分裂域

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 域的扩张

   本节我们要介绍一个在代数中非常基础且重要的概念:分裂域.简单来说,分裂域就是在一个域中添加某个多项式的全体根所得到的扩域.从分裂域出发,我们可以讨论代数扩域的自同构问题.

   关于分裂域的进一步讨论,请参阅正规扩张词条.

1. 分裂域的存在性

定义 1 分裂域

   给定域 $\mathbb{F}$ 及其上一个多项式 $f(x)$.若存在扩域 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$,使得 $f(x)$ 在 $\mathbb{K}$ 上可以分解为 $f(x)=\prod_{i=1}^n (x-a_i)$,且 $\mathbb{K}=\mathbb{F}(a_1, a_2, \cdots, a_n)$,则称 $\mathbb{K}$ 是 $f(x)\in \mathbb{F}[x]$ 上的分裂域(splitting field)

   定义看起来有些绕口,先说 $f$ 在 $\mathbb{K}$ 中可以分解,也就是说每一个根都存在,再说 $\mathbb{K}$ 可以看成用这些根对 $\mathbb{F}$ 进行扩域的结果.这么定义是因为我们要先确定元素 $a_i$ 都存在,而为此就需要先确定 $\mathbb{K}$ 存在.但是定义中只说了 “若 $\mathbb{K}$ 存在”,这个假设到底成立与否呢?答案是肯定的.

定理 1 分裂域的存在性

   给定域 $\mathbb{F}$ 及其上一个多项式 $f(x)$,则 $f(x)\in \mathbb{F}[x]$ 上的分裂域存在.

   证明

   当 $ \operatorname {deg}f=1$ 时,定理自然成立,此时 $f\in\mathbb{F}[x]$ 的分裂域就是其本身.

   首先在环 $\mathbb{F}[x]$ 上对元素 $f(x)$ 进行因式分解1,得到其不可约因子.任选其中一个不可约因子 $h(x)$,如果 $ \operatorname {deg} h = 1$,则跳过本段接下来的步骤.构造环 $R_1=\mathbb{F}(x)/ < h(x) > =\mathbb{F}[a_1]$,再取其分式域 $\mathbb{F}_1$,则 $\mathbb{F}_1$ 就是 $\mathbb{F}$ 的单扩张 $\mathbb{F}(a_1)$.

   由多项式环定理 1 ,$(x-a_1)|h(x)$,因此在 $\mathbb{F}_1$ 上可以分解出 $h_1(x)=h(x)/(x-a_1)$.如果 $ \operatorname {deg}h_1 = 1$,则跳过本段接下来的步骤.对 $h_1(x)$ 进行相同的操作:构造环 $R_2=\mathbb{F}(x)/ < h_1(x) > =\mathbb{F}[a_2]$,再取其分式域 $\mathbb{F}_2=\mathbb{F}_1(a_2)=\mathbb{F}(a_1, a_2)$.

   以此类推,直到 $h(x)$ 在 $\mathbb{F}_{k_1}$ 上分解为一阶多项式之积.

   接下来,取 $f$ 在 $\mathbb{F}_{k_1}$ 上的不可约因子 $g(x)$,如果 $ \operatorname {deg} g = 1$,则跳过本段接下来的步骤.执行相同的扩域操作,直到得到 $\mathbb{F}_{k_1+k_2}$,使得 $g$ 在 $\mathbb{F}_{k_1+k_2}$ 上分解为一阶多项式之积.

   以此类推,最终可以得到 $\mathbb{F}_k$,使得 $f$ 在 $\mathbb{F}_k$ 上可以分解为一阶多项式之积.则 $\mathbb{F}_k$ 就是 $f\in\mathbb{F}[x]$ 的分裂域.

