可分元素的单扩张是可分扩张

                     

贡献者： JierPeter

预备知识　本原元素与单代数扩张

1. 定理的描述

　　 本文是专门用来证明下述定理 1 的，其自然语言的描述即是本文的标题。本文部分节选自《代数学基础》。

定理 1　

　　 域 $\mathbb{F}$ 上的不可约可分多项式 $f(x)$ 的分裂域 $\mathbb{K}$ 是 $\mathbb{F}$ 的可分扩张。

　　 考虑 Artin 本原性定理（定理 2 ），以及可分扩张的定义（所有元素都是可分元），我们还可以得到上述定理 1 的等价描述：

定理 2　

　　 $\mathbb{F}(a)/\mathbb{F}$ 是可分扩张 $\iff$ $a$ 是 $\mathbb{F}$ 的可分元素。

　　 本节我们就要证明定理 2 。

2. 定理的证明

　　 该证明的思路取自 University of Connecticut 的 Keith Conrad 教授的讲义，但细节思路会有不同。这是因为本部分有自己的逻辑体系，会大量引用小时百科中的内容来完成证明。

引理 1　

　　 设 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 是一个域扩张，且 $[\mathbb{L}:\mathbb{K}]=n$。设 $\sigma:\mathbb{K}\to\mathbb{F}$ 是一个域单同态。

　　 则：

　　 1. $\sigma$ 开拓而得的域单同态 $\mathbb{L}\to\mathbb{F}$ 的数量小于等于$n$。

　　 2. 如果 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 是不可分扩张，则 $\sigma$ 开拓而得的域单同态 $\mathbb{L}\to\mathbb{F}$ 的数量小于$n$。

　　 3. 如果 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 是可分扩张，则存在扩域 $\mathbb{F}'/\mathbb{F}$，使得 $\sigma$ 开拓而得的域单同态 $\mathbb{L}\to\mathbb{F}'$ 的数量等于$n$。

引理 1 中 1. 的证明

　　 注意，单同态就是定义域和象的同构。

　　 取 $a\in\mathbb{L}-\mathbb{K}$，$a$ 在 $\mathbb{K}$ 上的最小多项式是 $f$。则 $f(x)\in\mathbb{K}[x]$ 的分裂域是 $\mathbb{K}(a)\subseteq\mathbb{L}$。考虑定理 3 ，可知 $\sigma$ 开拓为 $\mathbb{K}(a)$ 到 $\mathbb{F}$ 的同态后，同态象最多只有一种可能。也就是说，$\mathbb{F}$ 中最多只有一个子域同构于 $\mathbb{K}(a)$。

　　 于是，如果 $\sigma$ 开拓为 $\mathbb{K}(a)\to\mathbb{F}$ 的同态存在，那么每个不同的开拓都对应一个 $\mathbb{K}(a)$（或者 $\sigma(\mathbb{K}(a))$）到自身的保 $\mathbb{K}$（或者保 $\sigma(\mathbb{K})$）自同构。

　　 又据定理 5 ，可知由 $\sigma$ 开拓而来的域同态 $\sigma:\mathbb{K}(a)\to\mathbb{F}$ 最多只有 $[\mathbb{K}(a):\mathbb{K}]= \operatorname {deg}f$ 个。

　　 上述讨论说明，定理对单扩张情况成立。再考虑定理 4 和中间域升链推论 3 ，则得证。

引理 1 中 2. 的证明

　　 由于 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 是不可分扩张，故存在 $a\in\mathbb{L}$ 是 $\mathbb{K}$ 的不可分元素。再据中间域升链推论 3 ，可构造 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 的中间域升链，其中 $\mathbb{K}$ 邻近的单扩张就是 $\mathbb{K}(a)$。

　　 不可分多项式的根的数目，小于其次数。但是据定理 2 ，$[\mathbb{K}_2:\mathbb{K}_1]$ 正等于其次数。因此 $\sigma$ 在一步步开拓的过程中，在第一步 $\mathbb{K}(a)/\mathbb{K}$ 这里，开拓出的同态数目就要小于扩张次数。

　　 由此得证。

引理 1 中 3. 的证明

　　 同上一条的证明，可知 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 的中间域中，任意相邻两个域之间都是单可分扩域的关系。

