无穷 Galois 扩张与 Krull 定理

贡献者： JierPeter

　　 Galois 扩张中除了 Galois 扩张和 Galois 群的基本性质，剩下的重点内容全是有限Galois 扩张的情况，见子节 3 。作为提醒，再总结一次：有限 Galois 扩张都是单代数扩张，且为分裂域。

　　 本节介绍的是无限 Galois 扩张中的性质，将有限扩张的Galois 理论基本定理（定理 14 ）进行拓展，得到Krull定理。Krull 的工作亮点，在于给 Galois 群赋予了一个拓扑结构。

　　 为了得到 Krull 拓扑，我们要先观察 Galois 扩域的一些性质。注意，接下来我们不再限定为有限扩张了。

　　 由定理 2 ，$\mathbb{K}/\mathbb{M}$ 是 Galois 扩张，因此 $\mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$ 存在。有了这一点，我们就可以讨论下面两条引理：

　　 引理 1 实际上就是定理 11 ，因此证明参见该定理。

　　 证明：

　　 取 $f,g\in \mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$，则 $f$ 和 $g$ 模 $\mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$ 同余当且仅当$f^{-1}g\in \mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$，或者说 $f$ 和 $g$ 限制在 $\mathbb{M}$ 上是相同的。

　　 因此，$\mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$ 的每个左陪集对应一个 $\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 的映射。

　　 证毕。

　　 这条引理很像定理 12 ，只不过不再要求是有限扩张了。这显得定理 12 似乎没有存在的必要，然而我们依然将它保留了，体现 “有限 Galois 扩张就是单扩张” 的思路。

　　 证明：

　　 1。

　　 由引理 2 直接可得。

　　 2。

　　 任取 $\sigma \in \mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$，只要 $\sigma \ne {\mathrm{id}}_{\mathbb{K}}$，那么就存在 $\alpha \in \mathbb{K}-\mathbb{F}$ 使得 $\sigma (\alpha )\ne \alpha$。取 $\mathbb{M}=\mathbb{F}(\alpha )$，则 $\sigma \notin \mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$。故 $\sigma \notin \bigcap _{H\in \mathcal{M}}$。

　　 3。

　　 由引理 1 ，$H_1\cap H_2$ 是 ${\mathbb{M}}_1{\mathbb{M}}_2$ 的 Galois 群。

　　 有限域的合成可以看成 ${\mathbb{M}}_1$ 用 ${\mathbb{M}}_2$ 的元素反复进行有限次单扩张的结果。由于是 Galois 扩张，故这些单扩张全都是代数扩张，从而是有限扩张，从而 ${\mathbb{M}}_1{\mathbb{M}}_2/\mathbb{F}$ 是有限扩张。

　　 4。

　　 由引理 1 ，只需要证明存在 ${\mathbb{M}}^{\prime }$，使得 ${\mathbb{M}}^{\prime }\supseteq \mathbb{M}$ 且 ${\mathbb{M}}^{\prime }/\mathbb{F}$ 是正规扩张。

　　 取 ${\mathbb{M}}^{\prime }$ 为 $\mathbb{M}$ 关于 $\mathbb{F}$ 的所有共轭域之合成即可。

　　 证毕。

　　 你可能会想到，定理 1 的第 4 条完全可以取 $N=\{e\}$ 来证明，也就是取 ${\mathbb{M}}^{\prime }=\mathbb{K}$，这就导致情况过于平凡，似乎定理第 4 条没有存在的必要。但我们实际采用的证明过程说明非平凡的情况也是存在的。

1. Krull 定理

Krull 拓扑

　　 考虑任意集合 $X$ 和 $Y$，令 $M\subseteq X^Y$。任取 $f\in M$，以及 $X$ 的有限子集 $S$，令

　　 任取 $h\in V(f,S)\cap V(g,T)$，则易得 $V(f,S)\cap V(g,T)=V(h,S\cup T)$³。于是，全体 $V(f,S)$ 的集合对于有限交封闭，从而据子节 2 的讨论知，全体 $V(f,S)$ 的集合是一个拓扑基（定义 2 ）。

