域的扩张

                     

贡献者: JierPeter; addis; Giacomo

  • 理想的符号 <,>,应该改成 ,,但我个人更喜欢 (,)
  • 应该区分多项式和多项式环,在修改了预备知识后应该修改
预备知识 分式域,多项式环

1. 域的单扩张

   如果在一个域中添加不属于域集合的元素,我们可以得到一个更大的集合。要让这个新集合成为域,我们就得定义新元素和原来域中元素相加和相乘的结果;无论怎么定义,这个结果必须满足域的公理。如果在集合中任何元素都无法成为某个运算结果,那么我们就必须再引入新的元素来作为这个结果。以此类推,不停地添加新元素,直到最后不需要添加新元素了,那最后这个集合就是一个新的域,它包含了原来的域。这个域是原来的域的扩张,并且是包含最初那个新元素的最小的域,因此被称为单元素扩张,简称单扩张

   域的单扩张具体是怎么进行的呢?我们将从例子开始说明,最后引入域的单扩张的定义。

习题 1 有理数域的 2 扩张

   给定有理数域 Q,则 2 并不是 Q 的元素。将 2 添加进去,那么由于 2 是实数域 R 的元素,这提示我们可以把新的运算结果按照 R 中的运算来定义。这样,Q 中添加 2 的单扩域的集合就是 {a+b2|a,bQ}

   请验证,任意 a+b2 都必须在扩域中;而这个集合也满足了加法和乘法的封闭性与逆元存在性,从而构成了一个域。于是,这个集合是包含 2 和全体有理数的最小的域。

习题 2 超越扩域

   依然给定有理数域 Q,这次添加的元素是 π。那么扩域应当是

(1){i=0Naiπij=0Mbjπj|ai,bjQ,bj不全为零,N,MZ+} 
也就是 π 的所有有理系数多项式的分式构成的集合,其中分母不是 0

   验证这是一个域,并且是包含全体有理数和 π 的最小域。注意 ai 全为 0 的情况意味着什么。

   这是 Q 中添加 π 后的单扩张。

   借助分式域多项式环的概念,我们可以简练地定义域的单扩张如下:

定义 1 域的单扩张

   给定域 F 和一个元素 x0,其中 x0F 上的最小多项式是 f(x)。定义 F 添加 x0单扩张是多项式环 F[x0]=F[x]/<f(x0)> 的分式域,记为 F(x0)

   在定义 1 中,如果 x0F 中没有最小多项式,那么 F(x0) 中的各元素彼此不同,此时我们称 x0F超越元(transcendental element)

定义 2 本原元

   设 K/F 是有限次的域扩张,如果存在 aK 使得 K=F(a),则称 a 是域扩张 K/F本原元素(primitive element),或者说是 KF 的本原元素,简称本原元,有时也称原根

   观察习题 1 习题 2 中两个域扩张的特点,我们容易发现,由于加法和乘法的封闭性,添加某个元素后的单扩张,必须包含这个元素的所有多项式,系数取自域中;由于乘法逆元存在性,这些多项式的倒数也得包含进去。因此,域的单扩张可以简单理解为把新元素的多项式都添加进去的过程。

   但是两个场景是不太一样的。Q 中添加 π 的过程中,包含了所有 π 的有理系数多项式,比如 3.5π4+2π2+0.1π1/3,但是添加 2 的时候却只需要最多 1 阶的多项式,像 3.5(2)3+1 就可以改写为 72+1。这是因为 22 次方是一个有理数,落入了 Q 中,因此 22 阶及以上的有理系数多项式都可以表示为最多 1 阶的多项式。

   换一种更方便的表述,那就是 x22 这个多项式是阶数最小的能将 2 映射为 0 的多项式。这就引出最小多项式的概念。

定义 3 最小多项式

   给定一个环 R 和任意元素 x0,其中 x0不一定R 中的元素。记 R[x0]={i=0Nrix0i|riR,NZ+} .R[x0]x0R 中的多项式环。在 R[x0] 中,如果存在一个多项式 f(x0)=0,那么称 f(x0)x0R 上的零化多项式(null polynomial);阶数最低的零化多项式,称为 x0最小多项式(minimal polynomial),或极小多项式

