贡献者: JierPeter; addis; Giacomo
- 理想的符号 ,应该改成 ,但我个人更喜欢
- 应该区分多项式和多项式环,在修改了预备知识后应该修改
1. 域的单扩张
如果在一个域中添加不属于域集合的元素,我们可以得到一个更大的集合。要让这个新集合成为域,我们就得定义新元素和原来域中元素相加和相乘的结果;无论怎么定义,这个结果必须满足域的公理。如果在集合中任何元素都无法成为某个运算结果,那么我们就必须再引入新的元素来作为这个结果。以此类推,不停地添加新元素,直到最后不需要添加新元素了,那最后这个集合就是一个新的域,它包含了原来的域。这个域是原来的域的扩张,并且是包含最初那个新元素的最小的域,因此被称为单元素扩张,简称单扩张。
域的单扩张具体是怎么进行的呢?我们将从例子开始说明,最后引入域的单扩张的定义。
习题 1 有理数域的 扩张
给定有理数域 ,则 并不是 的元素。将 添加进去,那么由于 是实数域 的元素,这提示我们可以把新的运算结果按照 中的运算来定义。这样, 中添加 的单扩域的集合就是 。
请验证,任意 都必须在扩域中;而这个集合也满足了加法和乘法的封闭性与逆元存在性,从而构成了一个域。于是,这个集合是包含 和全体有理数的最小的域。
习题 2 超越扩域
依然给定有理数域 ,这次添加的元素是 。那么扩域应当是
也就是 的所有有理系数多项式的分式构成的集合,其中分母不是 。
验证这是一个域,并且是包含全体有理数和 的最小域。注意 全为 的情况意味着什么。
这是 中添加 后的单扩张。
借助分式域和多项式环的概念,我们可以简练地定义域的单扩张如下:
定义 1 域的单扩张
给定域 和一个元素 ,其中 在 上的最小多项式是 。定义 添加 的单扩张是多项式环 的分式域,记为
在定义 1 中,如果 在 中没有最小多项式,那么 中的各元素彼此不同,此时我们称 是 的超越元(transcendental element);
定义 2 本原元
设 是有限次的域扩张,如果存在 使得 ,则称 是域扩张 的本原元素(primitive element),或者说是 对 的本原元素,简称本原元,有时也称原根。
观察习题 1 和习题 2 中两个域扩张的特点,我们容易发现,由于加法和乘法的封闭性,添加某个元素后的单扩张,必须包含这个元素的所有多项式,系数取自域中;由于乘法逆元存在性,这些多项式的倒数也得包含进去。因此,域的单扩张可以简单理解为把新元素的多项式都添加进去的过程。
但是两个场景是不太一样的。 中添加 的过程中,包含了所有 的有理系数多项式,比如 ,但是添加 的时候却只需要最多 阶的多项式,像 就可以改写为 。这是因为 的 次方是一个有理数,落入了 中,因此 的 阶及以上的有理系数多项式都可以表示为最多 阶的多项式。
换一种更方便的表述,那就是 这个多项式是阶数最小的能将 映射为 的多项式。这就引出最小多项式的概念。
定义 3 最小多项式
给定一个环 和任意元素 ,其中 不一定是 中的元素。记
称 是 在 中的多项式环。在 中,如果存在一个多项式 ,那么称 是 在 上的零化多项式(null polynomial);阶数最低的零化多项式,称为 的最小多项式(minimal polynomial),或极小多项式。
如果不存在多项式 使得 ,那么称 在 中不具有最小多项式。
在习题 1 和习题 2 中, 和 的本质区别就是:在 中, 没有最小多项式,但是 具有最小多项式 。这决定了同一个域 分别添加 和 后的不同单扩张。
定义 4 代数元素与超越元素
给定环 及其子环 ,如果元素 在 上有最小多项式,则称之为 的代数元素(algebraic element),否则称之为超越元素(transcendental element).