　　 也就是说，每一步扩张都是一个无重根的不可约多项式的分裂域，因此据定理 5 ，每一步中 $\sigma$ 的开拓的数目都恰为扩张的次数。

　　 除了一种情况：那就是某一步分裂域扩域无法映射入 $\mathbb{F}$，那就在 $\mathbb{F}$ 上取这个分裂域的多项式在 $\mathbb{F}$ 上的映射的分裂域，即可1。这也是为什么定理中会说存在一个扩域 $\mathbb{F}'/\mathbb{F}$。

正式证明定理 2

　　 注意，引理 1 的证明中，只出现了 “可分单扩张” 和 “不可分单扩张”，但没有说不可分单扩张所用的元素是不是可分元素（即下面证明要讨论的），所以没有构成循环论证。

　　 $\Rightarrow$：

　　 由可分扩张的定义，显然。

　　 $\Leftarrow$：

　　 设 $a$ 是域 $\mathbb{K}$ 的可分代数元，其在 $\mathbb{K}$ 上的最小多项式是 $ \operatorname {irr}(a, \mathbb{K})=f(x)\in\mathbb{K}[x]$。设 $ \operatorname {deg}f=n$，$f\in\mathbb{K}[x]$ 的分裂域是 $\mathbb{L}$。

　　 按可分的定义，知 $f$ 是可分多项式，在 $\mathbb{L}$ 上有 $n$ 个根。据定理 2 ，可知 $[\mathbb{L}:\mathbb{K}]=n$。

　　 取 $\mathbb{L}$ 作为引理 1 中的 $\mathbb{L}$ 和 $\mathbb{F}$、$\mathbb{K}$ 作为引理 1 中的 $\mathbb{K}$，且 $\sigma= \operatorname {id}_{\mathbb{K}}$。

　　 据定理 5 ，$\mathbb{L}$ 到自身的保 $\mathbb{K}$ 自同构有 $n$ 个。也就是说，$\sigma$ 开拓而来的单同态 $\mathbb{L}\to\mathbb{F}$ 的数量等于$n$。

　　 这违反了引理 1 的第 $2$ 条。因此，$\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 必是可分扩张。

　　 这样一来，只要有办法判断一个元素是否可分，就能判断其单扩张是否可分了。进一步，任何有限扩张都可以拆分成若干次单扩张的结果，于是也能讨论任何有限扩张的情形了。当然，这是目前的猜测，真实情况的性质更好，看下去就知道了。

3. 推论

推论 1　

　　 设 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 是一个可分正规扩张，且 $[\mathbb{L}:\mathbb{K}]=n$。则 $\mathbb{L}$ 的保 $\mathbb{K}$ 自同构有 $n$ 个。

　　 证明：

　　 取 $\mathbb{F}=\mathbb{F}'=\mathbb{L}$，$\sigma= \operatorname {id}_{\mathbb{K}}$，套用引理 1 第 $3$ 条即可。

　　 证毕。

引理 2　可分元素的判定

　　 设域 $\mathbb{F}$ 的特征为2 $p$，则 $\alpha$ 是 $\mathbb{F}$ 的可分元素当且仅当 $\mathbb{F}(\alpha)=\mathbb{F}(\alpha^p)$。

　　 证明：

　　 必要性：

　　 令 $f(x)=x^p-\alpha^p$，显然 $f(\alpha)=0$，故 $ \operatorname {Irr}(\alpha, \mathbb{F}(\alpha))\mid f$。

　　 又因为域特征为 $p$，

\begin{equation} f(x) = x^p-\alpha^p = (x-\alpha)^p~, \end{equation}
结合 $\alpha$ 在 $\mathbb{F}$ 上可分 $\implies$ 在 $\mathbb{F}(\alpha^p)$ 上可分，可知 $ \operatorname {Irr}(\alpha, \mathbb{F}(\alpha))=x-\alpha$。因此，$\alpha\in\mathbb{F}$，从而得证。

　　 充分性：

　　 记 $m= \operatorname {Irr}(\alpha, \mathbb{F})$。反设 $\alpha$ 在 $\mathbb{F}$ 上不可分，即存在 $\mathbb{F}$ 上可分的不可约多项式 $h$ 和正整数$k$，使得 $m(x)=h \left(x^{p^k} \right) $。

