分裂域

贡献者： JierPeter

　　 本节我们要介绍一个在代数中非常基础且重要的概念：分裂域。简单来说，分裂域就是在一个域中添加某个多项式的全体根所得到的扩域。从分裂域出发，我们可以讨论代数扩域的自同构问题。

　　 关于分裂域的进一步讨论，请参阅正规扩张文章。

1. 分裂域的存在性

　　 定义看起来有些绕口，先说 $f$ 在 $\mathbb{K}$ 中可以分解，也就是说每一个根都存在，再说 $\mathbb{K}$ 可以看成用这些根对 $\mathbb{F}$ 进行扩域的结果。这么定义是因为我们要先确定元素 $a_i$ 都存在，而为此就需要先确定 $\mathbb{K}$ 存在。但是定义中只说了 “若 $\mathbb{K}$ 存在”，这个假设到底成立与否呢？答案是肯定的。

　　 证明：

　　 当 $\mathrm{deg}f=1$ 时，定理自然成立，此时 $f\in \mathbb{F}[x]$ 的分裂域就是其本身。

　　 首先在环 $\mathbb{F}[x]$ 上对元素 $f(x)$ 进行因式分解¹，得到其不可约因子。任选其中一个不可约因子 $h(x)$，如果 $\mathrm{deg}h=1$，则跳过本段接下来的步骤。构造商环 $\mathbb{F}(x)/⟨h(x)⟩=\mathbb{F}[a_1]=\mathbb{F}(a_1)$² ，记为 ${\mathbb{F}}_1$。

　　 由多项式环的定理 1 ，$(x-a_1)|h(x)$，因此在 ${\mathbb{F}}_1$ 上可以分解出 $h_1(x)=h(x)/(x-a_1)$。如果 $\mathrm{deg}{h}_1=1$，则跳过本段接下来的步骤。对 $h_1(x)$ 进行相同的操作：构造商环 $\mathbb{F}(x)/⟨h_1(x)⟩=\mathbb{F}[a_2]=\mathbb{F}(a_2)={\mathbb{F}}_2$。

　　 以此类推，直到 $h(x)$ 在 ${\mathbb{F}}_{k_1}$ 上分解为一阶多项式之积。

　　 接下来，取 $f$ 在 ${\mathbb{F}}_{k_1}$ 上的不可约因子 $g(x)$，如果 $\mathrm{deg}g=1$，则跳过本段接下来的步骤。执行相同的扩域操作，直到得到 ${\mathbb{F}}_{k_1+k_2}$，使得 $g$ 在 ${\mathbb{F}}_{k_1+k_2}$ 上分解为一阶多项式之积。

　　 以此类推，最终可以得到 ${\mathbb{F}}_k$，使得 $f$ 在 ${\mathbb{F}}_k$ 上可以分解为一阶多项式之积。则 ${\mathbb{F}}_k$ 就是 $f\in \mathbb{F}[x]$ 的分裂域。

　　 证毕。

　　 该证明过程的大体思路，就是看 $f$ 的根是否在已知的域中。根 $a$ 的最小多项式 $h(x)$ 必是 $f(x)$ 的一个不可约因子。如果 $a$ 在已知的域中，那么 $f$ 就可以因式分解出一阶多项式因子 $(x-a)$；否则，就添加 $a$ 进行一次单扩域，这次扩域至少能把 $a$ 纳入，但也有可能把其它根一起纳入。因此我们容易得到以下推论：

　　 为了加深理解，我们讨论一个分裂域的例子。添加元素的过程中会遇到的主要情况在这里都出现了。

　　 注意，给定一个域 $\mathbb{F}$ 和其上一个不可约多项式 $f$，则 $f\in \mathbb{F}[x]$ 的分裂域不一定是$\mathbb{F}[x]/⟨f(x)⟩$，因为添加 $f$ 的一个根进行单扩张，不一定囊括了 $f$ 的所有根。

2. 分裂域的唯一性

　　 从开拓（定义 8 ）的角度来说，如果存在域同构 $\sigma :{\mathbb{F}}_1\to {\mathbb{F}}_2$，将其开拓为环同构 $\sigma :{\mathbb{F}}_1[x]\to {\mathbb{F}}_2[x]$，任取 $f\in {\mathbb{F}}_1[x]$，设 $f\in {\mathbb{F}}_1[x]$ 的分裂域为 ${\mathbb{K}}_1$，$\sigma (f)\in {\mathbb{F}}_2[x]$ 的分裂域为 ${\mathbb{K}}_2$，则 $\sigma$ 可以开拓为 ${\mathbb{K}}_1\to {\mathbb{K}}_2$ 的同构。

　　 上述开拓的角度或许有些绕，但考虑到 “同构的域就是同一个域”，我们完全可以大大简化上述表达：

　　 证明：

　　 设 $f=(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)$，其中各 $a_i\in \mathbb{E}$，则 $\mathbb{K}=\mathbb{F}(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$.

