正规扩张

                     

贡献者： JierPeter

预备知识　纯不可分扩张

　　 定理 4 揭示了有限扩张情况下，分裂域和正规扩张的等价性，但并没有说到一般情况。本节的焦点集中在正规扩张本身上，讨论一般情况。

定义 1　共轭

　　 设 $\mathbb{F}$ 是一个域，$\overline{\mathbb{F}}$ 是其代数闭包。

　　 对于 $\alpha\in\overline{\mathbb{F}}$，其关于 $\mathbb{F}$ 的共轭元素（conjugate）定义为其在 $\overline{\mathbb{F}}$ 的某个保 $\mathbb{F}$ 自同构的像。

　　 对于 $\mathbb{F}$ 的代数扩张 $\mathbb{K}$，其关于 $\mathbb{F}$ 的共轭域（conjugate）定义为其在 $\overline{\mathbb{F}}$ 的某个保 $\mathbb{F}$ 自同构的像。

　　 显然，无论对元素还是域，共轭都是一种等价关系。由于共轭元素和共轭域的定义都依赖同一个自同构，因此，两个共轭域中的元素彼此对应共轭。

　　 类比定理 3 的证明思路，可知两元素共轭的充要条件是，它们是同一个不可约多项式的根。

　　 我们也可以用共轭的语言来描述正规扩张：

定理 1　

　　 一个代数扩张 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是正规的，当且仅当 $\mathbb{K}$ 关于 $\mathbb{F}$ 的共轭只有它自己，当且仅当任意 $a\in\mathbb{K}$ 的共轭元素仍然在 $\mathbb{K}$ 中。

1. 正规扩张的性质

　　 现在我们讨论的是，给定域上正规扩张集合的结构。

定理 2　

　　 设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是正规扩张，且存在中间域 $\mathbb{M}$，则 $\mathbb{K}/\mathbb{M}$ 也是正规扩张。

　　 证明：

　　 由于 $\mathbb{F}\subseteq\mathbb{M}$，故 $\mathbb{K}$ 的保 $\mathbb{M}$ 自同构一定是保 $\mathbb{F}$ 的，故 $\mathbb{K}$ 关于 $\mathbb{M}$ 的共轭必是关于 $\mathbb{F}$ 的共轭。由定理 1 则得证。

　　 证毕。

定义 2　合成

　　 设 $\mathbb{F}_i$ 是 $\mathbb{K}$ 的一族子域，则记 $\prod_{i}\mathbb{F}_i$ 为包含全体 $\mathbb{F}_i$ 的最小的子域，称为族 $\{\mathbb{F}_i\}$ 的合成（composite 或 compositum）。

　　 $\prod_{i}\mathbb{F}_i$ 也可以记为 $\mathbb{F}_1\mathbb{F}_2\cdots$。

　　 合成也可以看成是一种扩域，$\mathbb{K}\mathbb{F}=\mathbb{K}(\mathbb{F})=\mathbb{F}(\mathbb{K})$。

定理 3　

　　 设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是正规扩张，子域 $\mathbb{E}\subseteq\overline{\mathbb{F}}$。如果合成域 $\mathbb{EK}$ 存在，那么 $\mathbb{EK}/\mathbb{EF}$ 是正规扩张。

　　 证明：

　　 由于 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 正规，故任取 $\overline{\mathbb{F}}$ 的 $\mathbb{F}$-自同构 $\sigma$，$\sigma(\mathbb{K})=\mathbb{K}$。

　　 任取 $\overline{\mathbb{F}}$ 的 $\mathbb{EF}$-自同构 $\tau$，则 $\tau(\mathbb{E})=\mathbb{E}$1。

　　 由于 $\mathbb{F}\subseteq\mathbb{EF}$，故 $\overline{\mathbb{F}}$ 的 $\mathbb{EF}$-自同构 $\tau$ 必是 $\mathbb{F}$-自同构，从而 $\tau(\mathbb{K})=\mathbb{K}$。

　　 综上，$\tau(\mathbb{EK})=\tau(\mathbb{E})\tau(\mathbb{K})=\mathbb{EK}$。

　　 证毕。

定理 4　

　　 设 $\mathbb{K}_i/\mathbb{F}$ 是正规扩张，则 $\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2/\mathbb{F}$ 是正规扩张。

　　 证明：

　　 任取 $\overline{\mathbb{F}}$ 上的 $\mathbb{F}$-自同构 $\sigma$，则 $\sigma(\mathbb{K}_i)=\mathbb{K}_i\implies \sigma(\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2)=\sigma(\mathbb{K}_1)\sigma(\mathbb{K}_2)=\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2$。

