot y$ 仍是 $G$ 中元素
- 结合性（associativity）：$\forall x, y, z\in G, x\cdot(y\cdot z)=(x\cdot y)\cdot z$
- 单位元（identity element）存在性：$\exists e\in G, \forall x\in G, e\cdot x=x\cdot e=x$
- 逆元（inverse element）存在性：$\forall x\in G, \exists y\in G, x\cdot y=y\cdot x=e$。通常我们会把这样的 $y$ 称作 $x$ 的逆元，并记为 $x^{-1}$
严格来说，这样的一个群应该表示为 $(G,\cdot)$，而 $G$ 表示的是没有赋予运算的集合。但是为了方便，我们通常也会直接把上述定义的群叫做群 $G$。
实际上，我们可以用更为弱化的公理系统来定义群，比如第 4 条只要求存在左逆元，即只要求 $\forall x\in G, \exists y\in G, y\cdot x=e$。在这种情况下我们仍然可以证明左逆元都是右逆元（定理 3 ）。有很多不同的弱化版本公理系统也能等价地定义出群来，但是为了方便理解，我们用了以上对称的公理系统。
集合的元素数量被称为集合的基数或势，而群 $G$ 的元素数量也可以称为群的阶（order），记作 $|G|$。阶数有限的群称为有限群。以后如果没有特别说明，默认将群元素 $x$ 的逆元记为 $x^{-1}$，将群的单位元记为 $e$。
如果群 $G$ 是有限的，那么由封闭性知，对于任意元素 $a$ 都必存在 $n\in \mathbb N$，使得 $a^n=e$，把最小正整数称之为群元素的阶。
关于群元素的阶 $O(a)$，有以下命题：
定理 1
- $O(a)=O(a^{-1})$。
- 设任意 $g\in G$，有 $O(gag^{-1})=O(a)$。
- 若 $O(a)=n$，则 $O(a^r)=\frac{n}{(n,r)}$，$(n,r)$ 表示最大公因子。
proof.
只证明最后一条。设 $(n,r)=d,O(a^r)=k$。
因为 $a^{\frac{r}{d}n}=e$，因此 $k|\frac{n}{d}$。要证明 $k=\frac{n}{d}$，只需要证明 $\frac{n}{d}|k$ 即可。因为 $a^{rk}=e$，则 $n|rk$，所以 $\frac{n}{d}|\frac{r}{d}k$。又因为 $d$ 是 $n$ 和 $r$ 的最大公因子，所以 $(\frac{n}{d},\frac{r}{d})=1$，则 $\frac{n}{d}|k$，证毕。
2. 群的例子
习题 2 二元群
定义一个只含有两个元素的集合，记为 $\{0, 1\}$。在这个集合上定义运算 “$+$”，由于只有四种运算方式，所以可以通过列举出每一个运算的结果来定义这个运算：
\begin{equation}
0+0=0~, \qquad 0+1=1~, \qquad 1+0=1~, \qquad 1+1=0~.
\end{equation}
- 请用一个 $2\times2$ 的表格表示运算规则
- 请根据定义 1 验证这个二元集合配上运算 $+$ 构成一个群
在以上例子中，0 可以理解为 “偶数”，1 可以理解为 “奇数”，而群的运算可以理解为奇数加奇数=偶数加偶数=偶数，而奇数加偶数=奇数。另外，注意尽管 $0+1=1+0$，我依然把它们分别单独写了出来，这是因为群的定义不要求交换律成立，也就是说，群运算允许 $x\cdot y\neq y\cdot x$。群元素选为 $0$ 和 $1$ 没有特殊原因，只是代表这是群里两个不同的元素而已，任何由两个元素构成的群我们都看作同一个。运算满足交换律的群被称为阿贝尔群（abelian group）或交换群（commutative group），否则称为非阿贝尔群（non-abelian group）或非交换群（non-commutative group）。习惯上，我们把阿贝尔群的运算叫做加法，记为 “$+$”，而把非阿贝尔群的运算叫做乘法，记为 “$\cdot$”，甚至简化为没有符号，比如 $ab\not= ba$。不过，即使是非阿贝尔群中也可能存在两个元素 $a$ 和 $b$，使得 $ab=ba$；这时我们说 $a$ 和 $b$ 交换（commute）。
一般地，由于在朴素集合论中我们最多只讨论了集合的基数问题，集合中的元素具体如何命名是没有约束的，因此在集合论意义下元素数目相同的集合都看作同一个。比如说，我们认为 $\{\Delta,3, K\}$ 和 $\{1,2,3\}
$ 是同一个集合。而现在在集合上定义了一个群运算以后所得到的群，即使构成它们的集合相同，群也可能由群运算的不同而产生不同的结构，从而被看作是不同的群。