   证毕

   该证明过程的大体思路,就是看 $f$ 的根是否在已知的域中.根 $a$ 的最小多项式 $h(x)$ 必是 $f(x)$ 的一个不可约因子.如果 $a$ 在已知的域中,那么 $f$ 就可以因式分解出一阶多项式因子 $(x-a)$;否则,就添加 $a$ 进行一次单扩域,这次扩域至少能把 $a$ 纳入,但也有可能把其它根一起纳入.因此我们容易得到以下推论:

推论 1 

   设 $\mathbb{K}$ 是 $f(x)\in \mathbb{F}[x]$ 上的分裂域,则 $[\mathbb{K}:\mathbb{F}]\leq \operatorname {deg}f$.

推论 2 

   设 $\mathbb{K}$ 是 $f(x)\in \mathbb{F}[x]$ 上的分裂域,$\mathbb{M}$ 是 $\mathbb{K}$ 和 $\mathbb{F}$ 之间的中间域,则 $\mathbb{K}$ 也是 $f(x)\in \mathbb{E}[x]$ 上的分裂域.

   为了加深理解,我们讨论一个分裂域的例子.添加元素的过程中会遇到的主要情况在这里都出现了.

例 1 分裂域的一个例子

   在有理数域 $\mathbb{Q}$ 上有多项式 $f(x)=(x^2-2)^2(x^2-3)(x^2-6)(x^2+1)$,其在 $\mathbb{Q}$ 上有五个阶数大于 $1$ 的不可约因子:$(x^2-2), (x^2-2), (x^2-3), (x^2-6), (x^2+1)$.

   考虑因子 $(x^2-2)$,得到扩域 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$.在 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 上,$f$ 有分解:

\begin{equation} f(x)=(x+\sqrt{2})^2(x-\sqrt{2})^2(x^2-3)(x^2-6)(x^2+1) \end{equation}

   取其阶数大于 $1$ 的不可约因子 $x^2-3$,得到扩域 $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$.

   在 $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ 上,$f$ 有分解:

\begin{equation} \begin{aligned} f(x)=&(x+\sqrt{2})^2(x-\sqrt{2})^2(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})\times\\ &(x+\sqrt{2}\sqrt{3})(x-\sqrt{2}\sqrt{3})(x^2+1) \end{aligned} \end{equation}

   取其阶数大于 $1$ 的不可约因子 $x^2+1$,得到扩域 $\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \mathrm{i} )$.

   你可以验证,在最后这个扩域下,$f$ 可分解为一阶多项式之积.因此

\begin{equation} \begin{aligned} &\mathbb{Q}(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \mathrm{i} )=\\ &\{a+A \mathrm{i} +(b+B \mathrm{i} )\sqrt{2}+(c+C \mathrm{i} )\sqrt{3}\\ &+(d+D \mathrm{i} )\sqrt{6} | a, A, b, B, c, C, d, D\in\mathbb{Q}\} \end{aligned} \end{equation}
就是 $f\in\mathbb{Q}[x]$ 的分裂域.

推论 3 

   设 $\mathbb{K}$ 是 $f(x)\in \mathbb{F}[x]$ 上的分裂域,则 $[\mathbb{K}:\mathbb{F}]\leq \operatorname {deg}f$.

推论 4 

   设 $\mathbb{K}$ 是 $f(x)\in \mathbb{F}[x]$ 上的分裂域,$\mathbb{M}$ 是 $\mathbb{K}$ 和 $\mathbb{F}$ 之间的中间域,则 $\mathbb{K}$ 也是 $f(x)\in \mathbb{E}[x]$ 上的分裂域.

   分裂域的构造也可以这样理解:给定一个域 $\mathbb{F}$ 和其上一个不可约多项式 $f$,则 $f\in\mathbb{F}[x]$ 的分裂域就是 $\mathbb{F}[x]/ < f(x) > $ 的分式域.对于任意的 $f\in\mathbb{F}[x]$,如果它能写为若干不可约多项式之积,如 $f=h_1h_2\cdots h_n$,那么 $f$ 的分裂域是:求 $h_1\in\mathbb{F}[x]$ 的分裂域 $\mathbb{F}_1$,再求 $h_2\in\mathbb{F}_1[x]$ 的分裂域 $\mathbb{F}_2$,以此类推,$\mathbb{F}_n$ 即为 $f\in\mathbb{F}[x]$ 的分裂域.

