可分元素的单扩张是可分扩张

贡献者： JierPeter

1. 定理的描述

　　 本词条是专门用来证明下述定理 1 的，其自然语言的描述即是本词条的标题。

　　 考虑 Artin 本原性定理（定理 2 ），以及可分扩张的定义（所有元素都是可分元），我们还可以得到上述定理 1 的等价描述：

　　 本节我们就要证明定理 2 。

2. 定理的证明

　　 该证明的思路取自 University of Connecticut 的 Keith Conrad 教授的讲义，但细节思路会有不同。这是因为本书有自己的逻辑体系，会大量引用小时百科中的内容来完成证明。

引理 1 中 1. 的证明

　　 注意，单同态就是定义域和象的同构。

　　 取 $a\in\mathbb{L}-\mathbb{K}$，$a$ 在 $\mathbb{K}$ 上的最小多项式是 $f$。则 $f(x)\in\mathbb{K}[x]$ 的分裂域是 $\mathbb{K}(a)\subseteq\mathbb{L}$。考虑定理 3 ，可知 $\sigma$ 开拓为 $\mathbb{K}(a)$ 到 $\mathbb{F}$ 的同态后，同态象最多只有一种可能。也就是说，$\mathbb{F}$ 中最多只有一个子域同构于 $\mathbb{K}(a)$。

　　 于是，如果 $\sigma$ 开拓为 $\mathbb{K}(a)\to\mathbb{F}$ 的同态存在，那么每个不同的开拓都对应一个 $\mathbb{K}(a)$（或者 $\sigma(\mathbb{K}(a))$）到自身的保 $\mathbb{K}$（或者保 $\sigma(\mathbb{K})$）自同构。

　　 又据定理 5 ，可知由 $\sigma$ 开拓而来的域同态 $\sigma:\mathbb{K}(a)\to\mathbb{F}$ 最多只有 $[\mathbb{K}(a):\mathbb{K}]= \operatorname {deg}f$ 个。

　　 上述讨论说明，定理对单扩张情况成立。再考虑定理 4 和中间域升链推论 3 ，则得证。

引理 1 中 2. 的证明

　　 由于 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 是不可分扩张，故存在 $a\in\mathbb{L}$ 是 $\mathbb{K}$ 的不可分元素。再据中间域升链推论 3 ，可构造 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 的中间域升链，其中 $\mathbb{K}$ 邻近的单扩张就是 $\mathbb{K}(a)$。

　　 不可分多项式的根的数目，小于其次数。但是据定理 2 ，$[\mathbb{K}_2:\mathbb{K}_1]$ 正等于其次数。因此 $\sigma$ 在一步步开拓的过程中，在第一步 $\mathbb{K}(a)/\mathbb{K}$ 这里，开拓出的同态数目就要小于扩张次数。

　　 由此得证。

引理 1 中 3. 的证明

　　 同上一条的证明，可知 $\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 的中间域中，任意相邻两个域之间都是单可分扩域的关系。

　　 也就是说，每一步扩张都是一个无重根的不可约多项式的分裂域，因此据定理 5 ，每一步中 $\sigma$ 的开拓的数目都恰为扩张的次数。

　　 除了一种情况：那就是某一步分裂域扩域无法映射入 $\mathbb{F}$，那就在 $\mathbb{F}$ 上取这个分裂域的多项式在 $\mathbb{F}$ 上的映射的分裂域，即可¹。这也是为什么定理中会说存在一个扩域 $\mathbb{F}'/\mathbb{F}$。

正式证明定理 2

　　 注意，引理 1 的证明中，只出现了 “可分单扩张” 和 “不可分单扩张”，但没有说不可分单扩张所用的元素是不是可分元素（即下面证明要讨论的），所以没有构成循环论证。

　　 $\Rightarrow$：

　　 由可分扩张的定义，显然。

　　 $\Leftarrow$：

　　 设 $a$ 是域 $\mathbb{K}$ 的可分代数元，其在 $\mathbb{K}$ 上的最小多项式是 $ \operatorname {irr}(a, \mathbb{K})=f(x)\in\mathbb{K}[x]$。设 $ \operatorname {deg}f=n$，$f\in\mathbb{K}[x]$ 的分裂域是 $\mathbb{L}$。

　　 按可分的定义，知 $f$ 是可分多项式，在 $\mathbb{L}$ 上有 $n$ 个根。据定理 2 ，可知 $[\mathbb{L}:\mathbb{K}]=n$。

　　 取 $\mathbb{L}$ 作为引理 1 中的 $\mathbb{L}$ 和 $\mathbb{F}$、$\mathbb{K}$ 作为引理 1 中的 $\mathbb{K}$，且 $\sigma= \operatorname {id}_{\mathbb{K}}$。

　　 据定理 5 ，$\mathbb{L}$ 到自身的保 $\mathbb{K}$ 自同构有 $n$ 个。也就是说，$\sigma$ 开拓而来的单同态 $\mathbb{L}\to\mathbb{F}$ 的数量等于$n$。

　　 这违反了引理 1 的第 $2$ 条。因此，$\mathbb{L}/\mathbb{K}$ 必是可分扩张。

3. 推论

　　 证明：

　　 取 $\mathbb{F}=\mathbb{F}'=\mathbb{L}$，$\sigma= \operatorname {id}_{\mathbb{K}}$，套用引理 1 第 $3$ 条即可。

　　 证毕。

　　 证明：

　　 $\mathbb{L}$ 的保 $\mathbb{F}$ 自同构数量，等于 $\mathbb{L}$ 的保 $\mathbb{K}$ 自同构数量乘以$\mathbb{K}$ 的保 $\mathbb{F}$ 自同构数量。

　　 于是据推论 1 ，可知 $\mathbb{L}$ 的保 $\mathbb{F}$ 自同构数量等于 $[\mathbb{L}:\mathbb{F}]$。这违反了定理 1 第 $2$ 条，因此 $\mathbb{L}/\mathbb{F}$ 是可分扩张。

　　 证毕。

　　 证明：

　　 利用可分扩张的传递性推论 2 和本节的核心定理 2 即得证。

　　 证毕。

　　 推论 4 由推论 3 直接可得。由该推论还可知，一个域的全体可分元素构成一个域，称为其可分闭包（separable closure）；$\mathbb{F}$ 的可分闭包与 $\mathbb{K}$ 的交集，称为 $\mathbb{F}$ 在 $\mathbb{K}$ 上的可分闭包。

1. ^ 这么说很绕口。但如果采用 “同构就是同一个” 和 “单同态就是定义域和象的同构” 的理解，就会直白得多。