　　 由于是同态，$\sigma$ 必将 $f$ 的根映射为另一根，也就是对 $f$ 的根的置换。因此

　　 证毕。

3. 正规扩张

　　 分裂域的性质，其实对应的是一种非常重要的域扩张，它与代数方程的根式解问题息息相关。

　　 实际上，有限情况下正规扩张和分裂域是等价的概念，尽管它们表述差异很大。或者换句话说，分裂域的一个重要性质，就是正规性。

　　 证明：

　　 $\Leftarrow$：

　　 设 $\mathbb{K}$ 是多项式 $f\in \mathbb{F}[x]$ 的分裂域。取不可约的 $h(x)\in \mathbb{F}[x]$ 且 $\mathrm{\exists }a\in \mathbb{K}$ 使得 $h(a)=0$。我们要证明 $h$ 的根都在 $\mathbb{K}$ 中。

　　 设 $h\in \mathbb{K}[x]$ 的分裂域为 $\mathbb{E}$，$\sigma :\mathbb{E}\to \mathbb{E}$ 是域自同构。则据定理 3 ，$\sigma (\mathbb{K})=\mathbb{K}$。于是，$\sigma (a)\in \mathbb{K}$。

　　 由 $\sigma$ 的任意性（即任意一个 $\mathbb{E}$ 自同构，也即任意一个 $h$ 的根的置换），知 $h$ 的根都在 $\mathbb{K}$ 中。

　　 $\Rightarrow$：

　　 由于 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 为有限扩张，故存在 $a_1,a_2,\cdots ,a_n\in \mathbb{K}$，使得 $\mathbb{K}=\mathbb{F}(a_1,a_2,\cdots ,a_n)$。

　　 设 $a_i$ 在 $\mathbb{F}$ 上的最小多项式为 $f_i(x)$，令 $f(x)=\prod _{i=1}^n{f}_i(x)$。

　　 由于 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 为正规扩张，而各 $f_i$ 在 $\mathbb{K}$ 上至少有一个根，故 $f(x)$ 可以在 $\mathbb{K}$ 上写为一次多项式的乘积：

　　 于是 $f\in \mathbb{F}$ 的分裂域为 $\mathbb{F}(b_1,\cdots ,b_k)=\mathbb{F}(a_1,\cdots ,a_n)=\mathbb{K}$。

　　 证毕。

4. 分裂域的自同构数目

　　 由定理 5 第 2 条，可知，域自同构一定把每个多项式的根映射到其它根上，并且对于任意两个根 $\alpha ,\beta$，总存在域自同构 $\sigma$ 使得 $\sigma \alpha =\beta$。

　　 因此，如果域 $\mathbb{F}$ 上有一个多项式 $f(x)g(x)$，则 $fg$ 关于 $\mathbb{F}$ 的分裂域，是先求 $f\in \mathbb{F}[x]$ 的分裂域 ${\mathbb{F}}_1$ 后再求 $g\in {\mathbb{F}}_1$ 的分裂域。

　　 证明：

　　 我们主要用数学归纳法和对单扩张情况的讨论来证明。

　　 不妨设 $f$ 的各不可约因子互不相同。设 $\sigma :\mathbb{K}\to \mathbb{K}$ 是保 $\mathbb{F}$ 自同构，$h$ 是 $f$ 在 $\mathbb{F}$ 上的一个不可约因子，其在 $\bar{\mathbb{F}}$ 上的全体根为 $\{{\alpha }_i{\}}_{i=1}^m$，$\mathrm{deg}h=n\ge m$。记 $h\in \mathbb{F}[x]$ 的分裂域为 ${\mathbb{F}}_1$。

　　 考虑单扩张 $\mathbb{F}({\alpha }_1)$ 的保 $\mathbb{F}$ 自同构。由于 ${\alpha }_1$ 可以在这种自同构下映射到 $\mathbb{F}({\alpha }_1)$中的任意 ${\alpha }_i$ 上，并且确定了 ${\alpha }_1$ 的映射就确定了整个自同构映射，故这种自同构的数量等于 $\mathbb{F}({\alpha }_1)$ 中所包含的 $h$ 的根的数量。

