正规扩张

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 纯不可分扩张

   定理 4 揭示了有限扩张情况下,分裂域和正规扩张的等价性,但并没有说到一般情况。本节的焦点集中在正规扩张本身上,讨论一般情况。

定义 1 共轭

   设 $\mathbb{F}$ 是一个域,$\overline{\mathbb{F}}$ 是其代数闭包。

   对于 $\alpha\in\overline{\mathbb{F}}$,其关于 $\mathbb{F}$ 的共轭元素(conjugate)定义为其在 $\overline{\mathbb{F}}$ 的某个保 $\mathbb{F}$ 自同构的像。

   对于 $\mathbb{F}$ 的代数扩张 $\mathbb{K}$,其关于 $\mathbb{F}$ 的共轭域(conjugate)定义为其在 $\overline{\mathbb{F}}$ 的某个保 $\mathbb{F}$ 自同构的像。

   显然,无论对元素还是域,共轭都是一种等价关系。由于共轭元素和共轭域的定义都依赖同一个自同构,因此,两个共轭域中的元素彼此对应共轭。

   类比定理 3 的证明思路,可知两元素共轭的充要条件是,它们是同一个不可约多项式的根。

   我们也可以用共轭的语言来描述正规扩张:

定理 1 

   一个代数扩张 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是正规的,当且仅当 $\mathbb{K}$ 关于 $\mathbb{F}$ 的共轭只有它自己,当且仅当任意 $a\in\mathbb{K}$ 的共轭元素仍然在 $\mathbb{K}$ 中。

1. 正规扩张的性质

   现在我们讨论的是,给定域上正规扩张集合的结构。

定理 2 

   设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是正规扩张,且存在中间域 $\mathbb{M}$,则 $\mathbb{K}/\mathbb{M}$ 也是正规扩张。

   证明

   由于 $\mathbb{F}\subseteq\mathbb{M}$,故 $\mathbb{K}$ 的保 $\mathbb{M}$ 自同构一定是保 $\mathbb{F}$ 的,故 $\mathbb{K}$ 关于 $\mathbb{M}$ 的共轭必是关于 $\mathbb{F}$ 的共轭。由定理 1 则得证。

   证毕

定义 2 合成

   设 $\mathbb{F}_i$ 是 $\mathbb{K}$ 的一族子域,则记 $\prod_{i}\mathbb{F}_i$ 为包含全体 $\mathbb{F}_i$ 的最小的子域,称为族 $\{\mathbb{F}_i\}$ 的合成(composite 或 compositum)

   $\prod_{i}\mathbb{F}_i$ 也可以记为 $\mathbb{F}_1\mathbb{F}_2\cdots$。

   合成也可以看成是一种扩域,$\mathbb{K}\mathbb{F}=\mathbb{K}(\mathbb{F})=\mathbb{F}(\mathbb{K})$。

定理 3 

   设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是正规扩张,子域 $\mathbb{E}\subseteq\overline{\mathbb{F}}$。如果合成域 $\mathbb{EK}$ 存在,那么 $\mathbb{EK}/\mathbb{EF}$ 是正规扩张。

   证明

   由于 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 正规,故任取 $\overline{\mathbb{F}}$ 的 $\mathbb{F}$-自同构 $\sigma$,$\sigma(\mathbb{K})=\mathbb{K}$。

   任取 $\overline{\mathbb{F}}$ 的 $\mathbb{EF}$-自同构 $\tau$,则 $\tau(\mathbb{E})=\mathbb{E}$1

   由于 $\mathbb{F}\subseteq\mathbb{EF}$,故 $\overline{\mathbb{F}}$ 的 $\mathbb{EF}$-自同构 $\tau$ 必是 $\mathbb{F}$-自同构,从而 $\tau(\mathbb{K})=\mathbb{K}$。

   综上,$\tau(\mathbb{EK})=\tau(\mathbb{E})\tau(\mathbb{K})=\mathbb{EK}$。

   证毕

定理 4 

   设 $\mathbb{K}_i/\mathbb{F}$ 是正规扩张,则 $\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2/\mathbb{F}$ 是正规扩张。

   证明

   任取 $\overline{\mathbb{F}}$ 上的 $\mathbb{F}$-自同构 $\sigma$,则 $\sigma(\mathbb{K}_i)=\mathbb{K}_i\implies \sigma(\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2)=\sigma(\mathbb{K}_1)\sigma(\mathbb{K}_2)=\mathbb{K}_1\mathbb{K}_2$。

