有限域

                     

贡献者: JierPeter; addis; Giacomo

预备知识 分裂域

  

未完成:增加预备知识素域

   有限域,即元素数量有限的域,有时也称伽罗华域(Galois Field),是一类性质良好的代数结构,在近代编码学、密码学、计算机理论等领域有广泛应用.

1. 有限域的基本结构

   设 $\mathbb{F}$ 是一个有限域.

   回顾环和域中的讨论,可知 $\mathbb{F}$ 的特征一定是一个素数 $p$,其素域相应为 $\mathbb{F}_p$.再由域的扩张讨论可知,$\mathbb{F}$ 应该是 $\mathbb{F}_p$ 的有限扩张,假设 $[\mathbb{F}:\mathbb{F}_p]=k$,则 $ \left\lvert \mathbb{F} \right\rvert =p^k$.

   由此可知,有限域的阶一定是 $p^k$.反过来,$p^k$ 阶的域一定存在吗?是否唯一呢?

   由域的定义,非零元构成乘法群,因此 $G=(\mathbb{F}-\{0\}, \times)$ 是一个有限群,且 $ \left\lvert G \right\rvert =p^k-1$.于是,对于任意 $a\in G\subseteq\mathbb{F}$,有

\begin{equation} a^{p^k}=a \end{equation}
于是,$G$ 中元素都是多项式 $f(x)=x^{p^k}-x$ 的根.再考虑到 $f(0)=0$,因此 $\mathbb{F}$ 中的元素都是 $f$ 的根.

   可 $\mathbb{F}$ 中一共就 $p^k$ 个不同的元素,因此1它们就是 $f\in\mathbb{F}_p[x]$ 的全部根.因此,$\mathbb{F}$ 是 $f\in\mathbb{F}_p[x]$ 的分裂域

   由分裂域的存在唯一性,$p^k$ 阶的域也是存在且唯一的.我们将其记为 $ \operatorname {GF}(p^k)$,意为 “阶数为 $p^k$ 的伽罗华域”;有时候也记为 $\mathbb{F}_{p^k}$.

例 1 

   由上述讨论,$f(x)=x^{p^k}-x$ 在 $ \operatorname {GF}(p^k)$ 上不同根的数目恰为 $p^k$,故显然没有重根.

   这一点也符合推论 1 .$ \operatorname {D}f(x)=p^kx^{p^k-1}-1$ 的最低次项是零次的,而显然 $ \operatorname {D}f\not\mid f$,故得 $(f, \operatorname {D}f)=1$,故 $f$ 应无重根.

定理 1 

   有限域的乘法群,必是循环群.

   证明

   考虑 $\mathbb{F}= \operatorname {GF}(p^k)$,其非零元构成的乘法群记为 $G$.

   设 $G$ 中各元素的阶,最大的是 $m$.则 $m\mid \left\lvert G \right\rvert = p^k-1$,且 $\forall g\in G$ 都是 $f(x)=x^m-1$ 的根.

   $f\in\mathbb{F}[x]$ 一共 $m$ 个根,而 $G$ 中的 $p^k-1$ 个元素都是其根,加之 $m\mid p^k-1$,可知 $m=p^k-1$.

   因此,阶数为 $m=p^k-1= \left\lvert G \right\rvert $ 的那个元素,就是 $G$ 的循环生成元.

   证毕

推论 1 

   有限域是其素域的单扩域.

   证明

   沿用定义 2 的设定.

   设 $g_0$ 是 $G$ 的循环生成元,则 $G=\{g_0^i\mid i\in\mathbb{Z}^+\}$.

   因此,$\mathbb{F}=G\cup\{0\}=\mathbb{F}_p(g_0)$.

   证毕

定义 1 有限群的原根

   如果 $a$ 是 $ \operatorname {GF}(p^k)$ 的乘法群的循环生成元,由推论 1 知 $ \operatorname {GF}(p^k)=\mathbb{F}_p(a)$.称 $a$ 是 $ \operatorname {GF}(p^k)$(对 $\mathbb{F}_p$)的本原元素(primitive element)原根

   该定义和定义 2 一致.


1. ^ 再注意到,多项式环都是欧几里得环,进而是主理想整环,进而是唯一析因环;而多项式总能被自己的根的一次因式约去.于是,多项式不同根的数目,不会超过自己的次数.


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