2. 分裂域的唯一性

   从开拓定义 8 )的角度来说,如果存在域同构 $\sigma:\mathbb{F}_1\to\mathbb{F}_2$,将其开拓为环同构 $\sigma:\mathbb{F}_1[x]\to\mathbb{F}_2[x]$,任取 $f\in\mathbb{F}_1[x]$,设 $f\in\mathbb{F}_1[x]$ 的分裂域为 $\mathbb{K}_1$,$\sigma(f)\in\mathbb{F}_2[x]$ 的分裂域为 $\mathbb{K}_2$,则 $\sigma$ 可以开拓为 $\mathbb{K}_1\to\mathbb{K}_2$ 的同构.

   上述开拓的角度或许有些绕,但考虑到 “同构的域就是同一个域”,我们完全可以大大简化上述表达:

定理 2 

   给定域 $\mathbb{F}$ 和其上一个多项式 $f$ 以后,所构造出来的分裂域是唯一的,或者说构造出来的两个分裂域都是同构的.

   证明非常简单,只需要利用多项式环和分式域的唯一性即可.多项式环的唯一性依赖于定理 3 ,分式域的唯一性由定理 1 得到.

定理 3 

   设 $\mathbb{K}$ 是多项式 $f\in\mathbb{F}[x]$ 的分裂域,$\mathbb{E}$ 是 $\mathbb{K}$ 的扩域.

   则对于 $\mathbb{E}$ 的任意保 $\mathbb{F}$自同态$\sigma$,有 $\sigma(\mathbb{K})=\mathbb{K}$.

   证明

   设 $f=(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)$,其中各 $a_i\in\mathbb{E}$,则 $\mathbb{K}=\mathbb{F}(a_1, a_2, \cdots, a_n)$.

   由于是同态,$\sigma$ 必将 $f$ 的根映射为另一根,也就是对 $f$ 的根的置换.因此

\begin{equation} \begin{aligned} \sigma(\mathbb{K})&=\mathbb{F}(\sigma(a_1), \sigma(a_2), \cdots, \sigma(a_n))\\ &=\mathbb{F}(a_1, a_2, \cdots, a_n)\\ &=\mathbb{K} \end{aligned} \end{equation}

   证毕

3. 正规扩张

   分裂域的性质,其实对应的是一种非常重要的域扩张,它与代数方程的根式解问题息息相关.

定义 2 正规扩张

   设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是一个代数扩域.如果对于 $\mathbb{F}$ 上的任意不可约多项式 $f$,要么 $f$ 在 $\mathbb{K}$ 中无根,要么就所有根都在 $\mathbb{K}$ 中,则称 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是一个正规扩张

   实际上,有限情况下正规扩张和分裂域是等价的概念,尽管它们表述差异很大.或者换句话说,分裂域的一个重要性质,就是正规性.

定理 4 有限扩张时,正规扩张等价于分裂域

   设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是一个有限扩域,那么有:

   $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 为正规扩张 $\iff$ $\mathbb{K}$ 是某个多项式 $f\in\mathbb{F}[x]$ 的分裂域.

   证明

   $\Leftarrow$:

   设 $\mathbb{K}$ 是多项式 $f\in\mathbb{F}[x]$ 的分裂域.取不可约的 $h(x)\in\mathbb{F}[x]$ 且 $\exists a\in\mathbb{K}$ 使得 $h(a)=0$.我们要证明 $h$ 的根都在 $\mathbb{K}$ 中.

   设 $h\in\mathbb{K}[x]$ 的分裂域为 $\mathbb{E}$,$\sigma:\mathbb{E}\to\mathbb{E}$ 是域自同构.则据定理 3 ,$\sigma(\mathbb{K})=\mathbb{K}$.于是,$\sigma(a)\in\mathbb{K}$.