   证毕

定理 5 

   设 $\mathbb{K}_i/\mathbb{F}$ 是正规扩张,则 $\bigcap_{i}\mathbb{K}_i/\mathbb{F}$ 是正规扩张。

   证明

   正规扩张的定义:任取 $f\in\mathbb{F}[x]$,若其有一根在 $\mathbb{K}_i$ 中,则其所有根都在 $\mathbb{K}_i$ 中。由定义直接得证。

   证毕

   考虑到共轭的定义及其性质,即定理 1 ,我们可以得到下面这个性质:

定理 6 

   设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是一个代数扩域。$\mathbb{F}$ 的全体包含 $\mathbb{K}$ 的正规扩张之交集,是 $\mathbb{K}$ 关于 $\mathbb{F}$ 的全体共轭域之合成

   证明

   由于正规扩张包含所有的根,共轭域之间的元素也对应共轭,且共轭元素是同一个不可约多项式的根,故 $\mathbb{F}$ 的每一个包含 $\mathbb{K}$ 的正规扩张,都包含 $\mathbb{K}$ 关于 $\mathbb{F}$ 的全体共轭域。

   下证全体共轭域的合成是正规扩张。

   $\mathbb{K}$ 关于 $\mathbb{F}$ 的全体共轭域之合成记为 $\mathbb{H}$。设 $\mathbb{K}$ 关于 $\mathbb{F}$ 的全体共轭域的并集为 $S$,则 $\mathbb{H}=\mathbb{F}(S)$。

   任取 $\overline{\mathbb{F}}$ 的保 $\mathbb{H}$ 自同构 $\sigma$,则由共轭域的定义,$\sigma(S)=S$。于是 $\sigma(\mathbb{F}(S))=\sigma(\mathbb{F})(\sigma(S))=\mathbb{F}(\sigma(S))=\mathbb{F}(S)$。即,$\sigma(\mathbb{H})=\mathbb{H}$。

   由定理 1 即得证。

   证毕

定理 7 

   域 $\mathbb{F}$ 的有限扩张,总包含在 $\mathbb{F}$ 的某个有限正规扩张里;$\mathbb{F}$ 的可分扩张,总包含在 $\mathbb{F}$ 的某个可分正规扩张里。

   证明

   先证明有限扩张的情况:

   设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是有限扩张,那么作为 $\mathbb{F}$ 上的线性空间,$\mathbb{K}$ 的基只有有限多个元素。$\mathbb{K}$ 的任何保 $\mathbb{F}$ 自同构,由于是同构,因此只取决于基向量映射到哪里。由于有限扩张必是代数扩张,故每个基向量都是代数元素,故每个基向量的共轭元素是有限多的。综上,$\mathbb{K}$ 关于 $\mathbb{F}$ 的共轭域只能是有限多个。

   据定理 6 ,取 $\mathbb{K}$ 关于 $\mathbb{F}$ 的共轭域之合成。由于每个共轭域在 $\mathbb{F}$ 都是有限维线性空间,则其合成也是有限维的2

   再证明可分扩张的情况:

   设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是有限扩张,取 $\mathbb{K}$ 关于 $\mathbb{F}$ 的共轭域之合成,记为 $\mathbb{L}$。由可分扩张的传递性推论 3 ,可知 $\mathbb{L}$ 上的任意元素都是可分元素,进而是可分扩张。

   证毕

   把定理 7 的两个情况组合起来,也能得到自然推论:有限可分扩张总包含在有限可分正规扩张里。

2. 纯不可分扩张

   留意定理 8 ,纯不可分元素与其在域自同构下的像的数目息息相关。和正规扩张结合起来,这一性质可以延伸出下列性质:

定理 8 

   设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是正规扩张,记

\begin{equation} \mathbb{S}=\{\alpha\in\mathbb{K}\mid \sigma\alpha = \alpha, \sigma\text{是域}\overline{\mathbb{F}}\text{的任意保}\mathbb{F}\text{自同构}\}~, \end{equation}
则 $\mathbb{S}/\mathbb{F}$ 是纯不可分扩张,$\mathbb{K}/\mathbb{S}$ 是可分扩张。

   证明

   首先要证明 $\mathbb{S}$ 确实是一个域3:任取 $\alpha, \beta, \gamma\in\mathbb{S}$,则有 $\sigma(\alpha\beta+\gamma)=\sigma(\alpha)\sigma(\beta)+\sigma(\gamma)=\alpha\beta+\gamma$,所以 $\mathbb{S}$ 的元素之间相加、相乘是封闭的;由于 $\sigma(\alpha^{-1})=(\sigma(\alpha))^{-1}=\alpha^{-1}$ 和 $\sigma(-\alpha)=-(\sigma(\alpha))/=-\alpha/$,所以取逆运算也封闭。

