无穷 Galois 扩张与 Krull 定理

                     

贡献者: JierPeter

预备知识 Galois 扩张,连通性,分离性

  

未完成:尚未完成

   Galois 扩张中除了 Galois 扩张和 Galois 群的基本性质,剩下的重点内容全是有限Galois 扩张的情况,见子节 3 .作为提醒,再总结一次:有限 Galois 扩张都是单代数扩张,且为分裂域.

   本节介绍的是无限 Galois 扩张中的性质,将有限扩张的Galois 理论基本定理定理 14 )进行拓展,得到Krull定理.Krull 的工作亮点,在于给 Galois 群赋予了一个拓扑结构.

   为了得到 Krull 拓扑,我们要先观察 Galois 扩域的一些性质.注意,接下来我们不再限定为有限扩张了.

   由定理 2 ,$\mathbb{K}/\mathbb{M}$ 是 Galois 扩张,因此 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$ 存在.有了这一点,我们就可以讨论下面两条引理:

引理 1 

   设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是 Galois 扩张,且存在中间域 $\mathbb{M}$.

   则 $\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 是 Galois 扩张 $\iff$ $\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 是正规扩张 $\iff$ $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})\vartriangleleft \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$.

   引理 1 实际上就是定理 11 ,因此证明参见该定理.

引理 2 

   设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是 Galois 扩张,且存在中间域 $\mathbb{M}$.则 $[ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F}): \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})]=[\mathbb{M}:\mathbb{F}]$.

   证明

   取 $f, g\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$,则 $f$ 和 $g$ 模 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$ 同余当且仅当$f^{-1}g\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$,或者说 $f$ 和 $g$ 限制在 $\mathbb{M}$ 上是相同的.

   因此,$ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$ 的每个左陪集对应一个 $\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 的映射.

   证毕

   这条引理很像定理 12 ,只不过不再要求是有限扩张了.这显得定理 12 似乎没有存在的必要,然而我们依然将它保留了,体现 “有限 Galois 扩张就是单扩张” 的思路.

定理 1 

   设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是 Galois 扩域,$\mathcal{M}=\{ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})\mid \mathbb{M}/\mathbb{F}\text{是有限扩张}\}$1.则有:

   1.$\forall H\in\mathcal{M}$,$[ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F}): H]$2是有限的;

   2.$\bigcap_{H\in\mathcal{M}}=\{e\}$.这里 $e$ 是群的单位元,即 $\mathbb{K}$ 上的恒等映射 $ \operatorname {id}_{\mathbb{K}}$.

   3.$\forall H_1, H_2\in\mathcal{M}$,有 $H_1\cap H_2\in\mathcal{M}$;

   4.$\forall H\in\mathcal{M}$,$\exists N\vartriangleleft \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$,且 $N\subseteq H$;

   证明

   1.

   由引理 2 直接可得.

   2.

   任取 $\sigma\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$,只要 $\sigma\not= \operatorname {id}_{\mathbb{K}}$,那么就存在 $\alpha\in\mathbb{K}-\mathbb{F}$ 使得 $\sigma(\alpha)\neq\alpha$.取 $\mathbb{M}=\mathbb{F}(\alpha)$,则 $\sigma\not\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$.故 $\sigma\not\in \bigcap_{H\in\mathcal{M}}$.

   3.

   由引理 1 ,$H_1\cap H_2$ 是 $\mathbb{M}_1\mathbb{M}_2$ 的 Galois 群.

   有限域的合成可以看成 $\mathbb{M}_1$ 用 $\mathbb{M}_2$ 的元素反复进行有限次单扩张的结果.由于是 Galois 扩张,故这些单扩张全都是代数扩张,从而是有限扩张,从而 $\mathbb{M}_1\mathbb{M}_2/\mathbb{F}$ 是有限扩张.

   4.

   由引理 1 ,只需要证明存在 $\mathbb{M}'$,使得 $\mathbb{M}'\supseteq\mathbb{M}$ 且 $\mathbb{M}'/\mathbb{F}$ 是正规扩张.

   取 $\mathbb{M}'$ 为 $\mathbb{M}$ 关于 $\mathbb{F}$ 的所有共轭域之合成即可.

   证毕

   你可能会想到,定理 1 的第 4 条完全可以取 $N=\{e\}$ 来证明,也就是取 $\mathbb{M}'=\mathbb{K}$,这就导致情况过于平凡,似乎定理第 4 条没有存在的必要.但我们实际采用的证明过程说明非平凡的情况也是存在的.

1. Krull 定理

Krull 拓扑

   考虑任意集合 $X$ 和 $Y$,令 $M\subseteq X^Y$.任取 $f\in M$,以及 $X$ 的有限子集 $S$,令

\begin{equation} V(f, S) = \{g\in M\mid g(s)=f(s), \forall s\in S\} \end{equation}
即 $V(f, S)$ 是全体属于 $M$ 且限制在 $S$ 上与 $f$ 相等的映射的集合.

   任取 $h\in V(f, S)\cap V(g, T)$,则易得 $V(f, S)\cap V(g, T) = V(h, S\cup T)$3.于是,全体 $V(f, S)$ 的集合对于有限交封闭,从而据子节 2 的讨论知,全体 $V(f, S)$ 的集合是一个拓扑基定义 2 ).