   由 $\sigma$ 的任意性(即任意一个 $\mathbb{E}$ 自同构,也即任意一个 $h$ 的根的置换),知 $h$ 的根都在 $\mathbb{K}$ 中.

   $\Rightarrow$:

   由于 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 为有限扩张,故存在 $a_1, a_2, \cdots, a_n\in \mathbb{K}$,使得 $\mathbb{K}=\mathbb{F}(a_1, a_2, \cdots, a_n)$.

   设 $a_i$ 在 $\mathbb{F}$ 上的最小多项式为 $f_i(x)$,令 $f(x)=\prod_{i=1}^n f_i(x)$.

   由于 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 为正规扩张,而各 $f_i$ 在 $\mathbb{K}$ 上至少有一个根,故 $f(x)$ 可以在 $\mathbb{K}$ 上写为一次多项式的乘积:

\begin{equation} f(x) = \prod_{i=1}^k (x-b_i) \end{equation}
且各 $a_i\in\{b_j\}$,各 $b_i\in\mathbb{K}=\mathbb{F}(a_1, \cdots, a_n)$.

   于是 $f\in\mathbb{F}$ 的分裂域为 $\mathbb{F}(b_1, \cdots, b_k)=\mathbb{F}(a_1, \cdots, a_n)=\mathbb{K}$.

   证毕

例 2 正规扩张的反例

   $\mathbb{Q}(2^{1/3})$ 不是 $\mathbb{Q}$ 的正规扩张.因为存在多项式 $f(x)=x^3-2$,它在 $\mathbb{Q}$ 上不可约,有一个根 $2^{1/3}$ 在 $\mathbb{Q}(2^{1/3})$ 上,但另外两个根都是复数,不在其中.

   显然,另外两个根的模都是 $2^{1/3}$,与正实轴的夹角分别为 $\pm 2\pi/3$.

习题 1 

   求 $x^3-2\in\mathbb{Q}[x]$ 的分裂域.

推论 5 

   设有域扩张 $\mathbb{E}/\mathbb{F}$.则任意 $f\in\mathbb{F}[x]$ 的分裂域 $\mathbb{K}$,在 $\mathbb{E}$ 中最多只有一个.

4. 分裂域的自同构数目

   由定理 5 第 2 条,可知,域自同构一定把每个多项式的根映射到其它根上,并且对于任意两个根 $\alpha, \beta$,总存在域自同构 $\sigma$ 使得 $\sigma \alpha=\beta$.

   因此,如果域 $\mathbb{F}$ 上有一个多项式 $f(x)g(x)$,则 $fg$ 关于 $\mathbb{F}$ 的分裂域,是先求 $f\in\mathbb{F}[x]$ 的分裂域 $\mathbb{F}_1$ 后再求 $g\in\mathbb{F}_1$ 的分裂域.

定理 5 

   给定域 $\mathbb{F}$ 和其上一个多项式 $f$,设 $f\in\mathbb{F}[x]$ 的分裂域是 $\mathbb{K}$,$\mathbb{K}$ 到自身的保 $\mathbb{F}$ 自同构数量为 $N$,那么 $N\leq[\mathbb{K}:\mathbb{F}]$.

   当且仅当 $f$ 的每一个不可约因子 $h$ 的不同根数目恰为 $ \operatorname {deg}h$ 时2,等号成立.

   证明

   我们主要用数学归纳法和对单扩张情况的讨论来证明.

   不妨设 $f$ 的各不可约因子互不相同.设 $\sigma:\mathbb{K}\to\mathbb{K}$ 是保 $\mathbb{F}$ 自同构,$h$ 是 $f$ 在 $\mathbb{F}$ 上的一个不可约因子,其在 $\overline{\mathbb{F}}$ 上的全体根为 $\{\alpha_i\}_{i=1}^m$,$ \operatorname {deg}h=n\geq m$.记 $h\in\mathbb{F}[x]$ 的分裂域为 $\mathbb{F}_1$.