　　 因此，如果 $\mathbb{F}({\alpha }_1)$ 包含所有 ${\alpha }_i$，则自同构数量等于所有根的数量，定理成立（包括等号的充要条件）：由定理 2 和 “多项式不同根的数目小于等于其次数” 即可。

　　 如果 $\mathbb{F}({\alpha }_1)$ 不包含所有 ${\alpha }_i$，那就要用上归纳法了。

　　 当 $\mathrm{deg}f=1$ 时，定理显然成立。下设定理对于任意 $\mathrm{deg}f<n$ 的情况成立。

　　 先考虑 $h$ 无重根的情况，设 ${\mathbb{F}}_1$ 是 $h\in \mathbb{F}[x]$ 的分裂域。

　　 此时，$h$ 的根的数目 $m=\mathrm{deg}f=n$。由定理 2 ，$[\mathbb{F}({\alpha }_1):\mathbb{F}]=n$。只要确定了 ${\alpha }_1$ 的映射便确定了 $\mathbb{F}({\alpha }_1)$ 中其它 ${\alpha }_i$ 的映射。

　　 1. 给定 ${\mathbb{F}}_1$ 作为 $\mathbb{F}$ 上线性空间的一组基 $\{{\nu }_i\}\subseteq \{{\alpha }_j^k\}$，并任挑一个${\alpha }_i$ 来构造保 $\mathbb{F}$ 单同态 $\sigma :\mathbb{F}({\alpha }_1)\to {\mathbb{F}}_1$，其中 $\sigma ({\alpha }_1)={\alpha }_i$。则根据定理 6 的证明过程，可知总能唯一地把 $\sigma$ 开拓为与 $\{{\nu }_i\}$ 关联的保 $\mathbb{F}$ 自同构 $\sigma :{\mathbb{F}}_1\to {\mathbb{F}}_1$。于是，我们得到了 $n$ 个保 $\mathbb{F}$ 自同构。

　　 2. 但这些自同构不是全部，因为只是针对一组基构造出来的。${\mathbb{F}}_1$ 上所有的保 $\mathbb{F}$ 自同构，应该是上段构造的自同构和全体保 $\mathbb{F}({\alpha }_1)$ 复合的结果⁴。

　　 3. 据归纳假设，${\mathbb{F}}_1$ 上的保 $\mathbb{F}({\alpha }_1)$ 自同构的数量，等于扩张次数 $[{\mathbb{F}}_1:\mathbb{F}({\alpha }_1)]$。而 $\mathbb{F}({\alpha }_1)$ 的保 $\mathbb{F}$ 自同构又有 $n$ 个，也等于扩张次数 $[\mathbb{F}({\alpha }_1):\mathbb{F}]$。所以由定理 4 ，$[{\mathbb{F}}_1:\mathbb{F}]=[{\mathbb{F}}_1:\mathbb{F}({\alpha }_1)][\mathbb{F}({\alpha }_1):\mathbb{F}]$，进而知定理的等号情况成立。

　　 对于 $h$ 有重根的情况，第 1. 步和第 2. 步中至少有一步不能取等号，进而定理的非等号情况成立。

　　 对于整个 $f$ 的情况，则在讨论完 ${\mathbb{F}}_1$ 后，取 $f$ 在 ${\mathbb{F}}_1$ 上的不可约因子继续讨论，得到其分裂域 ${\mathbb{F}}_2$，再取 $f$ 在 ${\mathbb{F}}_2$ 上的不可约因子继续讨论，直到将 $f$ 完全分裂。由于不同的多项式的根之间不可能互相映射到，因此计算同构数量的时候可以简单相乘，而不必像 1. 和 2. 那样讨论。

　　 证毕。

1. ^ 也就是画出它的一棵真因子树。
2. ^ 由于 $h(x)$ 是 $\mathbb{F}[x]$ 中的不可约元素，且 $\mathbb{F}[x]$ 是主理想整环，因此易证 $⟨h(x)⟩$ 是 $\mathbb{F}[x]$ 上的极大理想，从而 $\mathbb{F}(x)/⟨h(x)⟩$ 是域。
3. ^ 即无重根时。
4. ^ 这是因为 ${\mathbb{F}}_1$ 的保 $\mathbb{F}$ 自同构只有两种类型，保 $\mathbb{F}({\alpha }_1)$ 和不保 $\mathbb{F}({\alpha }_1)$ 的，而 $\sigma (\mathbb{F}({\alpha }_1))$ 只取决于 $\sigma ({\alpha }_1)$，所以总可以用一个不保 $\mathbb{F}({\alpha }_1)$ 的自同构把 $\sigma$ 复合成保 $\mathbb{F}({\alpha }_1)$ 的。