　　 这样全体 $V(f,S)$ 的集合就定义了 $M$ 上的一个拓扑，称之为 $M$ 上的有限拓扑（finite topology）。

　　 证明：

　　 只需证明 $\mathcal{N}$ 的情况即可，因为 $\mathcal{N}\subseteq \mathcal{L}\cap \mathcal{R}$。

　　 任取 $\mathbb{K}/\mathbb{M}$ 的中间域 $\mathbb{M}$，使得 $\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 是有限扩张。考虑 $\mathcal{M}$ 的定义，以及 “有限可分扩张都是单扩张”（推论 2 ），可知存在 $\alpha$ 使得 $\mathbb{M}=\mathbb{F}(\alpha )$。因此，如果 ${\sigma }_i\in \mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 使得 ${\sigma }_1(\alpha )={\sigma }_2(\alpha )$，那么 ${\sigma }_1{\sigma }_2^{-1}\in \mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$。

　　 换句话说，$\mathbb{K}$ 的两个自同构模 $\mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$ 同余（在 $\mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$ 的同一个左陪集里），当且仅当它们把 $\alpha$ 映射为同一个元素。于是，取 $\mathbb{K}$ 的有限子集$\{\alpha \}$，有

　　 因此，$\mathcal{N}$、$\mathcal{L}$ 和 $\mathcal{R}$ 都是 $\mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 上有限拓扑的子族。

　　 下证任意 $V(\sigma ,S)$ 总能由 $\mathcal{N}$ 求并得到。

　　 任取 $\sigma \in \mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$，以及 $\mathbb{K}$ 的有限子集 $S$。则 $\mathbb{F}(S)/\mathbb{F}$ 是有限扩张。由定理 1 第 4 条，可以取 $\mathbb{F}(S)$ 关于 $\mathbb{F}$ 的全体共轭域之合成 $\mathbb{M}\subseteq \mathbb{F}(S)$，使得 $\mathbb{K}/\mathbb{M}$ 是 Galois 扩张。同样由于 “有限可分扩张都是单扩张”，存在 $\alpha$ 使得 $\mathbb{M}=\mathbb{F}(\alpha )$。

　　 于是，$V(\sigma ,S)=V(\sigma ,\{\alpha \})=\sigma \mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$。

　　 证毕。

　　 任取 $H\in \mathcal{M}$，根据定理 2 ，它是个开集。同时它的补集 $H^C$ 是各 $\sigma H$ 的并，其中 $\sigma \notin H$，而 $\sigma H$ 也都是开集，因此 $H^C$ 是开集——于是 $H$ 还是闭集。同理，$\sigma H$ 也是既开又闭的。

　　 如果 $\mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 本身就是有限群，那么可以类比式 3 的原理，推知 Krull 拓扑是个离散拓扑。

　　 证明：

　　 任取 ${\sigma }_i\in \mathrm{Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$，且 ${\sigma }_1\ne {\sigma }_2$。则存在 $\alpha \in \mathbb{K}-\mathbb{F}$，使得 ${\sigma }_1(\alpha )\ne {\sigma }_2(\alpha )$。于是取开集 $V({\sigma }_i,\{\alpha \})$，即可分离这两个点 ${\sigma }_i$，得证 Hausdorff 性。

　　 令 $H={\mathrm{Fix}}_{\mathbb{K}}(\mathbb{F}(\alpha ))$，则 ${\sigma }_1\in {\sigma }_{1}H$。由于 ${\sigma }_1^{-1}{\sigma }_2(\alpha )\ne \alpha$，故 ${\sigma }_{1}H\ne {\sigma }_{2}H$。而我们已经知道，${\sigma }_{i}H$ 是既开又闭的，也就是连通分支。由于 ${\sigma }_i$ 的任意性，这意味着任意两个不同的自同构总在不同的连通分支中，故任意连通分支只有一个元素，得证完全不连通性。

　　 证毕。

Krull 定理

1. ^ 注意，由定理 2 ，$\mathbb{K}/\mathbb{M}$ 必是 Galois 扩张。但 $\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 则不一定，取决于它是否正规。
2. ^ 即群指数，子群 $H$ 在 $\mathrm{Gal}(\mathbb{E}/\mathbb{K})$ 中陪集的数量。
3. ^ 这是因为，任取 $V(f,S)\cap V(g,T)$ 中的元素 $c$，则 $c$ 和 $f$ 在 $S$ 上相等，故和 $h$ 在 $S$ 上相等；同理可得 $c$ 和 $h$ 在 $T$ 上相等，从而由 $c$ 的任意性知，$V(f,S)\cap V(g,T)\subseteq V(h,S\cup T)$。反过来，任取 $c\in V(h,S\cup T)$，则也可以推知 $c$ 和 $f$ 在 $S$ 上相等、和 $g$ 在 $T$ 上相等，从而 $V(h,S\cup T)\subseteq V(f,S)\cap V(g,T)$。