   如果不存在多项式 f 使得 f(x0)=0,那么称 x0R不具有最小多项式

   在习题 1 习题 2 中,π2 的本质区别就是:在 Q 中,π 没有最小多项式,但是 2 具有最小多项式 x22。这决定了同一个域 Q 分别添加 π2 后的不同单扩张。

定义 4 代数元素与超越元素

   给定环 R 及其子环 S,如果元素 aRS 上有最小多项式,则称之为 S代数元素(algebraic element),否则称之为超越元素(transcendental element).

   特别地,整数环 Z 上的代数元素,称为代数数(algebraic number),而不是其代数元素的实数则称为超越数(transcendental number)

   定义 4 中要给定 R 来讨论其子环 S,是为了保证 a 已经定义好了与 S 中各元素的运算。如果有别的办法定义,那自然不需要那么麻烦。比如我们在习题 1 中讨论的 Q(2),虽然 2 不在 Q 中,但我们已经定义好了它与各有理数的运算关系。这个运算关系是怎么确定的呢?那就是用其在 Q 上的最小多项式x22

   因此,关于 2 的一切性质,其最小多项式 x22 已经阐述清楚了。我们可以转而用最小多项式来描述扩域的过程,这和写出 2 是等价的,只是用起来更方便,更广泛。比如说,要给 Q 添加一个元素 aQ 来进行扩域,而 aQ 上的最小多项式是 x6+x52x3+7.5x2x+9,那研究这个多项式自然比研究 a 到底是哪个实数要方便得多。

定理 1 

   给定域 F,取其超越元素 x1x2,则 F(x1)F(x2) 同构。

   证明思路是显然的,从 F(x1)F(x2) 的同构映射只需要将所有出现 x1 的地方都替换成 x2 即可,比如 1x1+x12 映射到 1x2+x22

   容易想到,x0 的最小多项式必然是给定域上的不可约多项式。因为一旦可约,那其因子的次数都小于它,但总得有一个因子是 x0 的零化多项式,这就违背了 “最小” 的定义。

2. 域的扩张次数

   以上,我们讨论了如何添加一个元素,并根据元素的最小多项式来得到域的单扩张。对一个域进行单扩张以后,再进行单扩张,如此反复,我们可以获得域的多次扩张。更一般地,我们有关于域扩张的如下定义:

定义 5 域的扩张

   设 K 是一个域,FK 且在 K 的运算下也构成域,那么称 FK子域,而 KF扩域(extension field)或者扩张(field extension)

   将上述域的扩张记为 K/F

   考虑域 F 及其扩域 KK 中的元素彼此之间可以相加,也可以乘以F中的元素,这两种运算分别对应线性空间中的向量加法与数乘。也就是说,K 可以视为 F 上的一个线性空间

定义 6 域的扩张次数

   给定域的扩张 K/FK 作为 F 上的线性空间的维数,称为 KF扩张次数,记为 [K:F]

   [K:F]< 时,称之为有限扩张,否则为无限扩张

   [Q(2):Q]=2,因此习题 1 中的扩域是一个二次扩张。你可以把 12 分别想象为两个基向量,而 Q(2) 就是这两个基向量在域 Q 上张成的线性空间。

   相对应地,[Q(21/3):Q] 是一个三次扩张,其基向量是 121/322/3。类似地,我们可以引申出以下定理:

定理 2 单扩张的次数 = 最小多项式的次数

   设域 F 有一个单扩张F(a),其中 aF 中的最小多项式为 f,则 [F(a):F]=degf

   证明

   设 degf=n,则 n 也是 f 的根的数目。

   则易证1{1,a,a2,a3,,an1} 是域 F 上线性空间 F(a) 的一组基。

   证毕

定义 7 代数扩张与超越扩张

   给定域 F 及其扩域 K。如果 K 中元素都是 F 的代数元素,则称 [K:F] 是一个代数扩张(algebraic extension),否则是一个超越扩张(transcendental extension)