　　 证毕。

定理 5　

　　 设 $\mathbb{K}_i/\mathbb{F}$ 是正规扩张，则 $\bigcap_{i}\mathbb{K}_i/\mathbb{F}$ 是正规扩张。

　　 证明：

　　 正规扩张的定义：任取 $f\in\mathbb{F}[x]$，若其有一根在 $\mathbb{K}_i$ 中，则其所有根都在 $\mathbb{K}_i$ 中。由定义直接得证。

　　 证毕。

　　 考虑到共轭的定义及其性质，即定理 1 ，我们可以得到下面这个性质：

定理 6　

　　 设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是一个代数扩域。$\mathbb{F}$ 的全体包含 $\mathbb{K}$ 的正规扩张之交集，是 $\mathbb{K}$ 关于 $\mathbb{F}$ 的全体共轭域之合成。

　　 证明：

　　 由于正规扩张包含所有的根，共轭域之间的元素也对应共轭，且共轭元素是同一个不可约多项式的根，故 $\mathbb{F}$ 的每一个包含 $\mathbb{K}$ 的正规扩张，都包含 $\mathbb{K}$ 关于 $\mathbb{F}$ 的全体共轭域。

　　 下证全体共轭域的合成是正规扩张。

　　 $\mathbb{K}$ 关于 $\mathbb{F}$ 的全体共轭域之合成记为 $\mathbb{H}$。设 $\mathbb{K}$ 关于 $\mathbb{F}$ 的全体共轭域的并集为 $S$，则 $\mathbb{H}=\mathbb{F}(S)$。

　　 任取 $\overline{\mathbb{F}}$ 的保 $\mathbb{H}$ 自同构 $\sigma$，则由共轭域的定义，$\sigma(S)=S$。于是 $\sigma(\mathbb{F}(S))=\sigma(\mathbb{F})(\sigma(S))=\mathbb{F}(\sigma(S))=\mathbb{F}(S)$。即，$\sigma(\mathbb{H})=\mathbb{H}$。

　　 由定理 1 即得证。

　　 证毕。

定理 7　

　　 域 $\mathbb{F}$ 的有限扩张，总包含在 $\mathbb{F}$ 的某个有限正规扩张里；$\mathbb{F}$ 的可分扩张，总包含在 $\mathbb{F}$ 的某个可分正规扩张里。

　　 证明：

　　 先证明有限扩张的情况：

　　 设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是有限扩张，那么作为 $\mathbb{F}$ 上的线性空间，$\mathbb{K}$ 的基只有有限多个元素。$\mathbb{K}$ 的任何保 $\mathbb{F}$ 自同构，由于是同构，因此只取决于基向量映射到哪里。由于有限扩张必是代数扩张，故每个基向量都是代数元素，故每个基向量的共轭元素是有限多的。综上，$\mathbb{K}$ 关于 $\mathbb{F}$ 的共轭域只能是有限多个。

　　 据定理 6 ，取 $\mathbb{K}$ 关于 $\mathbb{F}$ 的共轭域之合成。由于每个共轭域在 $\mathbb{F}$ 都是有限维线性空间，则其合成也是有限维的2。

　　 再证明可分扩张的情况：

　　 设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是有限扩张，取 $\mathbb{K}$ 关于 $\mathbb{F}$ 的共轭域之合成，记为 $\mathbb{L}$。由可分扩张的传递性推论 3 ，可知 $\mathbb{L}$ 上的任意元素都是可分元素，进而是可分扩张。

　　 证毕。

　　 把定理 7 的两个情况组合起来，也能得到自然推论：有限可分扩张总包含在有限可分正规扩张里。

2. 纯不可分扩张

　　 留意定理 8 ，纯不可分元素与其在域自同构下的像的数目息息相关。和正规扩张结合起来，这一性质可以延伸出下列性质：

定理 8　

　　 设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是正规扩张，记

\begin{equation} \mathbb{S}=\{\alpha\in\mathbb{K}\mid \sigma\alpha = \alpha, \sigma\text{是域}\overline{\mathbb{F}}\text{的任意保}\mathbb{F}\text{自同构}\}~, \end{equation}
则 $\mathbb{S}/\mathbb{F}$ 是纯不可分扩张，$\mathbb{K}/\mathbb{S}$ 是可分扩张。

　　 证明：

　　 首先要证明 $\mathbb{S}$ 确实是一个域3：任取 $\alpha, \beta, \gamma\in\mathbb{S}$，则有 $\sigma(\alpha\beta+\gamma)=\sigma(\alpha)\sigma(\beta)+\sigma(\gamma)=\alpha\beta+\gamma$，所以 $\mathbb{S}$ 的元素之间相加、相乘是封闭的；由于 $\sigma(\alpha^{-1})=(\sigma(\alpha))^{-1}=\alpha^{-1}$ 和 $\sigma(-\alpha)=-(\sigma(\alpha))/=-\alpha/$，所以取逆运算也封闭。