   然后,据定理 8 直接可得 $\mathbb{S}/\mathbb{F}$ 是纯不可分扩张。

   接下来证明 $\mathbb{K}/\mathbb{S}$ 是可分扩张,只考虑 $ \operatorname {ch}\mathbb{F}$ 是素数 $p$ 的情况,因为特征为 $0$ 的域必是完美域4

   任取 $\alpha\in\mathbb{K}$。取 $\mathbb{F}(\alpha)$ 的全体保 $\mathbb{F}$ 单同态 $\varphi_1, \cdots, \varphi_n:\mathbb{F}\to\overline{\mathbb{F}}$,互不相同,其中 $\varphi_1$ 是恒等映射。由定理 6 ,可将每个 $\varphi_i$ 开拓为 $\overline{\mathbb{F}}$ 的保 $\mathbb{F}$ 自同构 $\phi_i$。

   由于 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是正规扩张,而域同态总是把多项式的根映射为另一根,故 $\varphi_i\mathbb{K}\subseteq\mathbb{K}$。因为 $\mathbb{F}(\alpha)$ 是由 $\alpha$ 生成的,可知不同的 $\varphi_i$ 将 $\alpha$ 映入不同的 $\varphi_i\alpha$,并且因为 $\{\varphi_i\}$ 便历所有可能性,$\{\varphi_i\alpha\}$ 就是 $ \operatorname {irr}(\alpha, \mathbb{F})$ 的全体根集合。

   构造 $\mathbb{K}[x]$ 上的多项式:

\begin{equation} f(x) = (x-\varphi_1\alpha)(x-\varphi_2\alpha)\cdots(x-\varphi_n\alpha)~, \end{equation}
则由于已设定 $\varphi_1$ 是恒等映射,可知 $f(\alpha)=0$;由于各 $\varphi_i\alpha$ 互不相同,可知 $f$ 是可分多项式5

   下证 $f$ 的系数都在 $\mathbb{S}$ 上。

   任取 $\overline{\mathbb{F}}$ 的保 $\mathbb{F}$ 自同构 $\sigma$,则 $\sigma\mid_{\{\varphi_i\alpha\}}$ 是一个 $\{\varphi_i\alpha\}$($ \operatorname {irr}(\alpha, \mathbb{F})$ 的全体根集合)上的置换。于是有

\begin{equation} \begin{aligned} \sigma(\prod_i \varphi_i\alpha) &= \prod_i \varphi_i\alpha~,\\ \sigma(\sum_{j}\frac{\prod_i \varphi_i\alpha}{\varphi_j\alpha}) &= \sum_{j}\frac{\prod_i \varphi_i\alpha}{\varphi_j\alpha}~,\\ \sigma(\sum_{j, k}\frac{\prod_i \varphi_i\alpha}{\varphi_j\alpha\times\varphi_k\alpha}) &= \sum_{j, k}\frac{\prod_i \varphi_i\alpha}{\varphi_j\alpha\times\varphi_k\alpha}~,\\ &\vdots\\ \sigma(\sum_i\varphi_i\alpha) &= \sum_i\varphi_i\alpha~,\\ \sigma(1) &= 1~. \end{aligned} \end{equation}
式中第 $k$ 行左边的括号里和右边是 $f(x)$ 的第 $k-1$ 次项系数。

   由式 3 ,$f$ 的每一项系数都满足式 1 ,故 $f$ 的系数都在 $\mathbb{S}$ 上。

   故 $ \operatorname {irr}(\alpha, \mathbb{S})\mid f$,因此也是可分的。

   故 $\alpha$ 是 $\mathbb{S}$ 上的可分元素。由 $\alpha$ 的任意性,得证 $\mathbb{K}/\mathbb{S}$ 是可分扩张。

   证毕

   注意定理 8 定理 1 的描述,恰好是对偶的:后者是先进行可分扩张再进行纯不可分扩张,前者则反了过来。


1. ^ 更准确地,$\tau\mid_{\mathbb{E}}= \operatorname {id}_\mathbb{E}$。
2. ^ 各共轭域取一基向量求积,所得的集合即是合成域的基。因此,如果每个共轭域的维数是 $n$,一共 $k$ 个共轭域,则其合成的维数不超过 $n^k$。
3. ^ 非常显然,建议能自己想就跳过本段说明。
4. ^可分扩张
5. ^ 注意,这里没法证明 $f= \operatorname {irr}(\alpha, \mathbb{F})$,因为无法保证 $f\in\mathbb{F}[x]$。最多只能确定 $ \operatorname {irr}(\alpha, \mathbb{F})=f^k$,其中 $k$ 是正整数。换句话说,没法证明 $f$ 的系数都在 $\mathbb{F}$ 上。


致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

                     

友情链接: 超理论坛 | ©小时科技 保留一切权利