特别地,整数环 上的代数元素,称为代数数(algebraic number),而不是其代数元素的实数则称为超越数(transcendental number)。
定义 4 中要给定 来讨论其子环 ,是为了保证 已经定义好了与 中各元素的运算。如果有别的办法定义,那自然不需要那么麻烦。比如我们在习题 1 中讨论的 ,虽然 不在 中,但我们已经定义好了它与各有理数的运算关系。这个运算关系是怎么确定的呢?那就是用其在 上的最小多项式,。
因此,关于 的一切性质,其最小多项式 已经阐述清楚了。我们可以转而用最小多项式来描述扩域的过程,这和写出 是等价的,只是用起来更方便,更广泛。比如说,要给 添加一个元素 来进行扩域,而 在 上的最小多项式是 ,那研究这个多项式自然比研究 到底是哪个实数要方便得多。
定理 1
给定域 ,取其超越元素 和 ,则 与 同构。
证明思路是显然的,从 到 的同构映射只需要将所有出现 的地方都替换成 即可,比如 映射到 。
容易想到, 的最小多项式必然是给定域上的不可约多项式。因为一旦可约,那其因子的次数都小于它,但总得有一个因子是 的零化多项式,这就违背了 “最小” 的定义。
2. 域的扩张次数
以上,我们讨论了如何添加一个元素,并根据元素的最小多项式来得到域的单扩张。对一个域进行单扩张以后,再进行单扩张,如此反复,我们可以获得域的多次扩张。更一般地,我们有关于域扩张的如下定义:
定义 5 域的扩张
设 是一个域, 且在 的运算下也构成域,那么称 是 的子域,而 是 的扩域(extension field)或者扩张(field extension)。
将上述域的扩张记为 。
考虑域 及其扩域 。 中的元素彼此之间可以相加,也可以乘以中的元素,这两种运算分别对应线性空间中的向量加法与数乘。也就是说, 可以视为 上的一个线性空间。
定义 6 域的扩张次数
给定域的扩张 。 作为 上的线性空间的维数,称为 对 的扩张次数,记为 。
时,称之为有限扩张,否则为无限扩张。
,因此习题 1 中的扩域是一个二次扩张。你可以把 和 分别想象为两个基向量,而 就是这两个基向量在域 上张成的线性空间。
相对应地, 是一个三次扩张,其基向量是 、 和 。类似地,我们可以引申出以下定理:
定理 2 单扩张的次数 最小多项式的次数
设域 有一个单扩张,其中 在 中的最小多项式为 ,则 。
证明:
设 ,则 也是 的根的数目。
则易证1 是域 上线性空间 的一组基。
证毕。
定义 7 代数扩张与超越扩张
给定域 及其扩域 。如果 中元素都是 的代数元素,则称 是一个代数扩张(algebraic extension),否则是一个超越扩张(transcendental extension)。
下面这个定理给出的是单代数扩张的等价定义:
定理 3
给定域 及其单扩张 ,则以下条件等价:
1. 是 上的代数元;
2. ;
3. 是代数扩张。
证明:
1 2:由定理 2 直接可得。
2 3:任取 ,由于 ,故向量组 必线性相关,因此存在一个 上的非零多项式 使得 。因此任意 必是 上的代数元。
3 1:由定义 7 直接可得。
证毕。
证明思路类比定理 3 中的 2 3。
要注意的是,推论 1 只说了是有限扩张,而不是单有限扩张,因此无法像定理 3 那样反过来说 “代数扩张必是有限扩张”。比如说, 添加所有整数的平方根以后得到的显然是代数扩张,但同时也是无限扩张。
证明:
只需要考虑 和 都有限的情况,证明该情况之后可自然推出无限的情况。
设 是 在 上的基, 是 在 上的基。
任意 均可表示为
其中各 。
同样,各 均可表示为
其中各 。
于是,任意 可以表示为
也就是说, 构成了 作为 上线性空间的基。稍加计算即可得 。
证毕。
定理 4 中的 通常称为扩张 的中间域,扩张 称为 的子扩张。
推论 2
如果 是一个素数,那么不存在域 使得 。
推论 3 中间域升链
如果 是有限扩张,那么存在下面一系列域:
其中各 是 的单扩张。
3. 同构的开拓
定义 8 开拓
设 和 分别为环 和 的子环。若 和 都是环同构,且 2,那么称 是 的开拓(extension)。
特别地,如果有扩域 和 ,那么 到 的保 同构(如果存在的话)是 的开拓。
同构的开拓有以下性质:
定理 5
设 是域同构, 和 是域扩张。
则:
1. 可开拓为 的环同构,为方便仍记为 。 不可约当且仅当 不可约。
2. 设 在 上的最小多项式为 , 在 上的最小多项式为 ,则存在 的开拓 ,使得
证明:
1.