　　 令 $g(x)=h \left(x^{p^{k-1}} \right) $，则

\begin{equation} g(\alpha^p)= h \left( \left(\alpha^{p} \right) ^{p^{k-1}} \right) = h \left(\alpha^{p^k} \right) = m(\alpha) = 0~, \end{equation}
即 $g(x)$ 是 $\alpha^p$ 的零化多项式。

　　 故 $ \operatorname {deg} \operatorname {Irr}(\alpha^p, \mathbb{F})\leq \operatorname {deg}g< \operatorname {deg}m$。由单扩张的次数定理（定理 2 ）即可知 $[\mathbb{F}(\alpha^p):\mathbb{F}]<[\mathbb{F}(\alpha):\mathbb{F}]$，从而 $\mathbb{F}(\alpha^p))\subsetneq\mathbb{F}(\alpha)$。

　　 证毕。

引理 3　

　　 给定域 $\mathbb{F}$。若 $\mathbb{F}(a)/\mathbb{F}$ 和 $\mathbb{F}(a, b)/\mathbb{F}(a)$ 都是可分扩张，则 $\mathbb{F}(a, b)/\mathbb{F}$ 也是。

　　 证明：

　　 不妨设 $ \operatorname {ch}\mathbb{F}=p$。

　　 因为 $b$ 在 $\mathbb{F}(a)$ 上可分，故由引理 2 知，

\begin{equation} \mathbb{F}(a, b^p) = \mathbb{F}(a)(b^p) = \mathbb{F}(a)(b) = \mathbb{F}(a, b)~. \end{equation}

　　 记 $f= \operatorname {Irr}(a, \mathbb{F}(b))$，$g= \operatorname {Irr}(a, \mathbb{F}(b^p))$，则由于 $\mathbb{F}(b^p)\subseteq\mathbb{F}(b)$，可知 $f\mid g$。

　　 由于域特征为 $p$，$f(x)^p\in\mathbb{F}(b^p)[x]$，且显然是 $a$ 的零化多项式，因此 $g\mid f^p$。又因为 $a$ 在 $\mathbb{F}$ 上可分 $\implies$ 在 $\mathbb{F}(b^p)$ 上可分，故得 $g\mid f$。

　　 综上，$f=g$。

　　 由单扩张的次数定理（定理 2 ）可知

\begin{equation} [\mathbb{F}(a, b^p):\mathbb{F}(b^p)] = [\mathbb{F}(a, b):\mathbb{F}(b)]~, \end{equation}
再结合域扩张的次数乘积定理（定理 4 ）和式 3 可知
\begin{equation} [\mathbb{F}(b):\mathbb{F}(b^p)] = \frac{[\mathbb{F}(a, b^p):\mathbb{F}(b^p)]}{[\mathbb{F}(a, b):\mathbb{F}(b)]} = 1~, \end{equation}

　　 即 $\mathbb{F}(b)=\mathbb{F}(b^p)$。由引理 2 可知 $b$ 是 $\mathbb{F}$ 上的可分元素。

　　 证毕。

推论 2　可分扩张的传递性

　　 设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是域代数扩张，其有一中间域 $\mathbb{M}$。如果 $\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 和 $\mathbb{K}/\mathbb{M}$ 都是可分扩张，那么 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是可分扩张。

　　 证明：

　　 证毕。

推论 3　

　　 设 $\mathbb{F}(a_1, \cdots, a_n)$ 是域 $\mathbb{F}$ 的代数扩张，且各 $a_i$ 都是 $\mathbb{F}$ 上的可分元素，则 $\mathbb{F}(a_1, \cdots, a_n)/\mathbb{F}$ 是可分扩张。

　　 证明：

　　 利用可分扩张的传递性推论 2 和本节的核心定理 2 即得证。

　　 证毕。

推论 4　可分元素的封闭性

　　 可分元素相加、相乘、取负和取逆的结果，仍然是可分元素。

　　 推论 4 由推论 3 直接可得。由该推论还可知，一个域的全体可分元素构成一个域，称为其可分闭包（separable closure）；$\mathbb{F}$ 的可分闭包与 $\mathbb{K}$ 的交集，称为 $\mathbb{F}$ 在 $\mathbb{K}$ 上的可分闭包。

1. ^ 这么说很绕口。但如果采用 “同构就是同一个” 和 “单同态就是定义域和象的同构” 的理解，就会直白得多。
2. ^ 特征为 $0$ 的域都是完美域，故无须讨论。


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