可分元素的单扩张是可分扩张

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 本原元素与单代数扩张

1. 定理的描述

   本词条是专门用来证明下述定理 1 的,其自然语言的描述即是本词条的标题.

定理 1 

   域 $\mathbb{F}$ 上的不可约可分多项式 $f(x)$ 的分裂域 $\mathbb{K}$ 是 $\mathbb{F}$ 的可分扩张.

   考虑 Artin 本原性定理(定理 2 ),以及可分扩张的定义(所有元素都是可分元),我们还可以得到上述定理 1 的等价描述:

定理 2 

   $\mathbb{F}(a)/\mathbb{F}$ 是可分扩张 $\iff$ $a$ 是 $\mathbb{F}$ 的可分元素.

   本节我们就要证明定理 2

2. 定理的证明

   该证明的思路取自 University of Connecticut 的 Keith Conrad 教授的讲义,但细节思路会有不同.这是因为本书有自己的逻辑体系,会大量引用小时百科中的内容来完成证明.

引理 1 

   设 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 是一个域扩张,且 $[\mathbb{L}:\mathbb{K}]=n$.设 $\sigma:\mathbb{K}\to\mathbb{F}$ 是一个域单同态.

   则:

   1. $\sigma$ 开拓而得的域单同态 $\mathbb{L}\to\mathbb{F}$ 的数量小于等于$n$.

   2. 如果 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 是不可分扩张,则 $\sigma$ 开拓而得的域单同态 $\mathbb{L}\to\mathbb{F}$ 的数量小于$n$.

   3. 如果 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 是可分扩张,则存在扩域 $\mathbb{F}'/\mathbb{F}$,使得 $\sigma$ 开拓而得的域单同态 $\mathbb{L}\to\mathbb{F}'$ 的数量等于$n$.

引理 1 中 1. 的证明

   注意,单同态就是定义域和象的同构.

   取 $a\in\mathbb{L}-\mathbb{K}$,$a$ 在 $\mathbb{K}$ 上的最小多项式是 $f$.则 $f(x)\in\mathbb{K}[x]$ 的分裂域是 $\mathbb{K}(a)\subseteq\mathbb{L}$.考虑定理 3 ,可知 $\sigma$ 开拓为 $\mathbb{K}(a)$ 到 $\mathbb{F}$ 的同态后,同态象最多只有一种可能.也就是说,$\mathbb{F}$ 中最多只有一个子域同构于 $\mathbb{K}(a)$.

   于是,如果 $\sigma$ 开拓为 $\mathbb{K}(a)\to\mathbb{F}$ 的同态存在,那么每个不同的开拓都对应一个 $\mathbb{K}(a)$(或者 $\sigma(\mathbb{K}(a))$)到自身的保 $\mathbb{K}$(或者保 $\sigma(\mathbb{K})$)自同构.

   又据定理 5 ,可知由 $\sigma$ 开拓而来的域同态 $\sigma:\mathbb{K}(a)\to\mathbb{F}$ 最多只有 $[\mathbb{K}(a):\mathbb{K}]= \operatorname {deg}f$ 个.

   上述讨论说明,定理对单扩张情况成立.再考虑定理 4 中间域升链推论 3 ,则得证.

引理 1 中 2. 的证明

   由于 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 是不可分扩张,故存在 $a\in\mathbb{L}$ 是 $\mathbb{K}$ 的不可分元素.再据中间域升链推论 3 ,可构造 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 的中间域升链,其中 $\mathbb{K}$ 邻近的单扩张就是 $\mathbb{K}(a)$.

   不可分多项式的根的数目,小于其次数.但是据定理 2 ,$[\mathbb{K}_2:\mathbb{K}_1]$ 正等于其次数.因此 $\sigma$ 在一步步开拓的过程中,在第一步 $\mathbb{K}(a)/\mathbb{K}$ 这里,开拓出的同态数目就要小于扩张次数.

   由此得证.

引理 1 中 3. 的证明

   同上一条的证明,可知 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 的中间域中,任意相邻两个域之间都是单可分扩域的关系.

   也就是说,每一步扩张都是一个无重根的不可约多项式的分裂域,因此据定理 5 ,每一步中 $\sigma$ 的开拓的数目都恰为扩张的次数.

