有限域

贡献者： JierPeter; addis; Giacomo

　　 有限域，即元素数量有限的域，有时也称伽罗华域（Galois Field），是一类性质良好的代数结构，在近代编码学、密码学、计算机理论等领域有广泛应用。

1. 有限域的基本结构

　　 设 $\mathbb{F}$ 是一个有限域。

　　 回顾环和域中的讨论，可知 $\mathbb{F}$ 的特征一定是一个素数 $p$，其素域相应为 $\mathbb{F}_p$。再由域的扩张讨论可知，$\mathbb{F}$ 应该是 $\mathbb{F}_p$ 的有限扩张，假设 $[\mathbb{F}:\mathbb{F}_p]=k$，则 $ \left\lvert \mathbb{F} \right\rvert =p^k$。

　　 由此可知，有限域的阶一定是 $p^k$。反过来，$p^k$ 阶的域一定存在吗？是否唯一呢？

　　 由域的定义，非零元构成乘法群，因此 $G=(\mathbb{F}-\{0\}, \times)$ 是一个有限群，且 $ \left\lvert G \right\rvert =p^k-1$。于是，对于任意 $a\in G\subseteq\mathbb{F}$，有

　　 可 $\mathbb{F}$ 中一共就 $p^k$ 个不同的元素，因此¹它们就是 $f\in\mathbb{F}_p[x]$ 的全部根。因此，$\mathbb{F}$ 是 $f\in\mathbb{F}_p[x]$ 的分裂域。

　　 由分裂域的存在唯一性，$p^k$ 阶的域也是存在且唯一的。我们将其记为 $ \operatorname {GF}(p^k)$，意为 “阶数为 $p^k$ 的伽罗华域”；有时候也记为 $\mathbb{F}_{p^k}$。

　　 证明：

　　 考虑 $\mathbb{F}= \operatorname {GF}(p^k)$，其非零元构成的乘法群记为 $G$。

　　 设 $G$ 中各元素的阶，最大的是 $m$。则 $m\mid \left\lvert G \right\rvert = p^k-1$，且 $\forall g\in G$ 都是 $f(x)=x^m-1$ 的根。

　　 $f\in\mathbb{F}[x]$ 一共 $m$ 个根，而 $G$ 中的 $p^k-1$ 个元素都是其根，加之 $m\mid p^k-1$，可知 $m=p^k-1$。

　　 因此，阶数为 $m=p^k-1= \left\lvert G \right\rvert $ 的那个元素，就是 $G$ 的循环生成元。

　　 证毕。

　　 证明：

　　 沿用定义 2 的设定。

　　 设 $g_0$ 是 $G$ 的循环生成元，则 $G=\{g_0^i\mid i\in\mathbb{Z}^+\}$。

　　 因此，$\mathbb{F}=G\cup\{0\}=\mathbb{F}_p(g_0)$。

　　 证毕。

1. ^ 再注意到，多项式环都是欧几里得环，进而是主理想整环，进而是唯一析因环；而多项式总能被自己的根的一次因式约去。于是，多项式不同根的数目，不会超过自己的次数。