   下面这个定理给出的是代数扩张的等价定义:

定理 3 

   给定域 F 及其单扩张 F(a),则以下条件等价:

   1. aF 上的代数元;

   2. [F(a):F]<

   3. [F(a):F] 是代数扩张。

   证明

   1 2:由定理 2 直接可得。

   2 3:任取 xF(a),由于 [F(a):F]=n<,故向量组 {1,x,x2,,xn} 必线性相关,因此存在一个 F 上的非零多项式 f 使得 f(1,x,x2,,xn)=0。因此任意 x 必是 F 上的代数元。

   3 1:由定义 7 直接可得。

   证毕

推论 1 

   如果 K/F 是有限扩张,则必是代数扩张。

   证明思路类比定理 3 中的 2 3。

   要注意的是,推论 1 只说了是有限扩张,而不是单有限扩张,因此无法像定理 3 那样反过来说 “代数扩张必是有限扩张”。比如说,Q 添加所有整数的平方根以后得到的显然是代数扩张,但同时也是无限扩张。

定理 4 

   考虑扩域 [K:F][L:K],则有

(2)[L:F]=[K:F][L:K] .

   证明

   只需要考虑 [K:F][L:K] 都有限的情况,证明该情况之后可自然推出无限的情况。

   设 {αi}i=1nKF 上的基,{βi}i=1mLK 上的基。

   任意 lL 均可表示为

(3)l=i=1mkibi ,
其中各 kiK

   同样,各 kiK 均可表示为

(4)ki=j=1nfijaj ,
其中各 fiF

   于是,任意 lL 可以表示为

(5)l=i=1mj=1nfijajbi ,

   也就是说,{ajbi} 构成了 L 作为 F 上线性空间的基。稍加计算即可得 |{ajbi}|=|{aj}|×|{bi}|

   证毕

   定理 4 中的 K 通常称为扩张 L/F中间域,扩张 K/F 称为 L/F子扩张

推论 2 

   如果 [K:F] 是一个素数,那么不存在M 使得 FMK

推论 3 中间域升链

  

   如果 K/F 是有限扩张,那么存在下面一系列域:

(6)F=F0F1F2Fn=K ,

   其中各 Fi+1Fi单扩张

3. 同构的开拓

定义 8 开拓

   设 R1R2 分别为环 K1K2 的子环。若 σ:R1R2η:K1K2 都是环同构,且 η|R1=σ2,那么称 ησ开拓(extension)

   特别地,如果有扩域 K1/FK2/F,那么 K1K2 的保 F 同构(如果存在的话)是 idF 的开拓。

   同构的开拓有以下性质:

定理 5 

   设 σ:F1F2 是域同构,K1/FK2/F 是域扩张。

   则:

   1. σ 可开拓为 F1[x]F2[x] 的环同构,为方便仍记为 σp(x)F1[x] 不可约当且仅当 σ(p) 不可约。

   2. 设 a1K1F1F1 上的最小多项式为 f(x)a2K2F2F1 上的最小多项式为 σ(f(x)),则存在 σ 的开拓 η:F1(a1)F2(a2),使得 η(a1)=a2

   证明

   1.

   显然,对于任意多项式 fF1[x],若其表达式为 i=0ncixi,那么 σ(f) 的表达式为 i=0nσ(ci)xi

   由于 σ 是环同构,即具有高度对称性,因此 “当且仅当” 只需要证明充分性或必要性其一即可。

   设 p(x) 可约,即存在阶数都大于 1 的多项式 h(x),g(x),使得 p=hg。那么 σ(p)=σ(h)σ(g),从而 σ(p) 也可约。必要性得证,定理得证。

   2.

