量子简谐振子（级数法）

贡献者： JierPeter; addis

本文处于草稿阶段。

预备知识　简谐振子（升降算符）

　　量子力学中，简谐振子的定态薛定谔方程为

\begin{matrix} (1) & - \frac{ℏ^{2}}{2 m} \frac{d^{2} ψ}{d x^{2}} + \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2} ψ = E ψ, \end{matrix}

能级为

\begin{matrix} (2) & E_{n} = (\frac{1}{2} + n) ℏ ω . \end{matrix}

归一化的束缚态波函数为

\begin{matrix} (3) & ψ_{n} (x) = \frac{1}{\sqrt{2^{n} n!}} {(\frac{α^{2}}{π})}^{1 / 4} H_{n} (u) e^{- u^{2} / 2} . \end{matrix}

其中

\begin{matrix} (4) & α \equiv \sqrt{\frac{m ω}{ℏ}}, u \equiv α x, \end{matrix}

H_{n} (u)

是 Hermite 多项式。

图 1：简谐振子的前几个束缚态波函数（式 3 ，

α = 1

）

　　前 4 个波函数分别为（注意函数的奇偶性与角标的奇偶性相同）

\begin{matrix} (5) & \begin{aligned} ψ_{0} (x) & = {(\frac{α^{2}}{π})}^{1 / 4} e^{- u^{2} / 2}, & ψ_{2} (x) & = {(\frac{α^{2}}{π})}^{1 / 4} \frac{1}{\sqrt{2}} (2 u^{2} - 1) e^{- u^{2} / 2}, \\ ψ_{1} (x) & = {(\frac{α^{2}}{π})}^{1 / 4} \sqrt{2} u e^{- u^{2} / 2}, & ψ_{3} (x) & = {(\frac{α^{2}}{π})}^{1 / 4} \frac{1}{\sqrt{3}} u (2 u^{2} - 3) e^{- u^{2} / 2} . \end{aligned} \end{matrix}

　　 Matlab 代码如（使用原子单位制）

代码 1：psi_SHO.m

function psi = psi_SHO(m, w, n, x)
alpha = sqrt(m*w); u = alpha * x;
psi = 1/sqrt(2^n*factorial(n)) *...
    (alpha^2/pi)^0.25 * hermiteH(n, u) .* exp(-u.^2/2);
end

1. 推导（生成函数法）

　　为了方便，记 $ε \equiv 2 m E / ℏ^{2}$ ，再使用 $ℏ = 1$ 的单位制，于是式 1 化为

\begin{matrix} (6) & \frac{d^{2}}{d y^{2}} ψ (x) + (ε - m^{2} ω^{2} x^{2}) ψ (x) = 0, \end{matrix}

如果记

ψ (x) = h (x) \exp (- m ω x^{2} / 2)

¹，那么代入式 6 后得

\begin{matrix} (7) & h^{″} (x) - 2 m ω x h^{'} (x) + (ε - m ω) h = 0 . \end{matrix}

只要能解出式 7 即可。

生成函数

　　考虑生成函数 $g (x, t) \equiv \exp (- t^{2} + 2 t x)$ ，用它来定义一系列 Hermite 多项式 $H_{n}$ ：

\begin{matrix} (8) & g (x, t) = \exp (- t^{2} + 2 t x) = \sum_{n = 0}^{\infty} H_{n} (x) \frac{t^{n}}{n!}, \end{matrix}

即

\begin{matrix} (9) & \frac{\partial^{n}}{\partial t^{n}} g (x, t) ∣_{t = 0} = H_{n} (x), \end{matrix}

容易得

\begin{matrix} (10) & H_{0} (x) = g (x, 0) = 1 . \end{matrix}

　　对式 8 求关于 $x$ 的偏导数得：

\begin{matrix} (11) & \begin{aligned} \sum_{n = 0}^{\infty} H_{n} (x) \frac{2 t^{n + 1}}{n!} & = 2 t \exp (- t^{2} + 2 t x) \\ = \frac{\partial}{\partial x} \exp (- t^{2} + 2 t x) \\ = \frac{\partial}{\partial x} \sum_{n = 0}^{\infty} H_{n} (x) \frac{t^{n}}{n!} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} H_{n}^{'} (x) \frac{t^{n}}{n!} . \end{aligned} \end{matrix}

