贡献者: JierPeter
本节我们要介绍一个在代数中非常基础且重要的概念:分裂域。简单来说,分裂域就是在一个域中添加某个多项式的全体根所得到的扩域。从分裂域出发,我们可以讨论代数扩域的自同构问题。
关于分裂域的进一步讨论,请参阅正规扩张文章。
1. 分裂域的存在性
定义 1 分裂域
给定域 及其上一个多项式 。若存在扩域 ,使得 在 上可以分解为 ,且 ,则称 是 上的分裂域(splitting field)。
定义看起来有些绕口,先说 在 中可以分解,也就是说每一个根都存在,再说 可以看成用这些根对 进行扩域的结果。这么定义是因为我们要先确定元素 都存在,而为此就需要先确定 存在。但是定义中只说了 “若 存在”,这个假设到底成立与否呢?答案是肯定的。
定理 1 分裂域的存在性
给定域 及其上一个多项式 ,则 上的分裂域存在。
证明:
当 时,定理自然成立,此时 的分裂域就是其本身。
首先在环 上对元素 进行因式分解1,得到其不可约因子。任选其中一个不可约因子 ,如果 ,则跳过本段接下来的步骤。构造商环 2
,记为 。
由多项式环的定理 1 ,,因此在 上可以分解出 。如果 ,则跳过本段接下来的步骤。对 进行相同的操作:构造商环 。
以此类推,直到 在 上分解为一阶多项式之积。
接下来,取 在 上的不可约因子 ,如果 ,则跳过本段接下来的步骤。执行相同的扩域操作,直到得到 ,使得 在 上分解为一阶多项式之积。
以此类推,最终可以得到 ,使得 在 上可以分解为一阶多项式之积。则 就是 的分裂域。
证毕。
该证明过程的大体思路,就是看 的根是否在已知的域中。根 的最小多项式 必是 的一个不可约因子。如果 在已知的域中,那么 就可以因式分解出一阶多项式因子 ;否则,就添加 进行一次单扩域,这次扩域至少能把 纳入,但也有可能把其它根一起纳入。因此我们容易得到以下推论:
推论 2
设 是 上的分裂域, 是 和 之间的中间域,则 也是 上的分裂域。
为了加深理解,我们讨论一个分裂域的例子。添加元素的过程中会遇到的主要情况在这里都出现了。
例 1 分裂域的一个例子
在有理数域 上有多项式 ,其在 上有五个阶数大于 的不可约因子:。
考虑因子 ,得到扩域 。在 上, 有分解:
取其阶数大于 的不可约因子 ,得到扩域 。
在 上, 有分解:
取其阶数大于 的不可约因子 ,得到扩域 。
你可以验证,在最后这个扩域下, 可分解为一阶多项式之积。因此
就是 的分裂域。
推论 4
设 是 上的分裂域, 是 和 之间的中间域,则 也是 上的分裂域。
注意,给定一个域 和其上一个不可约多项式 ,则 的分裂域不一定是,因为添加 的一个根进行单扩张,不一定囊括了 的所有根。
例 2 单扩张不等于分裂域的例子
在 上添加 的一个根 得到 ,但这个单扩域里并没有 的剩下两个根 和 ,其中 是 次单位根。
2. 分裂域的唯一性
从开拓(定义 8 )的角度来说,如果存在域同构 ,将其开拓为环同构 ,任取 ,设 的分裂域为 , 的分裂域为 ,则 可以开拓为 的同构。
上述开拓的角度或许有些绕,但考虑到 “同构的域就是同一个域”,我们完全可以大大简化上述表达:
定理 2
给定域 和其上一个多项式 以后,所构造出来的分裂域是唯一的,或者说构造出来的两个分裂域都是同构的。
定理 3
设 是多项式 的分裂域, 是 的扩域。
则对于 的任意保 自同态,有 。
证明:
设 ,其中各 ,则 .
