指数有限度量空间

贡献者：零穹

本文处于草稿阶段。

预备知识　正定二次型，矢量空间

　　带有内积的矢量空间是指在矢量空间 $V$ 上配备一个固定的二次型

\begin{matrix} (1) & q (x) = f (x, x) = \sum_{i, j} a_{i j} x_{i} x_{j}, \end{matrix}

即内积空间是一个二元组

(V, q)

。例如，欧几里得矢量空间配备的是一个正定二次型（），而埃尔米特矢量空间配备的是正定的埃尔米特型（）。此外，配备一个不定型的矢量空间同样起着重要的作用，这样的空间称之指数有限度量矢量空间。

定义 1　指数有限度量矢量空间

　　矢量空间 $V$ 配备一个不定型 $q$ 构成的二元组 $(V, q)$ 称之为指数有限度量矢量空间。

　　定义中的 “指数” 是指惯性指数（或正惯性指数）（定义 3 ）。

　　配备了二次型后的矢量空间 $V$ ，完全可对照欧几里得矢量空间建立一系列的概念。

　　设矢量空间 $V$ 定义在实数域 $R$ 上，于是非退化二次型 $q$ 可取标准形式（ $n$ 为 $V$ 的维数）

\begin{matrix} (2) & q (x) = \sum_{i = 1}^{s} x_{i}^{2} - \sum_{i = s + 1}^{n} x_{i}^{2} . \end{matrix}

事实上，每个二次型

q

都有一配极的双线性型

f

（定义 1 ），

f

是个对称的。二次型非退化意味着对称双线性

f

非退化，而

f

对称性保证了它可对角化（定理 1 ），进而可选择基底使得

q

标准化为式 2 （定理 1 ）。

　　于是， $V$ 上的内积为：

\begin{matrix} (3) & (x | y) = \sum_{i = 1}^{s} x_{i} y_{i} - \sum_{i = s + 1}^{n} x_{i} y_{i} . \end{matrix}

　　此时，为了停留在处理实数的领域，只讨论矢量 $x$ 的模的平方 ${‖ x ‖}^{2} = (x | x)$ ，在 $1 \leq s \leq n - 1$ 时，它可正可负。若 ${‖ x ‖}^{2} = 0$ ，则说矢量 $x$ 是迷向的。

　　欧几里得矢量空间中的二次型建立了其上的度量，同样的，这里仍将二次型 $(x | x)$ 称为 $V$ 上的度量型。

定义 2　指数有限度量空间

　　仿射空间 $E$ 配备一个指数有限度量矢量空间 $V$ 构成的三元组 $(E, V, ρ)$ 称为指数有限度量空间。其中 $ρ$ 是其上的距离函数。

　　和欧几里得空间完全类似，可建立一系列的概念。同样也把 $ρ^{2} (\dot{p}, \dot{q})$ 称为仿射空间 $E$ 上的度量型，并且为了停留在实数域，只讨论 $ρ^{2} (\dot{p}, \dot{q})$ 。

定义 3　伪欧几里得空间、闵可夫斯基空间

　　设 $E$ 是一个指数有限度量空间， $s$ 是其正惯性指数。当 $1 \leq s \leq n - 1$ 时，称 $E$ 是伪欧几里得空间。当 $s = 1$ 时，则称它是闵可夫斯基空间（当 $s = n - 1$ 时，令 $q = - q$ ，则也是一个闵可夫斯基空间，所以可把 $s = 1$ 和 $s = n - 1$ 当作同一情形对待）。

1. 伪欧几里得运动

　　在欧几里得空间中，运动是使得点点距离不变的变换。即若 $f$ 是运动，则 $ρ (f (\dot{p}), f (\dot{q})) = ρ (\dot{p}, \dot{q})$ 。然而在伪欧几里得空间中，由于只考虑 $ρ^{2}$ ，所以伪欧几里得空间中的运动是使得

\begin{matrix} (4) & ρ^{2} (f (\dot{p}), f (\dot{q})) = ρ^{2} (\dot{p}, \dot{q}) . \end{matrix}

成立的变换

f

。

定义 4　伪欧几里得空间运动

　　设 $(E, V, ρ)$ 是伪欧几里得点空间，变换 $f : E \to E$ 称为其上的运动（或保内积映射），如果对 $\forall \dot{p}, \dot{q} \in E$ ，都有

\begin{matrix} (5) & ρ^{2} (f (\dot{p}), f (\dot{q})) = ρ^{2} (\dot{p}, \dot{q}) . \end{matrix}

　　在伪欧几里得空间，运动也有和欧氏空间相似的结论成立，即：运动和一仿射映射等价，该仿射映射线性部分对应矩阵 $F$ 满足 $F^{T} I_{s} F = I_{s}$ （ $I_{s}$ 是伪欧空间中标准二次型 $q$ 对应的双线性型对应的矩阵）；任一运动可由平移和保持某个固定点的仿射映射（其线性部分对应矩阵满足 $F^{T} I_{s} F = I_{s}$ ）复合而成。具体来说，下面定理成立：

定理 1　

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指数有限度量空间

定义 1 指数有限度量矢量空间

定义 2 指数有限度量空间

定义 3 伪欧几里得空间、闵可夫斯基空间

1. 伪欧几里得运动

定义 4 伪欧几里得空间运动

定理 1

定义 1　指数有限度量矢量空间

定义 2　指数有限度量空间

定义 3　伪欧几里得空间、闵可夫斯基空间

定义 4　伪欧几里得空间运动

定理 1　