　　 然后，据定理 8 直接可得 $\mathbb{S}/\mathbb{F}$ 是纯不可分扩张。

　　 接下来证明 $\mathbb{K}/\mathbb{S}$ 是可分扩张，只考虑 $ \operatorname {ch}\mathbb{F}$ 是素数 $p$ 的情况，因为特征为 $0$ 的域必是完美域4。

　　 任取 $\alpha\in\mathbb{K}$。取 $\mathbb{F}(\alpha)$ 的全体保 $\mathbb{F}$ 单同态 $\varphi_1, \cdots, \varphi_n:\mathbb{F}\to\overline{\mathbb{F}}$，互不相同，其中 $\varphi_1$ 是恒等映射。由定理 6 ，可将每个 $\varphi_i$ 开拓为 $\overline{\mathbb{F}}$ 的保 $\mathbb{F}$ 自同构 $\phi_i$。

　　 由于 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是正规扩张，而域同态总是把多项式的根映射为另一根，故 $\varphi_i\mathbb{K}\subseteq\mathbb{K}$。因为 $\mathbb{F}(\alpha)$ 是由 $\alpha$ 生成的，可知不同的 $\varphi_i$ 将 $\alpha$ 映入不同的 $\varphi_i\alpha$，并且因为 $\{\varphi_i\}$ 便历所有可能性，$\{\varphi_i\alpha\}$ 就是 $ \operatorname {irr}(\alpha, \mathbb{F})$ 的全体根集合。

　　 构造 $\mathbb{K}[x]$ 上的多项式：

\begin{equation} f(x) = (x-\varphi_1\alpha)(x-\varphi_2\alpha)\cdots(x-\varphi_n\alpha)~, \end{equation}
则由于已设定 $\varphi_1$ 是恒等映射，可知 $f(\alpha)=0$；由于各 $\varphi_i\alpha$ 互不相同，可知 $f$ 是可分多项式5。

　　 下证 $f$ 的系数都在 $\mathbb{S}$ 上。

　　 任取 $\overline{\mathbb{F}}$ 的保 $\mathbb{F}$ 自同构 $\sigma$，则 $\sigma\mid_{\{\varphi_i\alpha\}}$ 是一个 $\{\varphi_i\alpha\}$（$ \operatorname {irr}(\alpha, \mathbb{F})$ 的全体根集合）上的置换。于是有

\begin{equation} \begin{aligned} \sigma(\prod_i \varphi_i\alpha) &= \prod_i \varphi_i\alpha~,\\ \sigma(\sum_{j}\frac{\prod_i \varphi_i\alpha}{\varphi_j\alpha}) &= \sum_{j}\frac{\prod_i \varphi_i\alpha}{\varphi_j\alpha}~,\\ \sigma(\sum_{j, k}\frac{\prod_i \varphi_i\alpha}{\varphi_j\alpha\times\varphi_k\alpha}) &= \sum_{j, k}\frac{\prod_i \varphi_i\alpha}{\varphi_j\alpha\times\varphi_k\alpha}~,\\ &\vdots\\ \sigma(\sum_i\varphi_i\alpha) &= \sum_i\varphi_i\alpha~,\\ \sigma(1) &= 1~. \end{aligned} \end{equation}
式中第 $k$ 行左边的括号里和右边是 $f(x)$ 的第 $k-1$ 次项系数。

　　 由式 3 ，$f$ 的每一项系数都满足式 1 ，故 $f$ 的系数都在 $\mathbb{S}$ 上。

　　 故 $ \operatorname {irr}(\alpha, \mathbb{S})\mid f$，因此也是可分的。

　　 故 $\alpha$ 是 $\mathbb{S}$ 上的可分元素。由 $\alpha$ 的任意性，得证 $\mathbb{K}/\mathbb{S}$ 是可分扩张。

　　 证毕。

　　 注意定理 8 和定理 1 的描述，恰好是对偶的：后者是先进行可分扩张再进行纯不可分扩张，前者则反了过来。

1. ^ 更准确地，$\tau\mid_{\mathbb{E}}= \operatorname {id}_\mathbb{E}$。
2. ^ 各共轭域取一基向量求积，所得的集合即是合成域的基。因此，如果每个共轭域的维数是 $n$，一共 $k$ 个共轭域，则其合成的维数不超过 $n^k$。
3. ^ 非常显然，建议能自己想就跳过本段说明。
4. ^ 见可分扩张。
5. ^ 注意，这里没法证明 $f= \operatorname {irr}(\alpha, \mathbb{F})$，因为无法保证 $f\in\mathbb{F}[x]$。最多只能确定 $ \operatorname {irr}(\alpha, \mathbb{F})=f^k$，其中 $k$ 是正整数。换句话说，没法证明 $f$ 的系数都在 $\mathbb{F}$ 上。


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