显然,对于任意多项式 ,若其表达式为 ,那么 的表达式为 。
由于 是环同构,即具有高度对称性,因此 “当且仅当” 只需要证明充分性或必要性其一即可。
设 可约,即存在阶数都大于 的多项式 ,使得 。那么 ,从而 也可约。必要性得证,定理得证。
2.
定义 为:对于任意 上的多项式 ,有 。
由多项式环的定理 3 , 是环同构3。
证毕。
定理 5 的第 1 条保证了 不可约则 也不可约,这是第 2 条中 “ 的最小多项式为 ” 有意义的前提,因为最小多项式必是不可约的。
定理 6
设 是代数扩域链, 是 的代数闭包, 是保 的域单同态4。
则 可开拓为 的保 自同构 。
证明:
将 看成 的线性空间,任取一组基 5,则 的元素总形如 ,其中只有有限多个 和 不为零。
定义 为 即可。
证毕。
域单同态总把不可约多项式的一个根映射为另一根,所以单同态是根的置换,但不一定是所有置换都可以。
例 1
考虑扩张 ,则 有两个保 自同构,一个是恒等映射,另一个是将 映射为 的映射。
仅仅知道 ,且对于任意有理数 ,,就足够知道 是什么了:,。
4. 代数闭包
最后,借着本节中代数元与超越元的讨论,我们引出代数闭包的概念:
定义 9 代数闭包
考虑扩域 。 中所有 的代数元构成一个新的集合 ,称之为域 在域 上的代数闭包(algebraic closure)。
证明:
已经天然满足加法和乘法的结合性、单位元存在性以及乘法对加法的分配性。因此,我们只需要证明加法与乘法的封闭性和加法与乘法的逆元存在性。
逆元存在性证明:任取 ,设其最小多项式为 ,那么 也有最小多项式 , 也有最小多项式 。于是按定义 4 , 与 都是 的代数元素,逆元存在性得证。
封闭性证明:记 。如果 ,那么 是一个代数扩张, 也是一个代数扩张,故由定理 3 知它们都是有限扩张6,故由定理 4 知 是有限扩张,再由定理 3 或者推论 1 知它是代数扩张。
因此, 和 必是代数元素,封闭性得证。
证毕。
由于域的代数闭包也是一个域,故也可称之为代数闭域。注意,光有 是无法讨论代数闭包的,必须有扩域 才行。
推论 4 代数扩张的代数扩张还是代数扩张
如果 和 都是代数扩张,那么 也是代数扩张。
证明:
任取 ,其在 上的最小多项式为 。那么 在 上的最小多项式也是 。
因此, 是单代数扩张,故是有限扩张。类似地, 也是有限扩张。由定理 4 ,这意味着 是有限扩张,从而是代数扩张。
因此, 是 的代数元。
由 的任意性,命题即得证。
证毕。
1. ^ 证明思路:首先这个向量组能张成 是因为更高次的多项式总可以通过减去 的某个倍数来降到 阶或更低;其次这个向量组线性无关是因为,如果线性相关,那就存在一个次数低于 的多项式 使得 了,违反最小多项式的设定。
2. ^ 即对于任意 ,有 。
3. ^ 本证明也可以这样来理解:由于同构, 和 本质上就是同一个环, 和 也就是同一个元素。于是命题化为:如果在一个域上 和 有相同的最小多项式,那么用它们分别进行单扩张得到的扩域是否同构?根据定理 3 ,答案显然是肯定的。
4. ^ 该同态的存在性由定理 5 第 2 条保证。
5. ^ 不一定是有限基。
6. ^ 思考:为什么不能用推论 1 ?
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