由于是同态, 必将 的根映射为另一根,也就是对 的根的置换。因此
证毕。
3. 正规扩张
分裂域的性质,其实对应的是一种非常重要的域扩张,它与代数方程的根式解问题息息相关。
定义 2 正规扩张
设 是一个代数扩域。如果对于 上的任意不可约多项式 ,要么 在 中无根,要么就所有根都在 中,则称 是一个正规扩张。
实际上,有限情况下正规扩张和分裂域是等价的概念,尽管它们表述差异很大。或者换句话说,分裂域的一个重要性质,就是正规性。
定理 4 有限扩张时,正规扩张等价于分裂域
设 是一个有限扩域,那么有:
为正规扩张 是某个多项式 的分裂域。
证明:
:
设 是多项式 的分裂域。取不可约的 且 使得 。我们要证明 的根都在 中。
设 的分裂域为 , 是域自同构。则据定理 3 ,。于是,。
由 的任意性(即任意一个 自同构,也即任意一个 的根的置换),知 的根都在 中。
:
由于 为有限扩张,故存在 ,使得 。
设 在 上的最小多项式为 ,令 。
由于 为正规扩张,而各 在 上至少有一个根,故 可以在 上写为一次多项式的乘积:
且各 ,各 。
于是 的分裂域为 。
证毕。
例 3 正规扩张的反例
不是 的正规扩张。因为存在多项式 ,它在 上不可约,有一个根 在 上,但另外两个根都是复数,不在其中。
显然,另外两个根的模都是 ,与正实轴的夹角分别为 。
推论 5
设有域扩张 。则任意 的分裂域 ,在 中最多只有一个。
4. 分裂域的自同构数目
由定理 5 第 2 条,可知,域自同构一定把每个多项式的根映射到其它根上,并且对于任意两个根 ,总存在域自同构 使得 。
因此,如果域 上有一个多项式 ,则 关于 的分裂域,是先求 的分裂域 后再求 的分裂域。
定理 5
给定域 和其上一个多项式 ,设 的分裂域是 , 到自身的保 自同构数量为 ,那么 。
当且仅当 的每一个不可约因子 的不同根数目恰为 时3,等号成立。
证明:
我们主要用数学归纳法和对单扩张情况的讨论来证明。
不妨设 的各不可约因子互不相同。设 是保 自同构, 是 在 上的一个不可约因子,其在 上的全体根为 ,。记 的分裂域为 。
考虑单扩张 的保 自同构。由于 可以在这种自同构下映射到 中的任意 上,并且确定了 的映射就确定了整个自同构映射,故这种自同构的数量等于 中所包含的 的根的数量。
因此,如果 包含所有 ,则自同构数量等于所有根的数量,定理成立(包括等号的充要条件):由定理 2 和 “多项式不同根的数目小于等于其次数” 即可。
如果 不包含所有 ,那就要用上归纳法了。
当 时,定理显然成立。下设定理对于任意 的情况成立。
先考虑 无重根的情况,设 是 的分裂域。
此时, 的根的数目 。由定理 2 ,。只要确定了 的映射便确定了 中其它 的映射。
1. 给定 作为 上线性空间的一组基 ,并任挑一个 来构造保 单同态 ,其中 。则根据定理 6 的证明过程,可知总能唯一地把 开拓为与 关联的保 自同构 。于是,我们得到了 个保 自同构。
2. 但这些自同构不是全部,因为只是针对一组基构造出来的。 上所有的保 自同构,应该是上段构造的自同构和全体保 复合的结果4。
3. 据归纳假设, 上的保 自同构的数量,等于扩张次数 。而 的保 自同构又有 个,也等于扩张次数 。所以由定理 4 ,,进而知定理的等号情况成立。
对于 有重根的情况,第 1. 步和第 2. 步中至少有一步不能取等号,进而定理的非等号情况成立。
对于整个 的情况,则在讨论完 后,取 在 上的不可约因子继续讨论,得到其分裂域 ,再取 在 上的不可约因子继续讨论,直到将 完全分裂。由于不同的多项式的根之间不可能互相映射到,因此计算同构数量的时候可以简单相乘,而不必像 1. 和 2. 那样讨论。
证毕。
例 4
给定有理数域 及其上的多项式 。则 的分裂域为 。
一共有两个保 自同构:第一个就是恒等映射,第二个 则定义如下:
也就是说, 把根 映射到根 。
而 ,因此这是一个定理 5 取等号的例子。
例 5
给定实数域 及其上的多项式 ,则 的分裂域为 ,其中 是 的三次单位根 。
一共有两个保 自同构:第一个是恒等映射;第二个则是将 映射到 、 映射到 的映射。
。这可以从定理 2 得到,也可以验证 得到。
习题 2
给定实数域 及其上的多项式 ,则 的分裂域为 ,其中 是 的五次单位根 。
一共有四个保 自同构。找出它们。
提示:考虑 被映射到某根 ,那么 就被映射到 。所以每个自同构唯一对应一个根 。
习题 4
求 的分裂域及其所有保 自同构。这里 为素数。注意判断 是否为不可约多项式。
1. ^ 也就是画出它的一棵真因子树。
2. ^ 由于 是 中的不可约元素,且 是主理想整环,因此易证 是 上的极大理想,从而 是域。
3. ^ 即无重根时。
4. ^ 这是因为 的保 自同构只有两种类型,保 和不保 的,而 只取决于 ,所以总可以用一个不保 的自同构把 复合成保 的。
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