量子简谐振子(级数法)

                     

贡献者: JierPeter; addis

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预备知识 简谐振子(升降算符)

   量子力学中,简谐振子的定态薛定谔方程为

\begin{equation} -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}{\psi}}{\mathrm{d}{x}^{2}} + \frac12 m \omega^2 x^2\psi = E\psi \end{equation}
能级为
\begin{equation} E_n = \left(\frac12 + n \right) \hbar \omega \end{equation}
归一化的束缚态波函数为
\begin{equation} \psi_n (x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \left(\frac{\alpha^2}{\pi } \right) ^{1/4} H_n(u) \mathrm{e} ^{-u^2/2} \end{equation}
其中
\begin{equation} \alpha \equiv \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar }}, \qquad u \equiv \alpha x \end{equation}
$H_n(u)$ 是 Hermite 多项式

图
图 1:简谐振子的前几个束缚态波函数(式 3 ,$\alpha = 1$)

   前 4 个波函数分别为(注意函数的奇偶性与角标的奇偶性相同)

\begin{equation} \begin{aligned} \psi_0(x) &= \left(\frac{\alpha^2}{\pi} \right) ^{1/4} \mathrm{e} ^{-u^2/2}, & \psi_2(x) &= \left(\frac{\alpha^2}{\pi } \right) ^{1/4} \frac{1}{\sqrt 2 } (2u^2 - 1) \mathrm{e} ^{-u^2/2},\\ \psi_1(x) &= \left(\frac{\alpha ^2}{\pi } \right) ^{1/4} \sqrt2u \mathrm{e} ^{-u^2/2}, \quad & \psi_3(x) &= \left(\frac{\alpha ^2}{\pi } \right) ^{1/4} \frac{1}{\sqrt 3} u(2u^2 - 3) \mathrm{e} ^{-u^2/2}. \end{aligned} \end{equation}

   Matlab 代码如(使用原子单位制

代码 1:psi_SHO.m
function psi = psi_SHO(m, w, n, x)
alpha = sqrt(m*w); u = alpha * x;
psi = 1/sqrt(2^n*factorial(n)) *...
    (alpha^2/pi)^0.25 * hermiteH(n, u) .* exp(-u.^2/2);
end

1. 推导(生成函数法)

   为了方便,记 $\varepsilon \equiv 2mE/\hbar^2$,再使用 $\hbar=1$ 的单位制,于是式 1 化为

\begin{equation} \frac{\mathrm{d}^2}{ \,\mathrm{d}{y} ^2}\psi(x) + (\varepsilon-m^2\omega^2x^2)\psi(x)=0 \end{equation}

   如果记 $\psi(x)=h(x) \exp\left(-m\omega x^2/2\right) $1,那么代入式 6 后得

\begin{equation} h''(x)-2m\omega xh'(x)+(\varepsilon-m\omega)h=0 \end{equation}
只要能解出式 7 即可.

生成函数

   考虑生成函数 $g(x, t)\equiv \exp\left(-t^2+2tx\right) $,用它来定义一系列 Hermite 多项式 $H_n$:

\begin{equation} g(x, t) = \exp\left(-t^2+2tx\right) = \sum_{n=0}^\infty H_n(x)\frac{t^n}{n!} \end{equation}
\begin{equation} \frac{\partial^n}{\partial t^n}g(x, t)\mid_{t=0} = H_n(x) \end{equation}
容易得
\begin{equation} H_0(x) = g(x, 0) = 1 \end{equation}

   对式 8 求关于 $x$ 的偏导数得:

\begin{equation} \begin{aligned} \sum_{n=0}^\infty H_n(x)\frac{2t^{n+1}}{n!}&=2t \exp\left(-t^2+2tx\right) \\ &=\frac{\partial}{\partial x} \exp\left(-t^2+2tx\right) \\ &=\frac{\partial}{\partial x}\sum_{n=0}^\infty H_n(x)\frac{t^n}{n!}\\ &=\sum_{n=0}^\infty H'_n(x)\frac{t^n}{n!} \end{aligned} \end{equation}
比较式 11 两端后得
\begin{equation} H'_n(x) = 2nH_{n-1}(x) \end{equation}

   由式 12 式 10 ,再考虑到 $H_n(x)$ 的常数项是 $H_n(0)=\frac{\partial^n}{\partial t^n}g(0, t)\mid_{t=0}=\frac{\partial^n}{\partial t^n} \exp\left(-t^2\right) \mid_{t=0}$,可以推知所有 Hermite 多项式:

\begin{equation} H_0(x)=1\implies H'_1(x)=2\implies H_1(x)=2x \end{equation}
\begin{equation} H_1(x)=2x\implies H'_2(x)=8x\implies H_2(x)=4x^2-2 \end{equation}
\begin{equation} H_2(x)=4x^2-2\implies H'_3(x)=24x^2-12\implies H_3(x)=8x^3-12x \end{equation}
以此类推.

证明 $H_n$ 满足 $h$ 的方程

   对式 8 求关于 $t$ 的偏导数得:

\begin{equation} \begin{aligned} (2x-2t)\sum_{n=0}^\infty H_n(x)\frac{t^n}{n!}&=(2x-2t) \exp\left(-t^2+2tx\right) \\ &=\frac{\partial}{\partial t} \exp\left(-t^2+2tx\right) \\ &=\frac{\partial}{\partial t}\sum_{n=0}^\infty H_n(x)\frac{t^n}{n!}\\ &=\sum_{n=0}^\infty H_n(x)\frac{t^{n-1}}{(n-1)!} \end{aligned} \end{equation}
比较式 16 两端后得
\begin{equation} \frac{2xH_n(x)}{n!}-\frac{2H_{n-1}(x)}{(n-1)!}=\frac{H_{n+1}}{n!}(x) \end{equation}
整理得
\begin{equation} H_{n+1}(x) = 2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x) \end{equation}
等价于
\begin{equation} H_{n}(x) = 2xH_{n-1}(x)-2(n-1)H_{n-2}(x) \end{equation}

   将式 19 式 12 组合后得

\begin{equation} \begin{aligned} H_n''(x)&=2nH'_{n-1}(x)\\ &=2n\cdot 2(n-1)H_{n-2}(x)\\ &=2n\cdot(2xH_{n-1}(x)-H_n(x))\qquad\text{这一步代入式 19 }\\ &=2xH'_n(x)-2nH_n(x) \end{aligned} \end{equation}
整理一下式 20
\begin{equation} H_n''-2xH_n'-2nH_n=0 \end{equation}

   式 21 式 7 形式完全相同,系数的差异可以通过合适的变量代换或单位选择来消除.将 $\hbar$ 添回式 6 ,进行合适的变量代换(式 4 ),即可从式 7 得到式 3


1. ^ 指数上的符号是为了让波函数在无穷远处趋于 0.


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