指数有限度量空间

                     

贡献者: 零穹

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预备知识 正定二次型,矢量空间

   带有内积的矢量空间是指在矢量空间 $V$ 上配备一个固定的二次型

\begin{equation} q(x)=f(x,x)=\sum_{i,j}a_{ij}x_ix_j \end{equation}
即内积空间是一个二元组 $(V,q)$.例如,欧几里得矢量空间配备的是一个正定二次型(),而埃尔米特矢量空间配备的是正定的埃尔米特型().此外,配备一个不定型的矢量空间同样起着重要的作用,这样的空间称之指数有限度量矢量空间

定义 1 指数有限度量矢量空间

   矢量空间 $V$ 配备一个不定型 $q$ 构成的二元组 $(V,q)$ 称之为指数有限度量矢量空间

   定义中的 “指数” 是指惯性指数(或正惯性指数)(定义 3 ).

   配备了二次型后的矢量空间 $V$,完全可对照欧几里得矢量空间建立一系列的概念.

   设矢量空间 $V$ 定义在实数域 $\mathbb R$ 上,于是非退化二次型 $q$ 可取标准形式($n$ 为 $V$ 的维数)

\begin{equation} q(x)=\sum_{i=1}^s x_i^2-\sum_{i=s+1}^n x_i^2 \end{equation}
事实上,每个二次型 $q$ 都有一配极的双线性型 $f$(定义 1 ),$f$ 是个对称的.二次型非退化意味着对称双线性 $f$ 非退化,而 $f$ 对称性保证了它可对角化(定理 1 ),进而可选择基底使得 $q$ 标准化为式 2 定理 1 ).

   于是,$V$ 上的内积为:

\begin{equation} (x|y)=\sum_{i=1}^{s}x_iy_i-\sum_{i=s+1}^{n}x_{i}y_i \end{equation}

   此时,为了停留在处理实数的领域,只讨论矢量 $x$ 的模的平方 $ \left\lVert x \right\rVert ^2=(x|x)$,在 $1\leq s\leq n-1$ 时,它可正可负.若 $ \left\lVert x \right\rVert ^2=0$,则说矢量 $x$ 是迷向的

   欧几里得矢量空间中的二次型建立了其上的度量,同样的,这里仍将二次型 $(x|x)$ 称为 $V$ 上的度量型

定义 2 指数有限度量空间

   仿射空间 $\mathbb E$ 配备一个指数有限度量矢量空间 $V$ 构成的三元组 $(\mathbb E,V,\rho)$ 称为指数有限度量空间.其中 $\rho$ 是其上的距离函数.

   和欧几里得空间完全类似,可建立一系列的概念.同样也把 $\rho^2(\dot p,\dot q)$ 称为仿射空间 $\mathbb E$ 上的度量型,并且为了停留在实数域,只讨论 $\rho^2(\dot p,\dot q)$.

定义 3 伪欧几里得空间、闵可夫斯基空间

   设 $\mathbb E$ 是一个指数有限度量空间,$s$ 是其正惯性指数.当 $1\leq s\leq n-1$ 时,称 $\mathbb E$ 是伪欧几里得空间.当 $s=1$ 时,则称它是闵可夫斯基空间(当 $s=n-1$ 时,令 $q=-q$,则也是一个闵可夫斯基空间,所以可把 $s=1$ 和 $s=n-1$ 当作同一情形对待).

1. 伪欧几里得运动

   在欧几里得空间中,运动是使得点点距离不变的变换.即若 $f$ 是运动,则 $\rho(f(\dot p),f(\dot q))=\rho(\dot p,\dot q)$.然而在伪欧几里得空间中,由于只考虑 $\rho^2$,所以伪欧几里得空间中的运动是使得

\begin{equation} \rho^2(f(\dot p),f(\dot q))=\rho^2(\dot p,\dot q) \end{equation}
成立的变换 $f$.

定义 4 伪欧几里得空间运动

   设 $(\mathbb E,V,\rho)$ 是伪欧几里得点空间,变换 $f:\mathbb E\rightarrow\mathbb E$ 称为其上的运动(或保内积映射),如果对 $\forall \dot p,\dot q\in\mathbb E$,都有

\begin{equation} \rho^2(f(\dot p),f(\dot q))=\rho^2(\dot p,\dot q) \end{equation}

   在伪欧几里得空间,运动也有和欧氏空间相似的结论成立,即:运动和一仿射映射等价,该仿射映射线性部分对应矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 满足 $F^TI_sF=I_s$($I_s$ 是伪欧空间中标准二次型 $q$ 对应的双线性型对应的矩阵);任一运动可由平移和保持某个固定点的仿射映射(其线性部分对应矩阵满足 $F^TI_sF=I_s$)复合而成.具体来说,下面定理成立:

定理 1 


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