   除了一种情况:那就是某一步分裂域扩域无法映射入 $\mathbb{F}$,那就在 $\mathbb{F}$ 上取这个分裂域的多项式在 $\mathbb{F}$ 上的映射的分裂域,即可1.这也是为什么定理中会说存在一个扩域 $\mathbb{F}'/\mathbb{F}$.

正式证明定理 2

   注意,引理 1 的证明中,只出现了 “可分单扩张” 和 “不可分单扩张”,但没有说不可分单扩张所用的元素是不是可分元素(即下面证明要讨论的),所以没有构成循环论证.

   $\Rightarrow$:

   由可分扩张的定义,显然.

   $\Leftarrow$:

   设 $a$ 是域 $\mathbb{K}$ 的可分代数元,其在 $\mathbb{K}$ 上的最小多项式是 $ \operatorname {irr}(a, \mathbb{K})=f(x)\in\mathbb{K}[x]$.设 $ \operatorname {deg}f=n$,$f\in\mathbb{K}[x]$ 的分裂域是 $\mathbb{L}$.

   按可分的定义,知 $f$ 是可分多项式,在 $\mathbb{L}$ 上有 $n$ 个根.据定理 2 ,可知 $[\mathbb{L}:\mathbb{K}]=n$.

   取 $\mathbb{L}$ 作为引理 1 中的 $\mathbb{L}$ 和 $\mathbb{F}$、$\mathbb{K}$ 作为引理 1 中的 $\mathbb{K}$,且 $\sigma= \operatorname {id}_{\mathbb{K}}$.

   据定理 5 ,$\mathbb{L}$ 到自身的保 $\mathbb{K}$ 自同构有 $n$ 个.也就是说,$\sigma$ 开拓而来的单同态 $\mathbb{L}\to\mathbb{F}$ 的数量等于$n$.

   这违反了引理 1 的第 $2$ 条.因此,$\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 必是可分扩张.

3. 推论

推论 1 

   设 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 是一个可分域扩张,且 $[\mathbb{L}:\mathbb{K}]=n$.则 $\mathbb{L}$ 的保 $\mathbb{K}$ 自同构有 $n$ 个.

   证明

   取 $\mathbb{F}=\mathbb{F}'=\mathbb{L}$,$\sigma= \operatorname {id}_{\mathbb{K}}$,套用引理 1 第 $3$ 条即可.

   证毕

推论 2 可分扩张的传递性

   设 $\mathbb{L}/\mathbb{F}$ 是域代数扩张,其有一中间域 $\mathbb{K}$.如果 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 和 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 都是可分扩张,那么 $\mathbb{L}/\mathbb{F}$ 是可分扩张.

   证明

   $\mathbb{L}$ 的保 $\mathbb{F}$ 自同构数量,等于 $\mathbb{L}$ 的保 $\mathbb{K}$ 自同构数量乘以$\mathbb{K}$ 的保 $\mathbb{F}$ 自同构数量.

   于是据推论 1 ,可知 $\mathbb{L}$ 的保 $\mathbb{F}$ 自同构数量等于 $[\mathbb{L}:\mathbb{F}]$.这违反了定理 1 第 $2$ 条,因此 $\mathbb{L}/\mathbb{F}$ 是可分扩张.

   证毕

推论 3 

   设 $\mathbb{F}(a_1, \cdots, a_n)$ 是域 $\mathbb{F}$ 的代数扩张,且各 $a_i$ 都是 $\mathbb{F}$ 上的可分元素,则 $\mathbb{F}(a_1, \cdots, a_n)/\mathbb{F}$ 是可分扩张.

   证明

   利用可分扩张的传递性推论 2 和本节的核心定理 2 即得证.

   证毕

推论 4 可分元素的封闭性

   可分元素相加、相乘、取负和取逆的结果,仍然是可分元素.

   推论 4 推论 3 直接可得.由该推论还可知,一个域的全体可分元素构成一个域,称为其可分闭包(separable closure);$\mathbb{F}$ 的可分闭包与 $\mathbb{K}$ 的交集,称为 $\mathbb{F}$ 在 $\mathbb{K}$ 上的可分闭包.


1. ^ 这么说很绕口.但如果采用 “同构就是同一个” 和 “单同态就是定义域和象的同构” 的理解,就会直白得多.


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