比较式 11 两端后得

\begin{matrix} (12) & H_{n}^{'} (x) = 2 n H_{n - 1} (x) . \end{matrix}

　　由式 12 和式 10 ，再考虑到 $H_{n} (x)$ 的常数项是 $H_{n} (0) = \frac{\partial^{n}}{\partial t^{n}} g (0, t) ∣_{t = 0} = \frac{\partial^{n}}{\partial t^{n}} \exp (- t^{2}) ∣_{t = 0}$ ，可以推知所有 Hermite 多项式：

\begin{matrix} (13) & H_{0} (x) = 1 ⟹ H_{1}^{'} (x) = 2 ⟹ H_{1} (x) = 2 x, \end{matrix}

\begin{matrix} (14) & H_{1} (x) = 2 x ⟹ H_{2}^{'} (x) = 8 x ⟹ H_{2} (x) = 4 x^{2} - 2, \end{matrix}

\begin{matrix} (15) & H_{2} (x) = 4 x^{2} - 2 ⟹ H_{3}^{'} (x) = 24 x^{2} - 12 ⟹ H_{3} (x) = 8 x^{3} - 12 x . \end{matrix}

以此类推。

证明 $H_{n}$ 满足 $h$ 的方程

　　对式 8 求关于 $t$ 的偏导数得：

\begin{matrix} (16) & \begin{aligned} (2 x - 2 t) \sum_{n = 0}^{\infty} H_{n} (x) \frac{t^{n}}{n!} & = (2 x - 2 t) \exp (- t^{2} + 2 t x) \\ = \frac{\partial}{\partial t} \exp (- t^{2} + 2 t x) \\ = \frac{\partial}{\partial t} \sum_{n = 0}^{\infty} H_{n} (x) \frac{t^{n}}{n!} \\ = \sum_{n = 0}^{\infty} H_{n} (x) \frac{t^{n - 1}}{(n - 1)!} . \end{aligned} \end{matrix}

比较式 16 两端后得

\begin{matrix} (17) & \frac{2 x H_{n} (x)}{n!} - \frac{2 H_{n - 1} (x)}{(n - 1)!} = \frac{H_{n + 1}}{n!} (x, \end{matrix}

整理得

\begin{matrix} (18) & H_{n + 1} (x) = 2 x H_{n} (x) - 2 n H_{n - 1} (x), \end{matrix}

等价于

\begin{matrix} (19) & H_{n} (x) = 2 x H_{n - 1} (x) - 2 (n - 1) H_{n - 2} (x) . \end{matrix}

　　将式 19 与式 12 组合后得

\begin{matrix} (20) & \begin{aligned} H_{n}^{″} (x) & = 2 n H_{n - 1}^{'} (x) \\ = 2 n \cdot 2 (n - 1) H_{n - 2} (x) \\ = 2 n \cdot (2 x H_{n - 1} (x) - H_{n} (x)) 这一步代入式 19 \\ = 2 x H_{n}^{'} (x) - 2 n H_{n} (x), \end{aligned} \end{matrix}

整理一下式 20 得

\begin{matrix} (21) & H_{n}^{″} - 2 x H_{n}^{'} - 2 n H_{n} = 0 . \end{matrix}

　　式 21 和式 7 形式完全相同，系数的差异可以通过合适的变量代换或单位选择来消除。将 $ℏ$ 添回式 6 ，进行合适的变量代换（式 4 ），即可从式 7 得到式 3 。

1. ^ 指数上的符号是为了让波函数在无穷远处趋于 0。

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量子简谐振子（级数法）

1. 推导（生成函数法）

生成函数

证明 Hn 满足 h 的方程

证明 $H_{n}$ 满足 $h$ 的方程