二次型的规范型

                     

贡献者: 零穹

预备知识 二次型

1. 二次型的规范型

   在规范基底下,二次型有比较简单的形式,这在理论和应用上都有重要价值.

定理 1 

   矢量空间 $V$ 上每个对称的双线性型 $f$ 都有规范基底.

   证明: 对 $V$ 的维度 $n$ 应用数学归纳法.当 $n=1$ 时命题显然.

   如果 $f( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )=0$ 对所有 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} \in V$ 都成立(即 $f=0$),定理显然对任意基底都适用.如果 $f\neq 0$,那么对应二次型也不为 0(定理 1 ).于是存在这么一个向量 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _1$,使得 $q( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1)=f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1, \boldsymbol{\mathbf{e}} _1)\neq0$.于是,线性函数

\begin{equation} f_1: \boldsymbol{\mathbf{x}} \mapsto f( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{e}} _1) \end{equation}
非零($f_1( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1)\neq0$).由推论 1 ,线性子空间
\begin{equation} L=\mathrm{Ker} f_1=\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in V|f_1( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=0\} \end{equation}
的维数是 $n-1$.其中,$n$ 是矢量空间 $V$ 的维数.

   根据归纳法假设,对 $L$ 必有基底 $( \boldsymbol{\mathbf{e}} _2,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _n)$,在此基底下,$f$ 限制(定义 4 )在 $L$ 上的矩阵是对角的,即

\begin{equation} f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i, \boldsymbol{\mathbf{e}} _j)=0,\quad i,j=2,\cdots ,n,\quad i\neq j \end{equation}
按构造方式,$f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i, \boldsymbol{\mathbf{e}} _1)=0,i=2,3,\cdots n$.所以得到 $f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i, \boldsymbol{\mathbf{e}} _j)=0,i\neq j$.现在,只需证明向量组 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _n$ 线性无关,$( \boldsymbol{\mathbf{e}} _k)$ 就具有规范基底的特征了.设,情形相反,那么在任意非平凡关系式
\begin{equation} \alpha_1 \boldsymbol{\mathbf{e}} _1+\cdots+\alpha_n \boldsymbol{\mathbf{e}} _n= \boldsymbol{\mathbf{0}} \end{equation}
中,只能有 $\alpha_1\neq0$,因为 $( \boldsymbol{\mathbf{e}} _2,\cdots , \boldsymbol{\mathbf{e}} _n)$ 是 $L$ 的基底,但此时 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _1=\sum\limits_{i > 1}\beta _i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$ 且
\begin{equation} 0\neq f_1( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1)=f_1(\sum\limits_{i > 1}\beta_i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)=\sum\limits_{i > 1}\beta_if_1( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)=0 \end{equation}
这是一个矛盾,证毕!

推论 1 

   在域 $F$ 上的 $n$ 维向量空间 $V$ 上给定一个秩为 $r\leq n$ 的二次型 $q$.那么,在 $V$ 中存在一个基底 $( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)$,在它之下 $q$ 取规范型式:

\begin{equation} q( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\lambda_1 x_1^2+\cdots+\lambda_r x_r^2 \end{equation}

推论 2 

   每个对称矩阵 $F$ 都有非退化矩阵(行列式为 0)$A$ 使得 $A^{T}FA$ 是和 $F$ 秩相同的对角矩阵,换言之,每个对称矩阵都合同于某个对角矩阵.(链接合同矩阵的词条)

2. 古巴比伦法化二次型为规范型

   设二次型 $q( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 表达式为

\begin{equation} q(x_1,\cdots,x_n)=q( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\sum\limits_{i,j=1}^n f_{ij}x_ix_j \end{equation}

   首先提出所有含 $x_1$ 的项:

\begin{equation} q(x_1,\cdots,x_n)=f_{11} x_1^2+2f_{12}x_1x_2+\cdots+2f_{1n}x_1x_n+\sum_{i,j\neq1}f_{ij}x_ix_j \end{equation}
设 $f_{11}\neq0$,且依靠不含 $x_1$ 的项的系数提出来完全项
\begin{equation} q(x_1,\cdots,x_n)=\frac{1}{f_{11}}(f_{11}x_1+f_{12}x_2+\cdots+f_{1n}x_n)^2+\sum_{i,j\neq1}f'_{ij}x_ix_j \end{equation}

   现在,令

\begin{equation} x'_1=f_{11}x_1+f_{12}x_2+\cdots+f_{1n}x_n,\quad x_i'=x_i\quad i > 1. \end{equation}
就把二次型 $q$ 化为了
\begin{equation} q(x_1,\cdots,x_n)=\frac{1}{f_{11}}x_1'^2+q'(x_2',\cdots,x_n') \end{equation}
其中,$q'(x_2',\cdots,x_n')=\sum\limits_{i,j=2}^nf'_{ij}x_i'x_j'$ 是变量数目更少的一个二次型.重复上面的程序可以把 $q( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 写成 $r=\mathrm{rank}\; q$ 个二次型的线性组合(因为重新设置的 $(x'_1)^2$ 是个二次型).

   对限制性假设 $f_{11},f_{22},\cdots\neq0$ 不成立的情形,比方说 $f_{11}=0$ 而 $f_{kk}\neq0$,那么变动 $x_1,x_k$ 的指标(或基向量顺序).但,若 $q( \boldsymbol{\mathbf{x}} )\neq0$ 不含任何二次项,即所有 $f_{kk}=0$.那么,不失一般性,设 $2f_{12}x_1x_2\neq0$,此时可用替换

\begin{equation} x_1=x_1'+x_2',\quad x_2=x_1'-x_2',\quad x_k=x_k',\quad k > 2 \end{equation}
就有不可能被约掉的项 $2f_{12}(x_1'^2-x_2'^2)$ 出现了,于是程序得以运行.


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