例 1 整数加法群
所有整数的集合 $\mathbb Z$，配合通常的整数加法运算构成一个群。
例 2 $n$ 元循环群
取一个由 $n$ 个元素组成的集合 $G$，由于集合元素命名的任意性，不妨把 $G$ 记为 $\{0, 1, \cdots n-1\}$，定义运算为模 $n$ 的加法，即在一个有 $n$ 个整点的钟表上的加法（见 “整数”）。那么这个运算构成 $G$ 上的一个群运算，所构成的群 $G$ 称为 $n$ 元循环群（n-element cyclic group），通常记为 $C_n$ 或者 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$。
命名为 $C_n$ 是取 “cyclic” 的含义，而命名为 $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ 是为了说明循环群是整数加法群 $\mathbb{Z}$ 的商群（例 1 ），而商群是将来会提到的重要概念。
例 3 $n$ 元置换群
首先给定一个 $n$ 元集合，记作 $K=\{1,2, \cdots, n\}$，并将 $K$ 中的元素按现有的顺序编号。把 $K$ 看作是 $n$ 个桶中分别装了 1 个写着编号的球，初始状态下球的编号和桶的编号一致。我们可以把球从桶里面拿出来并进行任意的置换，保持每个桶里还是只有一个球，但是球的编号不一定和桶的编号一致了。每一个置换可以详细描述为 “把 1 号桶的球和 2 号桶的球交换”，“把 1 号桶的球放入 3 号桶，3 号桶的放入 4 号桶，4 号桶的放入 1 号桶” 等等。
我们用全体 “置换” 动作，即所有 $K$ 到自身的一一映射，来作为元素，构成一个集合，称作 $n$ 个元素的置换集合（$n$ 元置换集），记为 $S_n$。$S_n$ 一共有 $n!$ 个元素1。从原始状态进行任意置换，所得到的结果状态和置换是一一对应的，所以我们也可以用 “从原始状态进行置换 $f$ 所得的结果” 来表示置换 $f$ 本身。
置换之间可以定义一个运算 “$\circ$”，被称为置换间的复合，它是这样定义的：如果 $f$ 和 $g$ 是两个置换，那么 $g\circ f$ 就是先进行 $f$ 置换，再进行 $g$ 置换。注意先后次序是从右到左进行的。
我们也可以这样来理解一个置换：原始状态下，$n$ 号桶中的小球为 $n$。进行一次 $f$ 置换后，$n$ 号桶中的小球就变成了 $f(n)$，再进行一次 $g$ 置换，那么 $n$ 号桶中现在装的小球就变为 $g(f(n))$。这个过程也可以看成是进行了一次 $g\circ f$ 运算，让 $n$ 号桶中的小球变成 $g\circ f(n)$。
现在我们有了一个由置换组成的集合以及置换之间的运算，我们来验证在这个运算下，所有的置换构成一个群：
- 显然，任意两个置换的复合还是一个置换，因此该运算是封闭的。
- 映射的符合满足结合律可以通过带入任何一个 $K$ 中的数字来验证。
- 单位元素是恒等映射，即保持所有数字不动的映射。
- 任意一个置换 $f$ 由于是满射，所以对于每一个 $K$ 中的数字 $i$,都存在原像 $j$ 满足 $f(j)=i$，又因为 $f$ 是单射，所以原像唯一。定义 $f^{-1}:K\rightarrow K$ 把每一个 $i$ 对应到它的唯一的原像。可以验证，这样定义了 $f$ 的逆元。
因此，$(S_n, \circ)$ 是一个群。注意当 $n>2$ 时 $S_n$ 是不交换（非阿贝尔）的。
在以上两个例子中可以看到，尽管元素数量一样，$\mathbb{Z}_{24}$ 和 $S_4$ 的元素数量都是 24，但是前者是阿贝尔群，后者则不交换，显然两个群的运算结构不可能一样。这是一个集合论意义上等价但群论意义上不等价的例子，换句话说，同一个集合上有时可以定义多个不同的运算使之成为不同的群。
例 4 二面体群
对称性的意思，是在某种变换（通常是翻转变换或者旋转变换）下保持不变的性质。比如说，平面上的一个正方形，绕着几何中心旋转角度为 $\pi/4$（即角度制下的 $90^\circ$）的时候和没有旋转是完全重合的，那么我们就说正方形是关于角度为 $\pi/4$ 的旋转对称的。所有能够使得这个正方形不变的平面变换，比如特定角度的旋转、关于特定轴的翻转，配上变换间的复合运算（即先进行一个变换，再进行另一个），构成了一个 8 阶群（其元素构成为恒等变换，$\pi/4$ 的倍数的旋转和沿着四条对称轴的翻转），称为这个正方形的二面体群（dihedral group）记为 $D_8$。感兴趣的读者可以尝试验证这些变换的复合是封闭的。一般的，对于任意一个正多边形，保持其位置不变的旋转和翻转都会构成的一个群，统称为二面体群，记作 $D_n$。