   这样全体 $V(f, S)$ 的集合就定义了 $M$ 上的一个拓扑,称之为 $M$ 上的有限拓扑(finite topology)

定理 2 

   考虑 Galois 扩张 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$.令

\begin{equation} \begin{aligned} \mathcal{N} &= \{\sigma N\mid N\in\mathcal{M}, \sigma\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F}), N\vartriangleleft \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})\}\\ \mathcal{L} &= \{\sigma H\mid H\in\mathcal{M}, \sigma\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})\}\\ \mathcal{R} &= \{H\sigma \mid H\in\mathcal{M}, \sigma\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})\} \end{aligned} \end{equation}
其中 $\mathcal{M}d$ 的定义见定理 1

   则 $\mathcal{N}$、$\mathcal{L}$ 和 $\mathcal{R}$ 都是 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 上有限拓扑的拓扑基.

   证明

   只需证明 $\mathcal{N}$ 的情况即可,因为 $\mathcal{N}\subseteq \mathcal{L}\cap\mathcal{R}$.

   任取 $\mathbb{K}/\mathbb{M}$ 的中间域 $\mathbb{M}$,使得 $\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 是有限扩张.考虑 $\mathcal{M}$ 的定义,以及 “有限可分扩张都是单扩张”(推论 2 ),可知存在 $\alpha$ 使得 $\mathbb{M}=\mathbb{F}(\alpha)$.因此,如果 $\sigma_i\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 使得 $\sigma_1(\alpha)=\sigma_2(\alpha)$,那么 $\sigma_1\sigma_2^{-1}\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$.

   换句话说,$\mathbb{K}$ 的两个自同构模 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$ 同余(在 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$ 的同一个左陪集里),当且仅当它们把 $\alpha$ 映射为同一个元素.于是,取 $\mathbb{K}$ 的有限子集$\{\alpha\}$,有

\begin{equation} V(\sigma, \{\alpha\}) = \sigma \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M}) \end{equation}

   因此,$\mathcal{N}$、$\mathcal{L}$ 和 $\mathcal{R}$ 都是 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 上有限拓扑子族

   下证任意 $V(\sigma, S)$ 总能由 $\mathcal{N}$ 求并得到.

   任取 $\sigma\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$,以及 $\mathbb{K}$ 的有限子集 $S$.则 $\mathbb{F}(S)/\mathbb{F}$ 是有限扩张.由定理 1 第 4 条,可以取 $\mathbb{F}(S)$ 关于 $\mathbb{F}$ 的全体共轭域之合成 $\mathbb{M}\subseteq\mathbb{F}(S)$,使得 $\mathbb{K}/\mathbb{M}$ 是 Galois 扩张.同样由于 “有限可分扩张都是单扩张”,存在 $\alpha$ 使得 $\mathbb{M}=\mathbb{F}(\alpha)$.

   于是,$V(\sigma, S)=V(\sigma, \{\alpha\})=\sigma \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{M})$.

   证毕

定义 1 Krull 拓扑

   定理 1 中所描述的 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 上的拓扑,又被称为Krull 拓扑

   任取 $H\in\mathcal{M}$,根据定理 2 ,它是个开集.同时它的补集 $H^C$ 是各 $\sigma H$ 的并,其中 $\sigma\not\in H$,而 $\sigma H$ 也都是开集,因此 $H^C$ 是开集——于是 $H$ 还是闭集.同理,$\sigma H$ 也是既开又闭的.

   如果 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 本身就是有限群,那么可以类比式 3 的原理,推知 Krull 拓扑是个离散拓扑.

定理 3 

   设 $\mathbb{K}/\mathbb{F}$ 是 Galois 扩张,则 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$ 的 Krull 拓扑是紧致的、Hausdorff 的和完全不连通的.

   证明

   任取 $\sigma_i\in \operatorname {Gal}(\mathbb{K}/\mathbb{F})$,且 $\sigma_1\neq \sigma_2$.则存在 $\alpha\in\mathbb{K}-\mathbb{F}$,使得 $\sigma_1(\alpha)\neq\sigma_2(\alpha)$.于是取开集 $V(\sigma_i, \{\alpha\})$,即可分离这两个点 $\sigma_i$,得证 Hausdorff 性.

   令 $H= \operatorname {Fix}_\mathbb{K}(\mathbb{F}(\alpha))$,则 $\sigma_1\in\sigma_1H$.由于 $\sigma_1^{-1}\sigma_2(\alpha)\neq \alpha$,故 $\sigma_1H\neq\sigma_2H$.而我们已经知道,$\sigma_iH$ 是既开又闭的,也就是连通分支.由于 $\sigma_i$ 的任意性,这意味着任意两个不同的自同构总在不同的连通分支中,故任意连通分支只有一个元素,得证完全不连通性.

  

未完成:紧致性有点复杂,之后补充.可能需要用到 Tychonoff 定理.

   证毕

Krull 定理


1. ^ 注意,由定理 2 ,$\mathbb{K}/\mathbb{M}$ 必是 Galois 扩张.但 $\mathbb{M}/\mathbb{F}$ 则不一定,取决于它是否正规.
2. ^ 即群指数,子群 $H$ 在 $ \operatorname {Gal}(\mathbb{E}/\mathbb{K})$ 中陪集的数量.
3. ^ 这是因为,任取 $V(f, S)\cap V(g, T)$ 中的元素 $c$,则 $c$ 和 $f$ 在 $S$ 上相等,故和 $h$ 在 $S$ 上相等;同理可得 $c$ 和 $h$ 在 $T$ 上相等,从而由 $c$ 的任意性知,$V(f, S)\cap V(g, T)\subseteq V(h, S\cup T)$.反过来,任取 $c\in V(h, S\cup T)$,则也可以推知 $c$ 和 $f$ 在 $S$ 上相等、和 $g$ 在 $T$ 上相等,从而 $V(h, S\cup T)\subseteq V(f, S)\cap V(g, T)$.


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