   考虑单扩张 $\mathbb{F}(\alpha_1)$ 的保 $\mathbb{F}$ 自同构.由于 $\alpha_1$ 可以在这种自同构下映射到 $\mathbb{F}(\alpha_1)$中的任意 $\alpha_i$ 上,并且确定了 $\alpha_1$ 的映射就确定了整个自同构映射,故这种自同构的数量等于 $\mathbb{F}(\alpha_1)$ 中所包含的 $h$ 的根的数量.

   因此,如果 $\mathbb{F}(\alpha_1)$ 包含所有 $\alpha_i$,则自同构数量等于所有根的数量,定理成立(包括等号的充要条件):由定理 2 和 “多项式不同根的数目小于等于其次数” 即可.

   如果 $\mathbb{F}(\alpha_1)$ 不包含所有 $\alpha_i$,那就要用上归纳法了.

   当 $ \operatorname {deg}f=1$ 时,定理显然成立.下设定理对于任意 $ \operatorname {deg}f < n$ 的情况成立.

   先考虑 $h$ 无重根的情况,设 $\mathbb{F}_1$ 是 $h\in\mathbb{F}[x]$ 的分裂域.

   此时,$h$ 的根的数目 $m= \operatorname {deg}f=n$.由定理 2 ,$[\mathbb{F}(\alpha_1): \mathbb{F}]=n$.只要确定了 $\alpha_1$ 的映射便确定了 $\mathbb{F}(\alpha_1)$ 中其它 $\alpha_i$ 的映射.

   1. 给定 $\mathbb{F}_1$ 作为 $\mathbb{F}$ 上线性空间的一组基 $\{\nu_i\}\subseteq\{\alpha_j^k\}$,并任挑一个$\alpha_i$ 来构造保 $\mathbb{F}$ 单同态 $\sigma: \mathbb{F}(\alpha_1)\to\mathbb{F}_1$,其中 $\sigma(\alpha_1)=\alpha_i$.则根据定理 6 的证明过程,可知总能唯一地把 $\sigma$ 开拓为与 $\{\nu_i\}$ 关联的保 $\mathbb{F}$ 自同构 $\sigma: \mathbb{F}_1\to\mathbb{F}_1$.于是,我们得到了 $n$ 个保 $\mathbb{F}$ 自同构.

   2. 但这些自同构不是全部,因为只是针对一组基构造出来的.$\mathbb{F}_1$ 上所有的保 $\mathbb{F}$ 自同构,应该是上段构造的自同构和全体保 $\mathbb{F}(\alpha_1)$ 复合的结果3

   3. 据归纳假设,$\mathbb{F}_1$ 上的保 $\mathbb{F}(\alpha_1)$ 自同构的数量,等于扩张次数 $[\mathbb{F}_1:\mathbb{F}(\alpha_1)]$.而 $\mathbb{F}(\alpha_1)$ 的保 $\mathbb{F}$ 自同构又有 $n$ 个,也等于扩张次数 $[\mathbb{F}(\alpha_1):\mathbb{F}]$.所以由定理 4 ,$[\mathbb{F}_1:\mathbb{F}]=[\mathbb{F}_1:\mathbb{F}(\alpha_1)][\mathbb{F}(\alpha_1):\mathbb{F}]$,进而知定理的等号情况成立.

   对于 $h$ 有重根的情况,第 1. 步和第 2. 步中至少有一步不能取等号,进而定理的非等号情况成立.

   对于整个 $f$ 的情况,则在讨论完 $\mathbb{F}_1$ 后,取 $f$ 在 $\mathbb{F}_1$ 上的不可约因子继续讨论,得到其分裂域 $\mathbb{F}_2$,再取 $f$ 在 $\mathbb{F}_2$ 上的不可约因子继续讨论,直到将 $f$ 完全分裂.由于不同的多项式的根之间不可能互相映射到,因此计算同构数量的时候可以简单相乘,而不必像 1. 和 2. 那样讨论.

