量子简谐振子(级数法)

             

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预备知识 简谐振子(升降算符)

1. 结论

   量子力学中,简谐振子的能级为

\begin{equation} E_n = \left(\frac12 + n \right) \hbar \omega \end{equation}
波函数为
\begin{equation} \psi_n (x) = \frac{1}{\sqrt{2^n n!}} \left(\frac{\alpha^2}{\pi } \right) ^{1/4} H_n(u) \mathrm{e} ^{-u^2/2} \end{equation}
其中
\begin{equation} \alpha \equiv \sqrt{\frac{m\omega}{\hbar }} \qquad u \equiv \alpha x \end{equation}
$H_n(u)$ 叫做 Hermite 多项式

   前 4 个波函数分别为(注意函数的奇偶性与角标的奇偶性相同)

\begin{equation} \begin{aligned} \psi_0(x) &= \left(\frac{\alpha^2}{\pi} \right) ^{1/4} \mathrm{e} ^{-u^2/2} & \psi_2(x) &= \left(\frac{\alpha^2}{\pi } \right) ^{1/4} \frac{1}{\sqrt 2 } (2u^2 - 1) \mathrm{e} ^{-u^2/2}\\ \psi_1(x) &= \left(\frac{\alpha ^2}{\pi } \right) ^{1/4} \sqrt2u \mathrm{e} ^{-u^2/2} \quad & \psi_3(x) &= \left(\frac{\alpha ^2}{\pi } \right) ^{1/4} \frac{1}{\sqrt 3} u(2u^2 - 3) \mathrm{e} ^{-u^2/2} \end{aligned} \end{equation}

2. 推导

   薛定谔方程为

\begin{equation} -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\mathrm{d}^{2}{\psi}}{\mathrm{d}{x}^{2}} + \frac12 m \omega^2 x^2\psi = E\psi \end{equation}
可以直接用级数解也可以用升降算符.

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