域的扩张

             

预备知识 域

1. 域的单扩张

   如果在一个域中添加不属于域集合的元素,我们可以得到一个更大的集合.要让这个新集合成为域,我们就得定义新元素和原来域中元素相加和相乘的结果;无论怎么定义,这个结果必须满足域的公理.如果在集合中任何元素都无法成为某个运算结果,那么我们就必须再引入新的元素来作为这个结果.以此类推,不停地添加新元素,直到最后不需要添加新元素了,那最后这个集合就是一个新的域,它包含了原来的域.这个域是原来的域的扩张,并且包含最初那个新元素的最小的域,因此被称为单元素扩张,简称单扩张

   域的单扩张具体是怎么进行的呢?我们将从例子开始说明,最后引入域的单扩张的定义.

习题 1 有理数域的 $\sqrt{2}$ 扩张

   给定有理数域 $\mathbb{Q}$,则 $\sqrt{2}$ 并不是 $\mathbb{Q}$ 的元素.将 $\sqrt{2}$ 添加进去,那么由于 $\sqrt{2}$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 的元素,这提示我们可以把新的运算结果按照 $\mathbb{R}$ 中的运算来定义.这样,$\mathbb{Q}$ 中添加 $\sqrt{2}$ 的单扩域的集合就是 $\{a+b\sqrt{2}|a, b\in\mathbb{Q}\}$.

   请验证,任意 $a+b\sqrt{2}$ 都必须在扩域中,而这个集合也满足了加法和乘法的封闭性,所以构成了一个域;换句话说,这个集合是包含 $\sqrt{2}$ 和全体有理数的最小的域.

习题 2 超越扩域

   依然给定有理数域 $\mathbb{Q}$,这次添加的元素是 $\pi$.那么扩域应当是

\begin{equation} \{\frac{\sum_{i=0}^N a_i\pi^i}{\sum_{j=0}^M b_j\pi^j}|a_i, b_j\in\mathbb{Q}, b_j\text{不全为零,} N, M\in\mathbb{Z}^+\} \end{equation}
也就是 $\pi$ 的所有有理系数多项式的分式构成的集合,其中分母不是 $0$.

   验证这是一个域,并且是包含全体有理数和 $\pi$ 的最小域.注意 $a_i$ 全为 $0$ 的情况意味着什么.

   这是 $\mathbb{Q}$ 中添加 $\pi$ 后的单扩张.

   观察这两个域扩张的特点,我们容易发现,域添加某个元素后的单扩张,必须包含这个元素的所有多项式,系数取自域中;包含了所有多项式以后,也就构成了一个域,域的扩张就完成了.因此,域的单扩张就是把新元素的多项式都添加进去的过程.

   但是两个场景是不太一样的.$\mathbb{Q}$ 中添加 $\pi$ 的过程中,包含了所有 $\pi$ 的有理系数多项式,但是添加 $\sqrt{2}$ 的时候却只需要最多 $1$ 阶的多项式.这是因为 $\sqrt{2}$ 的 $2$ 次方是一个有理数,落入了 $\mathbb{Q}$ 中,因此 $\sqrt{2}$ 的 $2$ 阶及以上的有理系数多项式都可以表示为最多 $1$ 阶的多项式.

   换一种更方便的表述,那就是 $x^2-2$ 这个多项式是阶数最小的能将 $\sqrt{2}$ 映射为 $0$ 的多项式.这就引出最小多项式的概念.