   定义 η 为:对于任意 F1 上的多项式 f,有 η(f(a1))=f(a2)

   由多项式环定理 3 η:F1(a1)F2(a2) 是环同构3

   证毕

   定理 5 的第 1 条保证了 f 不可约则 σ(f) 也不可约,这是第 2 条中 “a2 的最小多项式为 σ(f)” 有意义的前提,因为最小多项式必是不可约的。

定理 6 

   设 F/F(α)/F 是代数扩域链,FF 的代数闭包,σ:F(α)F 是保 F 的域单同态4

   则 σ 可开拓为 F 的保 F 自同构 η

   证明

   将 F 看成 F(α) 的线性空间,任取一组基 {νi}5,则 F 的元素总形如 aiνi+biανi,其中只有有限多个 aibi 不为零。

   定义 ηη(aiνi+biανi)=aiνi+biσ(α)νi 即可。

   证毕

   域单同态总把不可约多项式的一个根映射为另一根,所以单同态是根的置换,但不一定是所有置换都可以。

例 1 

   考虑扩张 Q(2)/Q,则 Q(2) 有两个保 Q 自同构,一个是恒等映射,另一个是将 2 映射为 2 的映射。

   仅仅知道 σ(2)=2,且对于任意有理数 qσ(q)=q,就足够知道 σ 是什么了:σ(p+q2)=pq2p,qQ

4. 代数闭包

   最后,借着本节中代数元与超越元的讨论,我们引出代数闭包的概念:

定义 9 代数闭包

   考虑扩域 K/FK 中所有 F代数元构成一个新的集合 KF,称之为域 F 在域 K 上的代数闭包(algebraic closure)

定理 7 

   域 F 在域 K 上的代数闭包 KF 是一个域。

   证明

   KF 已经天然满足加法和乘法的结合性、单位元存在性以及乘法对加法的分配性。因此,我们只需要证明加法与乘法的封闭性加法与乘法的逆元存在性

   逆元存在性证明:任取 αKF{0},设其最小多项式为 i=0naixi,那么 α 也有最小多项式 i=0n(1)iaixi1/α 也有最小多项式 i=0naixni。于是按定义 4 α1/α 都是 F 的代数元素,逆元存在性得证。

   封闭性证明:记 F(α,β)=F(α)(β)=F(β)(α)。如果 α,βKF,那么 F(α)/F 是一个代数扩张,F(α,β)/F(α) 也是一个代数扩张,故由定理 3 知它们都是有限扩张6,故由定理 4 F(α,β)/F 是有限扩张,再由定理 3 或者推论 1 知它是代数扩张。

   因此,α+βF(α,β)αβF(α,β) 必是代数元素,封闭性得证。

   证毕

   由于域的代数闭包也是一个域,故也可称之为代数闭域。注意,光有 F 是无法讨论代数闭包的,必须有扩域 K/F 才行。

推论 4 代数扩张的代数扩张还是代数扩张

   如果 L/KK/F 都是代数扩张,那么 L/F 也是代数扩张。

   证明

   任取 x0L,其在 K 上的最小多项式为 g(x)=i=0nkixi。那么 x0F(k0,k1,,kn) 上的最小多项式也是 g(x)

   因此,K(x0)/F(k0,k1,,kn) 是单代数扩张,故是有限扩张。类似地,F(k0,k1,,kn)/F 也是有限扩张。由定理 4 ,这意味着 K(x0)/F 是有限扩张,从而是代数扩张。

   因此,x0F 的代数元。

   由 x0 的任意性,命题即得证。

   证毕


1. ^ 证明思路:首先这个向量组能张成 F(a) 是因为更高次的多项式总可以通过减去 f 的某个倍数来降到 n1 阶或更低;其次这个向量组线性无关是因为,如果线性相关,那就存在一个次数低于 n 的多项式 g 使得 g(a)=0 了,违反最小多项式的设定。
2. ^ 即对于任意 rR1,有 η(r)=σ(r)
3. ^ 本证明也可以这样来理解:由于同构,F1[x]F2[x] 本质上就是同一个环,fσ(f) 也就是同一个元素。于是命题化为:如果在一个域上 a1a2 有相同的最小多项式,那么用它们分别进行单扩张得到的扩域是否同构?根据定理 3 ,答案显然是肯定的。
4. ^ 该同态的存在性由定理 5 第 2 条保证。
5. ^ 不一定是有限基。
6. ^ 思考:为什么不能用推论 1


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