贡献者： 零穹
1. 二次型的规范型
在规范基底下，二次型有比较简单的形式，这在理论和应用上都有重要价值。
定理 1
矢量空间 $V$ 上每个对称的双线性型 $f$ 都有规范基底。
证明： 对 $V$ 的维度 $n$ 应用数学归纳法。当 $n=1$ 时命题显然。
如果 $f( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} )=0$ 对所有 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{y}} \in V$ 都成立（即 $f=0$），定理显然对任意基底都适用。如果 $f\neq 0$，那么对应二次型也不为 0（定理 1 ）。于是存在这么一个向量 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _1$，使得 $q( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1)=f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1, \boldsymbol{\mathbf{e}} _1)\neq0$。于是，线性函数
\begin{equation}
f_1: \boldsymbol{\mathbf{x}} \mapsto f( \boldsymbol{\mathbf{x}} , \boldsymbol{\mathbf{e}} _1)~
\end{equation}
非零（$f_1( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1)\neq0$）。由
推论 1 ，线性子空间
\begin{equation}
L=\mathrm{Ker} f_1=\{ \boldsymbol{\mathbf{x}} \in V|f_1( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=0\}~
\end{equation}
的维数是 $n-1$。其中，$n$ 是矢量空间 $V$ 的维数。
根据归纳法假设，对 $L$ 必有基底 $( \boldsymbol{\mathbf{e}} _2,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _n)$，在此基底下，$f$ 限制（定义 4 ）在 $L$ 上的矩阵是对角的，即
\begin{equation}
f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i, \boldsymbol{\mathbf{e}} _j)=0,\quad i,j=2,\cdots ,n,\quad i\neq j~
\end{equation}
按构造方式，$f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i, \boldsymbol{\mathbf{e}} _1)=0,i=2,3,\cdots n$。所以得到 $f( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i, \boldsymbol{\mathbf{e}} _j)=0,i\neq j$。现在，只需证明向量组 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _1,\cdots, \boldsymbol{\mathbf{e}} _n$ 线性无关，$( \boldsymbol{\mathbf{e}} _k)$ 就具有规范基底的特征了。设，情形相反，那么在任意非平凡关系式
\begin{equation}
\alpha_1 \boldsymbol{\mathbf{e}} _1+\cdots+\alpha_n \boldsymbol{\mathbf{e}} _n= \boldsymbol{\mathbf{0}} ~
\end{equation}
中，只能有 $\alpha_1\neq0$，因为 $( \boldsymbol{\mathbf{e}} _2,\cdots , \boldsymbol{\mathbf{e}} _n)$ 是 $L$ 的基底，但此时 $ \boldsymbol{\mathbf{e}} _1=\sum\limits_{i>1}\beta _i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i$ 且
\begin{equation}
0\neq f_1( \boldsymbol{\mathbf{e}} _1)=f_1(\sum\limits_{i>1}\beta_i \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)=\sum\limits_{i>1}\beta_if_1( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)=0~.
\end{equation}
这是一个矛盾，证毕!
推论 1
在域 $F$ 上的 $n$ 维向量空间 $V$ 上给定一个秩为 $r\leq n$ 的二次型 $q$。那么，在 $V$ 中存在一个基底 $( \boldsymbol{\mathbf{e}} _i)$，在它之下 $q$ 取规范型式：
\begin{equation}
q( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\lambda_1 x_1^2+\cdots+\lambda_r x_r^2~.
\end{equation}
推论 2
每个对称矩阵 $F$ 都有非退化矩阵（行列式为 0）$A$ 使得 $A^{T}FA$ 是和 $F$ 秩相同的对角矩阵，换言之，每个对称矩阵都合同于某个对角矩阵。（链接合同矩阵的文章）
2. 古巴比伦法化二次型为规范型
设二次型 $q( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 表达式为
\begin{equation}
q(x_1,\cdots,x_n)=q( \boldsymbol{\mathbf{x}} )=\sum\limits_{i,j=1}^n f_{ij}x_ix_j~.
\end{equation}
首先提出所有含 $x_1$ 的项：
\begin{equation}
q(x_1,\cdots,x_n)=f_{11} x_1^2+2f_{12}x_1x_2+\cdots+2f_{1n}x_1x_n+\sum_{i,j\neq1}f_{ij}x_ix_j~.
\end{equation}
设 $f_{11}\neq0$，且依靠不含 $x_1$ 的项的系数提出来完全项
\begin{equation}
q(x_1,\cdots,x_n)=\frac{1}{f_{11}}(f_{11}x_1+f_{12}x_2+\cdots+f_{1n}x_n)^2+\sum_{i,j\neq1}f'_{ij}x_ix_j~.
\end{equation}
现在，令
\begin{equation}
x'_1=f_{11}x_1+f_{12}x_2+\cdots+f_{1n}x_n,\quad x_i'=x_i\quad i>1~.
\end{equation}
就把二次型 $q$ 化为了
\begin{equation}
q(x_1,\cdots,x_n)=\frac{1}{f_{11}}x_1'^2+q'(x_2',\cdots,x_n')~.
\end{equation}
其中，$q'(x_2',\cdots,x_n')=\sum\limits_{i,j=2}^nf'_{ij}x_i'x_j'$ 是变量数目更少的一个二次型。重复上面的程序可以把 $q( \boldsymbol{\mathbf{x}} )$ 写成 $r=\mathrm{rank}\; q$ 个二次型的线性组合（因为重新设置的 $(x'_1)^2$ 是个二次型）。
对限制性假设 $f_{11},f_{22},\cdots\neq0$ 不成立的情形，比方说 $f_{11}=0$ 而 $f_{kk}\neq0$，那么变动 $x_1,x_k$ 的指标（或基向量顺序）。但，若 $q( \boldsymbol{\mathbf{x}} )\neq0$ 不含任何二次项，即所有 $f_{kk}=0$。那么，不失一般性，设 $2f_{12}x_1x_2\neq0$，此时可用替换
\begin{equation}
x_1=x_1'+x_2',\quad x_2=x_1'-x_2',\quad x_k=x_k',\quad k>2~,
\end{equation}
就有不可能被约掉的项 $2f_{12}(x_1'^2-x_2'^2)$ 出现了，于是程序得以运行。
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