   证毕

例 3 

   给定有理数域 $\mathbb{Q}$ 及其上的多项式 $f(x)=x^2-2$.则 $f\in\mathbb{Q}[x]$ 的分裂域为 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})=\{a+b\sqrt{2}|a, b\in\mathbb{Q}\}$.

   $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 一共有两个保 $\mathbb{Q}$ 自同构:第一个就是恒等映射,第二个 $\sigma$ 则定义如下:

\begin{equation} \sigma(a+b\sqrt{2})=a-b\sqrt{2} \end{equation}
也就是说,$\sigma$ 把根 $\pm\sqrt{2}$ 映射到根 $\mp\sqrt{2}$.

   而 $[\mathbb{Q}(\sqrt{2}):\mathbb{Q}]=2$,因此这是一个定理 5 取等号的例子.

例 4 

   给定实数域 $\mathbb{R}$ 及其上的多项式 $f(x)=x^2+x+1$,则 $f\in\mathbb{R}[x]$ 的分裂域为 $\mathbb{R}(\omega)=\{a+b\omega+c\omega^2 \mid a, b, c\in\mathbb{R}\}$,其中 $\omega$ 是 $1$ 的三次单位根 $\frac{1}{2}(-1+ \mathrm{i} \sqrt{3})= \mathrm{e} ^{\frac{2\pi}{3} \mathrm{i} }$.

   $\mathbb{R}(\omega)$ 一共有两个保 $\mathbb{R}$ 自同构:第一个是恒等映射;第二个则是将 $\omega$ 映射到 $\omega^2$、$\omega^2$ 映射到 $\omega$ 的映射.

   $[\mathbb{R}(\omega):\mathbb{R}]=2$.这可以从定理 2 得到,也可以验证 $\omega^2=-1-\omega$ 得到.

习题 2 

   给定实数域 $\mathbb{R}$ 及其上的多项式 $f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$,则 $f\in\mathbb{R}[x]$ 的分裂域为 $\mathbb{R}(\gamma)=\{a+b\gamma+c\gamma^2+d\gamma^3+e\gamma^4 \mid a, b, c, d, e\in\mathbb{R}\}$,其中 $\gamma$ 是 $1$ 的五次单位根 $ \mathrm{e} ^{\frac{2\pi}{5} \mathrm{i} }$.

   $\mathbb{R}(\gamma)$ 一共有四个保 $\mathbb{R}$ 自同构.找出它们.

   提示:考虑 $\gamma$ 被映射到某根 $\gamma'$,那么 $\gamma^2$ 就被映射到 $\gamma'^2$.所以每个自同构唯一对应一个根 $\gamma'$.

习题 3 

   求 $x^3-2\in\sqrt{Q}[x]$ 的分裂域及其所有保 $\mathbb{Q}$ 自同构.

习题 4 

   求 $x^p-1\in\mathbb{Q}[x]$ 的分裂域及其所有保 $\mathbb{Q}$ 自同构.这里 $p$ 为素数.注意判断 $x^p-1$ 是否为不可约多项式.

习题 5 

   求 $x^6-1\in\mathbb{Q}[x]$ 的分裂域及其所有保 $\mathbb{Q}$ 自同构.


1. ^ 也就是画出它的一棵真因子树
2. ^ 即无重根时.
3. ^ 这是因为 $\mathbb{F}_1$ 的保 $\mathbb{F}$ 自同构只有两种类型,保 $\mathbb{F}(\alpha_1)$ 和不保 $\mathbb{F}(\alpha_1)$ 的,而 $\sigma(\mathbb{F}(\alpha_1))$ 只取决于 $\sigma(\alpha_1)$,所以总可以用一个不保 $\mathbb{F}(\alpha_1)$ 的自同构把 $\sigma$ 复合成保 $\mathbb{F}(\alpha_1)$ 的.


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