定义 1 最小多项式

   给定一个环 $R$ 和任意元素 $x_0$,其中 $x_0$不一定是 $R$ 中的元素.记 $$R[x_0]=\{\sum_{i=0}^N r_ix_0^i|r_i\in R, N\in\mathbb{Z}^+\}$$称 $R[x_0]$ 是 $x_0$ 在 $R$ 中的多项式环.在 $R[x_0]$ 中,如果存在一个多项式 $f(x_0)=0$,并且任何更低阶的多项式的值都不是 $0$,那么称 $f(x_0)$ 是 $x_0$ 在 $R$ 上的最小多项式(minimal polynomial),或极小多项式.使不存在值为 $0$ 的多项式(这也意味着所有多项式的值甚至都不在 $R$ 中),那么我们说,$x_0$ 在 $R$ 中不具有最小多项式

   在习题 1 习题 2 中,$\pi$ 和 $\sqrt{2}$ 的本质区别就是:在 $\mathbb{Q}$ 中,$\pi$ 没有最小多项式,但是 $\sqrt{2}$ 具有最小多项式 $x^2-2$.这决定了同一个域 $\mathbb{Q}$ 分别添加 $\pi$ 和 $\sqrt{2}$ 后的不同单扩张.

   可是,我们把域抽象地看成满足一定条件的集合时,和所有集合一样,域中的元素叫什么名字并不重要.对于习题 1 习题 2 中的情况,我们其实是借用了 $\mathbb{R}$ 中已有的元素名称来引出两个不同的单扩域的.如果不进行这样的类比引出,而只是单纯地说在 $\mathbb{Q}$ 中加入某个新的元素 $x_0$ 来进行单扩张,那么结果可能是 $\{a+bx_0|a, b\in\mathbb{Q}\}$,可能是 $\{\sum_{i=0}^N a_ix_0^i|a_i\in\mathbb{Q}, N\in\mathbb{Z}^+\}$,可能是 $\{a+bx_0+cx_0^2|a, b, c\in\mathbb{Q}\}$,甚至还可能形式上也是 $\{a+bx_0|a, b\in\mathbb{Q}\}$,只不过 $x_0^2=2/3$ 了.这时该怎么描述域的单扩张呢?

   答案是应用最小多项式对单扩张的决定作用.

定义 2 域的单扩张

   给定域 $\mathbb{F}$ 和一个元素 $x_0$,其中 $x_0$ 不一定在 $\mathbb{F}$ 中.定义 $\mathbb{F}$ 添加 $x_0$ 的单扩张是集合

\begin{equation} \{\frac{\sum_{i=0}^N a_ix_0^i}{\sum_{j=0}^M b_jx_0^j}|a_i, b_j\in\mathbb{F},\quad\sum_{j=0}^M b_jx_0^j\not=0,\quad N, M\in\mathbb{Z}^+\} \end{equation}
记为 $\mathbb{F}(x_0)$;容易验证,这是一个域.

   在定义 2 中,如果 $x_0$ 在 $\mathbb{F}$ 中没有最小多项式,那么 $\mathbb{F}(x_0)$ 中的各元素彼此不同,此时我们称 $x_0$ 是 $\mathbb{F}$ 的超越元(transcendental element)

   如果 $x_0$ 在 $\mathbb{F}$ 中有最小多项式 $f(x)$,那么称 $x_0$ 是 $\mathbb{F}$ 的代数元(algebraic element),此时在 $\mathbb{F}(x_0)$ 中,若记 $g, h$ 为任意多项式,就有 $g(x_0)$ 和 $g(x_0)+f(x_0)h(x_0)$ 的值相等.这提示我们,在这种情形下,似乎可以把 $\mathbb{F}(x_0)$ 看成是某个超越元 $x$ 的单扩张 $\mathbb{F}(x)$ 集合中,把 $g(x)$ 和 $g(x)+f(x)h(x)$ 认为是等价的,所得到的商集.实际上,严格来说不是商集,而是商集中再把类似$$\frac{\sum_{i=0}^N a_ix_0^i}{f(x)h(x)}$$的元素剔除以后剩下的集合.当然了,$0$ 不要剔除.

2. 域的扩张次数

   以上,我们讨论了如何添加一个元素,并根据元素的最小多项式来得到域的单扩张.对一个域进行单扩张以后,再进行单扩张,如此反复,我们可以获得域的多次扩张.

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

         

© 小时科技 保留一切权利