对称群的概念非常重要且常见。只要有 “不变性” 概念存在的地方就可能存在对称群。一个事物的对称群的结构揭示了这个事物的不变性的特点。
习题 3
证明
- 实数集 $\mathbb R$ 以及通常的加法构成一个群。
- 实数集 $\mathbb R$ 除去 $0$ 的集合，以及通常的乘法构成一个群。
例 5 $n$ 阶可逆方阵群
给定域 $F$ 上，全体 $n\times n$ 可逆矩阵构成的集合，配上矩阵乘法就构成了一个非阿贝尔群。
这样的群被简记为 $GL(n, F)$。当不至于混淆时，这里的 $F$ 一般会指全体实数或者全体复数，这时也会把该群简记为 $GL(n)$。多数情况下，$GL(n)$ 也是不交换的。
例 6 映射群
给定两个集合 $S$ 和 $T$，考虑从 $S$ 到 $T$ 的所有映射构成的集合，记为 $M$。映射之间有复合运算，$M$ 配上复合以后，构成一个半群（其准确定义见下）。
$M$ 中全体双射构成的集合，在复合运算下构成群。
习题 4
考虑实函数构成的集合 $\mathcal{R}$，记 $\mathcal{R}^*$ 是全体恒不等于零的函数的集合。对于两个实函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，定义它们的加法为：$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$；定义乘法为：$(f\times g)(x)=f(x) g(x)$。
证明 $(\mathcal{R}, +)$ 和 $(\mathcal{R}^*,\times )$ 都是阿贝尔群。
证明 $(\mathcal{R}^*\cup \{0\}, +)$ 也构成阿贝尔群。
3. 半群与幺半群
群的一种扩展是半群。较群而言，半群只要求封闭性和结合性，而抛弃了单位元存在性和逆元存在性。其严格定义如下：
定义 2 半群
一个半群 $(G, \cdot)$ 是在集合 $G$ 上赋予了一个二元运算 $\cdot$ 的结构，该运算满足封闭性和结合性。
显然群是一种特殊的半群，而半群不一定为群。特别地，有着单位元的半群叫作幺半群，其定义如下：
定义 3 幺半群
若一个半群 $(G,\cdot )$ 满足：$\exists e\in G,\forall x\in G,e\cdot x=x\cdot e=x$，则称其为幺半群，其中 $e$ 称为它的幺元或单位元。
例 7 自然数加法幺半群
自然数集 $\mathbb N=\{0,1,2,\cdots \}$，配合通常的加法运算构成一个幺半群。
例 8 形如 $x^2+dy^2$ 的整数幺半群
任给整数 $d$，所有形如 $x^2+dy^2(x,y\in \mathbb Z)$ 按通常的乘法构成幺半群。注意它对乘法封闭：
$$(x^2+dy^2)(u^2+dv^2)=x^2u^2+d^2y^2v^2+d(x^2v^2+y^2u^2)=(ux+dvy)^2+d(vx-uy)^2~.$$
4. 唯一性定理
群中的单位元和每个元素的逆元都是唯一的：
定理 2 群运算满足消去律
给定一个群 $G$，若 对于 $ a, b\in G$ 有某个 $x\in G$ 使得 $ax=bx$，那么必然有 $a=b$；类似地，如果 $xa=xb$，也必然有 $a=b$。
该定理的证明留作习题2。
唯一性是所有群都有的性质，但是等到我们讨论环的时候，由于环的乘法不要求逆元一定存在，我们没法对环证明这个唯一性。事实上，很多环都没有唯一性。
习题 5 单位元的唯一性
从定理 2 可知左右单位元分别是唯一的。请证明左单位 $e_1$ 元等于右单位元 $e_2$（提示：将它们相乘）。
定理 3 逆元的唯一性
在一个群中，对任意 $x$，假设它存在一个左逆元 $a$，那么我们必然有 $ax=e$。考虑结合性可知，$ae=a=ea=(ax)a=a(xa)$，于是 $xa=e$，即 $a$ 也是 $x$ 的右逆元。也就是说，一个群里的元素只要有左逆元，那么右逆元也存在，并且等于左逆元。反之亦然。
习题 6
证明 $(ab)^{-1} = b^{-1}a^{-1}$
1. ^ $n$ 个桶各里装了 1 个小球，1 号桶有 $n$ 种装球的可能性，2 号桶因此还剩下 $n-1$ 中可能性，以此类推，这 $n$ 个桶一共有 $n\times(n-1)\times\cdots\times1$ 种装球的可能性，每种可能性对应一个从初始状态而来的置换方式。因此，置换的数量一共有 $n\times(n-1)\times\cdots\times1=n!$ 种
2. ^ 提示：用 $x^{-1}$ 去参与运算试试
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。